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1、专题 4函数单调性、极值、最值与导数问题一、函数单调性、极值、最值知识框架来源:学科网二、函数单调性、极值、最值问题题型【一】判断函数单调性【一】判断函数单调性1.例题1.例题【例【例 1】已知函数 xfxaxe判断函数 fx的单调性。【解析】由题意可求，xfxae1.当0a 时，0,fxf x在R上为减函数；2.当0a 时，令 0fx，解得xlna,令 0fx，解得xlna于是 fx在(,ln a为增函数，在ln,)a 为减函数；【例【例 2】已知函数2()ln1af xxx，其中 aR，讨论并求出 f(x)在其定义域内的单调区间【解析】222121()1(1)(1)afxxaxxxx x，
2、设 g(x)x2ax1，x0，当 a0 时，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立，此时函数 f(x)在区间(0，)上单调递增；当 a0 时，222()1124aag xxaxx .当 124a0，即 0a2 时，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立，此时函数 f(x)在区间(0，)上单调递增；当 a2 时，方程 g(x)0 的两根分别为221244,22aaaaxx，且 0 x1x2，当 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(0，x1)上单调递增；当 x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(x1，x2)上单调递减；当 x(x2
3、，)时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(x2，)上单调递增综上所述，当 a2 时，函数 f(x)的单调增区间为(0)，没有减区间；当 a2 时，函数 f(x)的减区间为12()xx，；增区间为(0，x1)，(x2，)2.巩固提升综合练习2.巩固提升综合练习【练习【练习 1】已知函数()xf xe，210g xaxxa.设 g xF xf x，讨论函数 F x的单调性；【解析】因为2()1()()xg xaxxF xf xe，所以221(21)()xxaax xaxaxaF xee，若12a，2()0 xaxF xe.()F x在R上单调递减.若12a，则210aa，当0 x，或21
4、axa时，()0F x，当210axa时，()0F x，()F x在(,0)，21,aa上单调递减，在210,aa上单调递增.若102a，则210aa，当21axa，或0 x 时，()0F x，当210axa时，()0F x.()F x在21,aa，(0,)上单调递减，在21,0aa上单调递增.【练习【练习 2】已知xaxxxaxxf2221ln)()(，求)(xf单调区间.【解析】该函数定义域为），（0（第一步：对数真数大于 0 求定义域）令xaxxfln12)(）（，解得121,12xxa（第二步，令导数等于 0，解出两根21,xx）（1）当0a时，(0,1),()0,()xf xf x单
5、调增，(1,),()0,()xf xf x单调减（第三步，1x在不在进行分类，当其不存在得到0a；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当121a时即21a(0,),()0,()xf xf x单调增，（第五步，x1在区间时，进行比较大小，当21xx 得到21a第四步图像判断正负）当1210a时，即21a1(0,),(1,)()0,()2xxf xf xa单调增，1,1,()0,()2xf xf xa单调减（当21xx 得到21a；第四步图像判断正负）当121a时，即210 a1(0,1),(,)()0,()2xxf xf xa单调增，11,()0,()2xf xf xa单调减（21xx 得到21
6、0 a；第四步图像判断正负）综上可知：0a，(0,1),()0,()xf xf x单调增，(1,),()0,()xf xf x单调减；21a，(0,),()0,()xf xf x单调增21a1(0,),(1,)()0,()2xxf xf xa单调增，1,1,()0,()2xf xf xa单调减210 a，1(0,1),(,)()0,()2xxf xf xa单调增，11,()0,()2xf xf xa单调减【二】根据单调性求参数【二】根据单调性求参数1.例题例题【例【例 1】（1）若函数2()2(1)2f xxax在区间,4上是减函数，则实数a的取值范围是.（2）函数 2244xfxexx在区间
7、1,1kk上不单调，实数k的范围是（）（3）若函数 212log45f xxx在区间32,2mm内单调递增，则实数m的取值范围为.（4）若函数 2lnf xaxxx存在增区间，则实数a的取值范围为.【解析】（1）因为函数2()2(1)2f xxax的单调减区间为,1a，又函数()f x在区间,4上是减函数，则,4,1a，则14a，解得：3a ，（2）2244xf xexxQ，228xfxex，令 0fx，得2x .当2x 或2x 时，0fx；当22x 时，0fx.所以，函数 yf x的极大值点为2，极小值点为2.由题意可得121kk 或121kk，解得31k 或13k.（3）由2450 xx，
8、即2450 xx，解得15x.二次函数245yxx 的对称轴为2x.由复合函数单调性可得函数 212log45f xxx的单调递增区间为2,5要使函数 212log45f xxx在区间32,2mm内单调递增，则32,22,5mm，即32225322mmmm，解得423m.（4）若函数 fx不存在增区间，则函数 fx单调递减，此时 1210fxaxx 在区间0,恒成立，可得2112axx，则22111111244xxx，可得18a ，故函数存在增区间时实数a的取值范围为1,8【例【例 2】已知函数32()3()f xaxxx xR恰有三个单调区间，则实数 a 的取值范围为（）A3,B3,00,C
9、,00,3D3,【解析】（1）2()361fxaxx，()f x有三个单调区间，036 120aa，解得3a 且0a 故选 B2.巩固提升综合练习2.巩固提升综合练习【练习【练习 1】函数321()3f xaxxa在1,2上单调递增，则实数a的取值范围是（）A1a B1a C2a D2a【答案】D【解析】由题意得：22fxaxx fx在1,2上单调递增等价于：0fx在1,2上恒成立即：220axx222xaxx 当1,2x时，22x2a 本题正确选项：D【练习【练习 2】已知函数?覠?（?）在?覠内存在单调递减区间，则实数?的取值范围是（）A?B?C?覠D?覠【答案】C【解析】?假设?覠 在?
10、覠内不存在单调递减区间，而?覠又不存在常函数情况，所以?覠 在?覠内递增，即有?覠时不等式?恒成立，即?覠时，?恒成立，解得?，所以函数?覠 在?覠内存在单调递减区间，实数?的取值范围是?覠故选 C【练习【练习 3】若函数2()lnf xxxx在区间,2t t 上是单调函数，则t的取值范围是（）A1,2B1,)C2,)D(1,)【答案】B【解析】22222122(2)(1)()ln()1(0)xxxxf xxxfxxxxxxx 1x 单调递增，01x单调递减.函数2()lnf xxxx在区间,2t t 上是单调函数区间,2t t 上是单调递减不满足只能区间,2t t 上是单调递增.故1t 故答
11、案选 B【三】函数的极值问题【三】函数的极值问题(1)函数的极小值：函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点 xa附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 yf(x)在点 xb 的函数值f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值
12、统称为极值1.例题例题【例【例 1】(1)函数3()12f xxx的极大值点是_，极大值是_。(2)函数31()3f xxax的极大值为2 3，则实数a _【答案】(1)216(2)3【解析】(1)依题意 21233 22fxxxx，故函数在2x 或2x 时，导数小于零，函数单调递减，在22x 时，导数大于零，函数单调递增，故函数在2x 处取得极大值 224 816f.即极大值点为2，极大值为16.(2)函数31()3f xxax的极大值为2 3，2()fxxa由题意知：0,axa，当xa 时，有极大值，()2 3fa所以3a 故答案为 3【例【例 2】(1)函数322()f xxaxbxaa
13、在1x 处有极值为 7，则a（）A-3 或3B3 或-9C3D-3(2)若函数2()xf xeaxa在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（）A(1,0)B(0,1)C(,1)D(1,)【答案】(1)C(2)B【解析】(1)2()32fxxaxb，2(1)17(1)320fabaafab，解得39ab 或33ab，3,9ab 时，2()3693(1)(3)fxxxxx，当31x 时，()0fx，当1x 时，()0fx，1x 是极小值点；3,3ab 时，22()3633(1)0fxxxx，1x 不是极值点3a 故选 C(2)由 2()xxf xeaxafxea因为2()xf xeaxa在R
14、上有小于0的极值点，所以 0 xfxea有小于 0 的根，由xye的图像如图：可知 0 xfxea有小于 0 的根需要01a，所以选择 B2.巩固提升综合练习巩固提升综合练习【练习【练习 1】已知函数2()lnf xaxbx，,a bR，若()f x在1x 处与直线12y=-相切（1）求,a b的值；（2）求()f x在1,ee上的极值【答案】（1）11,2ab（2）极大值为12，无极小值【解析】（1）()2afxbxx函数()f x在1x 处与直线12y=-相切，(1)01(1)2ff，即2012abb ，解得112ab；（2）由（1）得：21()ln2f xxx，定义域为(0,)211()
15、xfxxxx，令()0fx，解得01x，令()0fx，得1x()f x在1(,1)e上单调递增，在(1,)e上单调递减，()f x在1,ee上的极大值为1(1)2f，无极小值【练习【练习 2】若函数 elnxf xa xxx在1,22内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A2 e,eB2 e,eC2e,2 e2D2e,2 e2【答案】D【解析】由题意，21 exxaxfxx，因为 fx在1,22内有两个不同的极值点，所以 0fx在1,22内有两个不同的解，由于1x 是 0fx的一个解，则e0 xax在1,22上只有一个不为 1 的解，则exax，即函数ya与exyx 的图象在1,22上
16、只有一个交点，且交点的横坐标不为 1，令 exh xx，求导得 2e1xxh xx，则112x时，0h x；12x时，0h x，故 exh xx 在1,12上单调递增，在1,2上单调递减，且 0h x 在1,22上恒成立，12 e2h，2e22h，122hh，故当 122hah，即2e2 e2a 时，函数ya与exyx 的图象在1,22上只有一个交点.当 1ah时，函数ya与exyx 的图象在1,22上只有一个交点，但不符合题意，需舍去.故2e2 e2a 时，函数 fx在1,22内有两个不同的极值点.故选 D.【练习【练习 3】已知函数32()(6)1f xxmxmx既存在极大值又存在极小值，
17、则实数m的取值范围是安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨（）A(1,2)B(,3)(6,)C(3,6)D(,1)(2,)【答案】B【解析】3261f xxmxmxQ，2326fxxmxm，由于函数 yf x既有极大值，又有最小值，则导函数 yfx有两个零点，241260mm，即23180mm，解得3m 或6m.因此，实数m的取值范围是,36,U，故选：B.【四】函数的最值问题【四】函数的最值问题求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、
18、最低点，求出最值(3)基本不等式法：先对解析式变形，具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值1.例题1.例题【例【例 1】已知函数321()13f xxaxbx，当3x 时，函数()f x有极小值8.（1）求()f x的解析式；（2）求()f x在0,4上的值域.【解析】（1）2()2fxxaxb，由题意得(3)960(3)99318fabfab ，解得13ab，321()313f xxxx，经检验3x 为()yf x的极小值点，符合
19、题意.（2）由（1）得2()23(3)(1)fxxxxx当()0fx时，34x；当()0fx时，03x.所以()f x在0,3)上单调递减，在(3,4上单调递增，所以()f x的最小值为(3)8f.安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨因为(0)1f，17(4)3f，所以()f x的最大值为(0)1f.所以()f x在0,4上的值域为 8,1.【例【例 2】（1）已知?覠?在区间?覠上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）A?B?C?D?（2）已知函数 213xxa xaf xe 在区间1,2上有最大值无最小值，则实数a的取值
20、范围（）A,4 B 1,)C4,1D4,1【答案】（1）C（2）C【解析】（1）因为函数 f（x）=?+x 在（a，10a2）上有最大值，则其最大值必是区间上的极大值 f（x）=x2+1，令 f（x）=x2+1=0，可得 x=1，分析易得 x=1 是极大值点对于 f（x）=x2+1，结合二次函数的性质可得：a110a2，且 f（a）f（1），解得2a1,故答案为：C（2）221314xxxa xaxa xf xfxee 设2()14g xxa x 函数在区间1,2上有最大值无最小值即()g x在1,2有零点，且满足：(1)04(2)01gaga 即4,1a 故答案选 C2.巩固提升综合练习2.
21、巩固提升综合练习【练习【练习 1】若1x 是函数 25xxaefxx 的极值点，则 fx在2 2,上的最小值为_.【答案】3e【解析】225xxfxxa exaxe2(2)5xexaxa，则 1220fea，解得1a，所以 25xf xxxe，则 234xfxexx41xexx.令 0fx，得4x 或1x；令 0fx，得41x.所以 fx在2,1上单调递减；在1,2上单调递增.所以 min13f xfe.【练习【练习 2】已知函数?覠?在?，?覠上没有最小值，则?的取值范围是_【答案】（?）【解析】f（x）=x3ax，f（x）=3x22ax=x(3x-2a)，当 f（x）=0 时，x=0 或
22、x=?,（1）当?（，1时，即 a?时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时 x=0 时 f（x）取得最小值，所以舍去.来源:学科网 ZXXK（2）当-1?0 时，f(x)在（-1，?）单调递增，在（?，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意?覠?在?，?覠上没有最小值，则有?覠?a （3）当 a=0 时，f(x)=?在?，?覠上显然没有最小值，故成立.（4）当 0?-1.故答案为（?）.三、课后自我检测1若函数 lnf xxax不是单调函数，则实数a的取值范围是（）.A0,+）B（，0C（，0）D(0,+）【答案】C【解析】函数 lnf xxax的定义域为0 x，
23、函数 lnf xxax的导数为 1afxx，当0a 时，0fx，函数 lnf xxax是单调增函数，不合题意；当0a 时，函数 lnf xxax在0a，上递减，在,a递增，lnf xxax不是单调函数，则实数a的取值范围是,0，故选 C.2已知函数2()ln(1)f xmxxmx在(1,)上不单调，则 m 的取值范围是（）A(4,)B(,4C(,0)D(0,)【答案】A【解析】222()2(2)2()2111mx xmxm xfxxmxxx.因为()f x在(1,)上不单调，所以212m，故4m.故答案为 A3对于任意1x，21,)x，当21xx时，恒有2211ln2()xaxxx成立，则实数
24、a的取值范围是（）A(,0B(,1C(,2D(,3【答案】C【解析】对于任意1x，21,x，当21xx时，恒有2211ln2xaxxx成立，即2211ln2ln2axxaxx成立，令 ln2f xaxx，21f xf x，f x在1,上单调递减，20afxx在1,恒成立，2ax在1,恒成立，当1x，22x，实数a的取值范围为,2，故选 C.4已知函数 f(x)x3sin x，x(1，1)，则满足 f(a21)f(a1)0 的 a 的取值范围是()A(0，2)B(1，2)C(1，2)D(0，2)【答案】B【解析】函数 f（x）x3+sinx，x（1，1），则 f（x）f（x），f（x）在区间（1
25、，1）上是奇函数；又 f（x）3x2+cos x0，f（x）在区间（1，1）上单调递增；f（a21）+f（a1）0，f（a1）f（a21），f（1a）f（a21），221 1111 111aaaa ，求得 1a2，故选：B51()cos2f xxx在0,上的极小值为（）A53122B51122C3122D1122【答案】A【解析】因为1()cos2f xxx，0,x，所以1()sin2fxx，令1()sin02fxx，所以6x或56x；因此，当0,6x时，1()sin02fxx，1()cos2f xxx单调递增；当5,66x时，1()sin02fxx，1()cos2f xxx单调递减；当5,6
26、x时，1()sin02fxx，1()cos2f xxx单调递增；所以当56x时，()f x取极小值，且极小值为51 5553cos6266122f.故选 A632()32f xxx在区间1，5上的最大值是（）A-2B0C52D2【答案】C【解析】3232f xxxQ，23632fxxxx x，令 0fx，得21,5x.当12x时，0fx；当25x时，0fx.所以，函数 yf x的极小值为 22f，又 10f，552f，因此，函数 yf x在区间1,5上的最大值为 552f，故选：C.7若函数?覠?在区间?覠内有最小值，则?的取值范围是（）A?B?C?D?【答案】B【解析】令?，由题意知?，得?
27、，?，?8已知函数1 ln(1)()(2)2xf xxx,若()1kf xx恒成立,则整数k的最大值为()A2B3C4D5【答案】B【解析】f（x）1kx恒成立，即 h（x）=1 112xln xxk 即 h（x）的最小值大于 k而 h（x）=2312xln xx，记 g（x）=x3ln（x-1），（x2），则 g（x）=21xx0，g（x）在（2，+）上单调递增，又 g（4）=1ln30，g（5）=22ln20，g（x）=0 存在唯一实根 a，且满足 a（4，5），a-3=ln（a-1），当 xa 时，g（x）0，h（x）0，当 2xa 时，g（x）0，h（x）0，h（x）min=h（a）=
28、1 112aln aa=a-1（3，4），故正整数 k 的最大值是 3故答案为：B9已知 f（x）=-x3-ax 在（-，-1上递减，且 g（x）=2x-?在区间（1，2上既有最大值又有最小值，则 a的取值范围是（）A?B?C?D?【答案】C【解析】因为函数?覠?在?上单调递减，所以?对于一切?恒成立，得?，又因为?覠?在区间?上既有最大值，又有最小值，所以，可知?在?上有零点，也就是极值点，即有解?，在?上解得?，可得?，故选 C.10已知函数?覠?ln，?覠?，若对任意的?，都有?覠?覠?成立，则实数?的取值范围是（）A?ln?B?C?ln?ln?D?ln?【答案】A【解析】根据题意，对任
29、意的?，?，?，都有?覠?覠?即?覠?覠?覠?，恒成立?，在?，?内先增后减安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨?覠?覠，故?则?覠?，?解得?令?，则?在区间?，?内，?，?递减，?，故?递减?，则实数?的取值范围是?，?故选?11若函数32()21f xaxxx在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（）A34a B53a C5334a D5334a【答案】C【解析】函数 3221f xaxxx在1,2上有最大值无最小值，则极大值在1,2之间，设 234x10fxax 的根为12xx，极大值点在1x处取得则
30、10,20ff解得5334a，故选 C。12 已知32()f xxaxbx满足(1)(1)220fxfx，则()f x的单调递减区间是。【答案】(-1,3)【解析】函数 32f xxaxbx满足11220fxfx，3232(1)+(1)(1)(1)+(1)(1)220 xaxbxxaxbx，整理得2(26)+2+2240axab，即26=02+2240aab，解得=39ab 函数解析式为32()39f xxxx，2()369fxxx令2()3690fxxx，解得13x f x的单调递减区间是(1,3)故答案为(1,3).13若函数?sin?sin 在?单调递增，则?的取值范围是_【答案】?.【
31、解析】?覠?cos?cos?在?覠上恒成立，即：?cos?覠?cos?cos?cos?，?cos?，令?cos?覠?只需?覠?覠?，则?，则 a 的取值范围是?.14已知函数32()21f xxxax在区间(0,1)上不是单调函数，则实数a的取值范围是_.【答案】0,7【解析】对函数求导可得，f（x）3x2+4xa，此时对称轴2x03，函数 f（x）x3+2x2ax+1 在区间（0，1）上不是单调函数，0010ff，解得：0a7，故答案为：（0，7）15 已知 a 为实数,函数?在区间(-,0)和(1,+)上都是增函数,则 a 的取值范围是_.【答案】-?，-?，+?【解析】?覠?,其判别式?
32、(1)若=12-8a20,则?或?,此时?在区间(-,+)上恒成立,所以 f(x)在区间(-,+)上为增函数,所以?或?符合题意(2)若=12-8a20,即?.则此时要满足?解得 1a3.又因为?,所以?.综上所述,?或 a1.16 设函数 23ln2f xxaxx，若1x 是函数 fx是极大值点，则函数 fx的极小值为_【答案】ln22【解析】函数 2313ln()222f xxaxxfxaxx1x 是函数 fx是极大值点则131(1)20124faa 213113ln()04222f xxxxfxxx1x 或2x 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多
33、资料关注公众号玩转高中数学研讨当2x 时 fx的极小值为ln22故答案为：ln2217已知函数()lnf xaxx，当(0,xe（e 为自然常数），函数()f x的最小值为 3，则a的值为_.【答案】2e【解析】1()fxax，(0,xe，当1ae时，则()0fx，()f x在(0,e上是减函数，()()()13f xf xf eae 最小值极小值，4ae（舍去）当1ae时，当10 xa时，()0fx，()f x递减，当1xea时，()0fx，()f x递增11()()()1 ln3f xf xfaa 最小值极小值，2ae，符合题意故答案为2e18设函数 332xx xaf xx xa，若 f
34、x无最大值，则实数a的取值范围是_【答案】1a 【解析】f（x）2332xxaxa，令 f（x）0，则 x1，若 f（x）无最大值，则3123aaaa，或312322aaaaa，解得：a（，1）故答案为：1a 19已知函数 3239f xxaxxb，且 fx在1x 处取得极值3.（1）求函数 fx的解析式；（2）求函数 fx在2,4的最值.【答案】（1）32392f xxxx（2）最大值为3；最小值为29【解析】（1）由 3239f xxaxxb，得 2369fxxax又因为 fx在1x 处取得极值3，所以18331660fabfa，解得1a，2b ，经检验，符合条件，所以 32392f xx
35、xx.（2）由（1）可知 2369313fxxxxxx22,111,333,44 fx00 fx4单调递增极大值3单调递减极小值-29单调递增22所以函数 fx在2,4的最大值为3。最小值为29.20已知函数?覠 ln?覠.（）若函数?覠在?覠上单调递减，求实数?的取值范围；（）若?，求?覠的最大值.来源:学|科|网 Z|X|X|K【答案】（）?（）?覠max?【解析】（）由题意知，?覠?覠?覠?在?覠上恒成立，所以?覠?在?覠上恒成立.令?覠?覠?，则?覠?覠?，所以?覠在?覠上单调递增，所以?覠min?覠?，所以?.（）当?时，?覠 ln?覠.则?覠?覠?覠?覠，令?覠?，则?覠?，所以?
36、覠在?覠上单调递减.由于?覠?，?覠 ，所以存在?满足?覠 ，即?.当?覠时，?覠?，?覠?；当?覠时，?覠 ，?覠 .所以?覠在?覠上单调递增，在?覠上单调递减.所以?覠max?ln?，因为?，所以?ln，所以?覠?，所以?覠max?.21设函数 f(x)aex(x1)(其中 e2.71828)，g(x)x2bx2，已知它们在 x0 处有相同的切线(1)求函数 f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在t，t1(t3)上的最小值【解析】(1)f(x)aex(x2)，g(x)2xb，由题意，两函数在 x0 处有相同的切线，f(0)2a，g(0)b，2ab，f(0)ag(0)2，a2，
37、b4，f(x)2ex(x1)，g(x)x24x2。(2)由(1)得 f(x)2ex(x2)当 x2 时，则 f(x)0，所以 f(x)在(2，)上单调递增，当 x2 时，则 f(x)0，所以 f(x)在(，2)上单调递减，t3，t12，01，当3t2 时，f(x)在t，2上单调递减，在2，t1上单调递增，f(x)minf(2)22e.02，当 t2 时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)minf(t)2et(t1)综上：当3t2 时，f(x)min2e2；当 t2 时，f(x)min2et(t1)22.已知函数2()ln31f xxxax，讨论函数()f x的单调性；【解析】21231()
38、23(0)xaxfxxaxxx，令2()231u xxax，其对称轴为034ax ，令22310 xax，则298a.当0a 时，()0fx，所以()f x在(0,)上单调递增；当0a 时，对称轴为0304ax ，若2980a，即2 203a，()0u x 恒成立，所以()0fx，所以()f x在(0,)上单调递增；若2 23a 时，设()0u x 的两根213984aax，223984aax，当1(0,)xx时，()0u x，所以()0fx，所以()f x在1(0,)x上单调递增，当12(,)xx x时，()0u x，所以()0fx，所以()f x在12(,)x x上单调递减，当2(,)xx
39、时，()0u x，所以()0fx，所以()f x在2(,)x 上单调递增，综上所述：当2 23a 时，()f x在(0,)上单调递增；若2 23a 时，()f x在1(0,)x上单调递增，在12(,)x x上单调递减，在2(,)x 上单调递增；23已知函数 21ln2fxxxax aR，讨论 f x的单调性；.【解析】f x的定义域为0,，210 xaxfxxx，对于函数21yxax，当240a 时，即22a 时，210 xax 在0 x 恒成立 210 xaxfxx在0,恒成立，f x在0,为增函数；当，即2a 或2a 时，当2a 时，由 0fx，得242aax 或242aax，224402
40、2aaaa ，f x在240,2aa 为增函数，2244,22aaaa 减函数，来源:学+科+网Z+X+X+K24,2aa 为增函数，当2a 时，由 210 xaxfxx在0,恒成立，f x在0,为增函数综上，当2a 时，f x在240,2aa 为增函数，2244,22aaaa 减函数，24,2aa 为增函数；当2a 时，f x在0,为增函数24已知函数2()ln1af xxx，其中 aR.(1)当 a4 时，求 f(x)的极值点；(2)讨论并求出 f(x)在其定义域内的单调区间【答案】（1）x23为 f(x)的极大值点，x23为 f(x)的极小值点；（2）详见解析.【解析】(1)f(x)的定
41、义域为(0，)，当 a4 时，f(x)lnx61x，2221641()(1)(1)xxfxxxx x.令 f(x)0?x23.列表x(0，23)23(23，23)来源:学,科,网 Z,X,X,K23(23，)f(x)00f(x)极大值极小值所以，x23为 f(x)的极大值点，x23为 f(x)的极小值点(2)222121()1(1)(1)afxxaxxxx x，设 g(x)x2ax1，x0，当 a0 时，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立，此时函数 f(x)在区间(0，)上单调递增；当 a0 时，222()1124aag xxaxx .当 124a0，即 0a2 时，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立，此时函数 f(x)在区间(0，)上单调递增；当 a2 时，方程 g(x)0 的两根分别为221244,22aaaaxx，且 0 x1x2，当 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(0，x1)上单调递增；当 x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(x1，x2)上单调递减；当 x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(x2，)上单调递增综上所述，当 a2 时，函数 f(x)的单调增区间为(0)，没有减区间；当 a2 时，函数 f(x)的减区间为12()xx，；增区间为(0，x1)，(x2，)