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1、1规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8(15 分)已知函数f(x)ln xa(1 x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2 时，求a的取值范围审题路线图求fx 讨论fx的符号f x单调性 f x最大值 解f xmax2a2.规 范 解 答分步 得 分构 建 答 题 模 板解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa(x0)若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x 0，1a时，f(x)0；当x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 0，1a上单调递增，在1a，上单调递减.6 分(2)由(1)知，当a0 时，f(
2、x)在(0，)上无最大值，不合题意；当a0 时，f(x)在x1a处取得最大值，最大值为f 1aln1aa11a ln aa1.因此f 1a2a 2等价于 ln aa10.12 分令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1 时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).15分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数第二步定符号：通过讨论确定f(x)的符号第三步写区间：利用f(x)的符号确定函数的单调性第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则(1)函数求导正确给1 分；(2)分类讨论，每种情况给2 分，结论1 分；(3)求出最大
3、值给3 分；(4)构造函数g(a)ln aa1 给 3 分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给3 分跟踪演练8(2018天津)已知函数f(x)ax，g(x)logax，其中a1.(1)求函数h(x)f(x)xln a的单调区间；(2)若曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线与曲线yg(x)在点(x2，g(x2)处的切线平行，2证明x1g(x2)2ln ln aln a；(3)证明当a1ee时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线(1)解由已知得h(x)axxln a，则h(x)axln aln a令h(x)0，解得x0.由a1，可知当x变化时，h(x)，h(x
4、)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)h(x)0h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)证明由f(x)axln a，可得曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线斜率为1xaln a.由g(x)1xln a，可得曲线yg(x)在点(x2，g(x2)处的切线斜率为1x2ln a.因为这两条切线平行，所以有1xaln a1x2ln a，即x21xa(ln a)21，两边取以a为底的对数，得logax2x12logaln a0，所以x1g(x2)2ln ln aln a.(3)证明曲线yf(x)在点(x1，1xa)处的切线为l1：y1xa1xaln a
5、(xx1)曲线yg(x)在点(x2，logax2)处的切线为l2：y logax21x2ln a(xx2)要证明当a1ee时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线，只需证明当a1ee时，存在x1(，)，x2(0，)，使得l1与l2重合即只需证明当a1ee时，下面的方程组有解1xaln a1x2ln a，1xax11xaln alogax21ln a，由得，x211xaln a2，代入，得1xax11xaln ax11ln a2ln ln aln a0.3因此，只需证明当a1ee时，关于x1的方程存在实数解设函数u(x)axxaxln ax1ln a2ln ln al
6、n a，即要证明a1ee时，函数u(x)存在零点u(x)1(ln a)2xax，可知当x(，0)时，u(x)0；当x(0，)时，u(x)单调递减，又u(0)10，u1ln a2 121lnaa0，使得u(x0)0，即 1(ln a)2x00 xa0.由此可得u(x)在(，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减u(x)在xx0处取得极大值u(x0)因为a1ee，所以 ln ln a 1，所以u(x0)0 xax00 xaln ax01ln a2ln ln aln a1x0ln a2x02ln ln aln a22ln ln aln a0.下面证明存在实数t，使得u(t)1ln a时，有u(x)(1xln a)(1 xln a)x1ln a2ln ln aln a(ln a)2x2x11ln a2ln ln aln a，所以存在实数t，使得u(t)0.因此当a1ee时，存在x1(，)，使得u(x1)0.所以当a1ee时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线.