《专题07 函数单调性、极值、最值综合运用(解析版)-2023年新高考数学之导数专项突破（新高考）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07 函数单调性、极值、最值综合运用(解析版)-2023年新高考数学之导数专项突破（新高考）.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 7 函数单调性 极值 最值综合运用一、单选题fq Y 丫3 Y2 J，若函数 x)无最小值，则实数。的取值范围是()A.(-,1)B.(-8,1 C.(-l,+oo)D.(1,+)【解析】由y =3 x-V 得 y =3 3/,令 y 。,得,令 y 0,得x l,所以y =3 x-V 在 上 单 调 递 减，在(-1,1)上单调递增，在(1,物)上单调递减，所以当x =l 时，y =3x-x，取得极小值，为一 2,3 3 2 a因为/(x)=无最小值，所以:.,解得-1.故选：A2x9xa 3a-a 2a2 .已知函数/(x)=d 1 2 x,则()A.函数/(x)在(-8,0)上单
2、调递增 B.函数/(x)在(-8,8)上有两个零点C.函数“X)有极大值1 6 D.函数/(X)有最小值-1 6【解析】/(X)=3X2-1 2,由f(x)0,得x 2,由/(x)0,得 2 x 0,极小值为/=-1 6 0,所以/&)有 3 个零点，且，无最小值.故选：C3.如图是函数y =/(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是()A.f(x)在 2,-1 上是增函数B.当x =3 时，“X)取得最小值C.当x=l时，x)取得极大值 D.x)在-1,2上是增函数，在 2,4上是减函数【解析】根据图象知：当x e(2,4)时，/(x)0函数y=f(x)单调递增.所以y=x)在-2,-1上
3、单调递减，在(-1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4,m)上单调递增，故选 项A不正确，选项D正确；故当x=-l时，x)取得极小值，选项C不正确：当x=3时，.“X)不是取得最小值，选项B不正确：故选：D.4.已知函数f(x)=gx3+gx2_2x+i,若函数f(x)在(2a,2a+3)上存在最小值，则a的取值范围是()A.1 B.-1,C.(1,3)D.2)【解析】f(x)=1 V+万尸 2x+1 _/(x)=x2+x 2=(x+2)(%1),当 2 x l时，/a)单调递减；当x l时，X)单调递增，Ax)在x=l、x=-2处取得极值./(1)=?+二2+1 =-!，3 2
4、61 1?9/(-2)=-(-2)3+-(-2)2-2-(-2)+1 =y,函数 f(x)在 X=1 处取得最小值，函数f(x)在(2a,2a+3)上存在最小值，/.2 a l 0),xo又由/(小)=0,所以芯+合+6!/=0,即 a2=-XQ-bnx0=-XQ+2x；ln%N 0,所以二 之五.设a?-b=g()=片+2片 In陶,当天时，g(%)=4毛+4/山毛之0,所以8(%()=片+2片ln 在&,+8)上单调递增，当天=。时，可得gG oL =g()=2e,所以a?-/?的最小值为2e.故选：B.6.函数/（x）=x+2cosx在 0,兀 上的最大值为（）A.4 2 B.C.2 D
5、.F5/36 6【解析】由题意，r（x）=l-2 sin x,.当OWsinxW，x 在 0,2 和 区，力 上/（x）N 0,即/单调增；2 6 6|jr S7 7当:sin x 4 l,x 在（=）上/（x）/（0）万），（当，（X）在io,网上的最大值为m+技 故选：D.6 6 67.己知函数/（力=炉+3如+1在（0,1）内存在最小值，则（）A.m0 B.0 21 C.lm 0 D.m【解析】因为 x）=V+3,n r+l,所以:（%）=3#+5），因为.“X）在（0,1）上存在最小值,所以/n 00 -m 1解得-1?2 x-In x-4 有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（）A
6、.(2-ln3,2-ln2C.(-0,2-In 3B.(f 2-ln2)D.(-oo,2-ln3)【解析】首先x=2时，不等式为2 a-2 a 4-ln 2-4,恒成立，即整数2 是不等式的一个解，则由题意1或3 是不等式的另一个整数解.若 1 不是不等式的解，则a-2 a W 2-ln l-4,a 2,此时不等式化为：（a 2）x+lnx 2“4,易知函数y=（a-2）x+ln x在（0,+co）匕是增函数，则大于2 的所有整数都是原不等式的解，不合题意.所 以 1 是原不等式的解，大于3 的所有整数不是原不等式的解，a l,g(x)0,g(x)单调递增,U-2)2(x-2)2所以g(x)2
7、g(3)=2-ln3,所以a4 2-ln 3.综上。的取值范围是(-0恒 成 立,g(x)在(0,+向 上单调递增，所以g(x)g(O)=l,所以g(x)无零点，满足题意；机0时，g(x)=0的解为x=ln(2回，所以当0cxln(2咐 时，/(x)ln(2?)时，g(x)0,g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(ln(2?)=2祖-2mln(2m),要是g(x)在(0,+e)无变号零点，所 以 为-2的(2间2 0,解得机所以综上所述满足题目要求的m的范围为卜 与 .故选：D.1 0.己知函数x)=x e 4-l n r,若“x)N5，-9恒成立，则实数，的 取值范围为()A.1 8,
8、B.(-,1 C.(-0)，则=产，问 题 转 化 为-21nd5m-9恒成立.令g(f)=/e T-2 1 n r,则8，(。=(尸+2 3，_：=(/0)，因为r 0,所以90.令2)=%中 0),则(r)=(*+2e0,所以砌 在(0,+向 上单调递增，又 l)=e-1 0,唯)邛_10,所以存在使得/&)=(),即柒。-1 =0,所以当，(0 4)时，/?(r)0,即g(r)0,即g(f)0,所以g。)在(0,幻 上单调递减，在&，m)上单调递增,所以8(必 =8。)=铲-0-2 1叫 又 芦-1 =0,所 以 靛，=1,=(所以g(”m“=l T()-l n 1 =l T o+f o
9、=1，所以 1 2 5%一9，解得m W 2.故选：C二、多选题1 1.已 知 函 数=,则下列结论正确的是()A.函数/(X)存在三个不同的零点B.函数/(x)既存在极大值又存在极小值C.若x e R+oo)时，/(x)m ax=-,则，的最小值为2D.当-e%0时，方程x)=Z有且只有两个实根【解析】r(x)=/+x+2,令/(x)=0,解得尤=-1或了 =2,e当X 2时,f(x)0,故函数f(x)在(3,-1),(2,+8)上单调递减,当1 X 0,故函数在(-1,2)上单调递增，且函数f (x)有极小值/(-I)=-e ,有极大值“2)=，当x趋近负无穷大时，/(x)趋近正无穷大，当
10、x趋近正无穷大时，f(x)趋近于零，故作函数草图如下，由图可知，选项B D正确，选项C错误，的最大值为2.故选：B D.1 2.函数x)=a(e*l)+x(x-2),其图象在坐标原点处与 =相切，贝()A.a=3B.函数f(x)没有最小值C.函数(X)存在两个极值D.函数“X)存在两个零点【解析】由题意可得r(x)=ae*+2 x-2,旦/(0)=-2 =1,所以a=3,所以/(X)=3(e*-)+x(x-2)=3ex+x2-2x-3,f(x)=3e+2x-2,令 r(x)=3 e*+2 x-2 =0,则3 e*=2 x+2,设交点的横坐标为：机，则-当，机时，f(x)(),函数是增函数,所以
11、x=团是函数极小值点,fm)是函数最小值，因为函数/(X)过(0,0),加)0所以函数存在两个零点，故选：A D1 3 .设函数/(x)=xl n 2 x+x的导函数为,(X),则()A./-)=0 B.x=1 是/(x)的极值点e eC./(X)存在零点 D./(x)在g,+8)单调递增【解析】由题可知，(幻=xl n2 x+x 的定义域为(0,+8),对于 A,/(x)=l n2x+2 1 n x+l ,则/()=山？+2 l n +l =1-2 +1 =0,故 A 正确：e e e对于B、D,r(x)=l n2x+2 l n x+l =(l n x+l)20,所以函数/3)单调递增，故无
12、极值点，故 B错误，D正确；MT C,/(x)=xl n2x+x=x(l n2x+l)0,故函数于幻不存在零点,故C错误.故选：A D.1 4.已知函数/(x)=e、(V x1),则下列选项正确的有()A.函数“X)极小值为-e,极大值为之.e-B.函数/(x)存在3个不同的零点.C.当xe-2,2 时,函 数 的 最 大 值 为D.当-e4 恰 有 3 个不等实根.【解析】f(x)=ex(x2-X-1)+ev(2x-1)=eJ(x2+X-2)=er(x+2)(x-1),.在(,-2),(1,+8)匕/V)0,/(x)单调递增，在(-2,1)匕 r(x)Y0时，/(x)-O,x-+8时，f(x
13、)-KO,且/(x)极 大 值=5e 2 0,/()极 小 值=-e 0,所以函数有两个零点，故 B 错误；由函数单调性知，AM 在-2,1 上单调递减，在 1,2上单调递增，且-2)=56-2,/(2)=占(4 _ 2-1)=/，故函数/(x)的最大值为/，故 C 正确;方程/(%)=我恰有3 个不等实根，可转化为y=f(x)与 y=%的交点有3 个，由上述解析可知，/(x)的图象为:山图象可得当-evkW O 时，/(x)=A行2 个实数根，当0“5厂 时，/3 =左有1 个实数根，故 D 错误.故选：AC1 5.对 于 函 数 力=粤，下列选项正确的是()A.函数“X)极小值为-，极大值
14、为千B.函数/(x)单调递减区间为(一 ,-e 3 e，母)，单调递增区为-e,O)u(，eC.函数/(x)最小值为为-e,最大值eD.函数/()存在两个零点1和-1【解析】/)=幽 的 定 义域为(-8,0)U(0，),所以一幻=5 上且=幽=-/(幻，X-x X所以 力=幽 为奇函数，当x 0 时，x)=g,尸。)=匕 学，令r(x)=O,解得x=e,X XX当xe(O,e)时，f(x)0,则f(x)为单调递增函数，当xe(e,+8)时，f(x)0,/(%)_4 16C.函数g(x)的极值点有2个 D.函数g。)存在唯一零点飞(3,4)【解析】对于 A,7(x)=2x+l+ln x,令(x
15、)=r(x),则”(x)=2+1 0,故尸(x)在 上 单 调 递 增，./(到2/|=(+皿；=上 詈 0,/(X)在 为 上单调递增，/侬=1)=3,故A正确；对于 B,由选项 A 知，(x)在(0,+向 上单调递增./?|=gx(3-41n2)0,-l0,r(x)0,f(x)单调递增:/(比“=/(9)=*+毛1 1 1+2=考+(-2-1)+2=一宕一+2=_+4+2_I-2)41 14 2I,故B正确;4 16对于 C,(x)=/(x)-ev=x2+xlnx+2-et,定义域为(0,+少)，(x)=2x+lnx+l-e 令加(x)=g),则“()=-7-ex 0,(2)=(-e2 0
16、,机(x)=g，(x)单调递增;当x w，+oo)时,夕(x)=/n(x)帆(l)=3-e0.又tn出=2-ln2 血 0,/(2)=5+ln2-e2 0,，7(x)=g(x)有两个零点，g(x)有两个极值点，故C正确；对于 D,由选项 C 知当x2,+8)时，m(x)0,.当X G(3,4)时,M?(X)0,于是g(x)在(3,4)上单调递减，；.当、3,4),g(x)g=ll+31n3-e3 0,则“X)有最小值D.若/(x)W(a l)x2+(b+l)x+c有解，则实数c的最小值为一 11 y _ 1【解析】易得x 0,对于A,若a=O =l,则/(x)=x-l-ln x,/(力=1 一
17、 嚏=丫，当时，广(力0,则x)在(1,内)单调递增,A错误;对于 B,若 4=6=1,则 x H V+x l I n x,尸 =2x+=2)+,-1 =R x -1)(x+1),)X X X当 时，f(x)0,显然 A=+8 a 0,设两根为牛超，X X则不刍=0,尤 2 o,则当 xe(0,X|)时，f(x)0J(x)单增，则/有最小值八 3),C正确;对于 D,ax2+b x-l-l n xS(a-l)x2+(b+l)x+c 有解，等价于 c N f _*_ 一 1 1万有解，令 g(x)=f-x-1-In x,则8，(幻=2 1 =2-1尸+1)(1),当 xe(0,l)时，f(x)0
18、J(x)单增，则g(x g(l)=-l,则c N 1,则实数c的最小值为一1,D正确.故选：B C D.三、填空题1 8.若函“回=门*-5)-1 区3 +2 区2 只有一个极值点，则/的 取 值 范 围 为.【解析】/*)只有一个极值点=/(x)只有一个变号零点.fr(x)=ex(x 5)+ev-kx2+4kx=(ex kx)(x-4),易知:(4)=0 ,fr(0)=-4 ,首先/(x M O 必有一个解x=4,k 0 时，由e*-f c r=O,x =0 显然不是方程的解，因此=史，X令g(x)=E,g，(x)=A*l).,x 0 或0 x l 时，g(x)l 时，g(x)o,X Xg(
19、x)在(7,0)和(0,1)上都递减，在。,”)上递增，Xf+O T 时，g(x)-+o o,X -0*(即从原点有右侧逼近，g(x)-+,X-0-(即从原点有左侧逼近，g(x)f-0 0 ,大致图象如图所示：0 时，g(x)的图象与直线y =都有一个交点，与f(x)仅有零点矛盾，舍去，当=0 时，r(x)=ev(x-4),x 4 时,f(x)4 时/*)递增，/&)只有一个极值点，0 女 e 时，g(x)=土与直线丫=左无交点，因此函数只有一个零点，Xk=e时，(x)=(ev-ex)(x-4),/(无)二。有两个解x =l 和x=4,x i时，r wo,1 犬 4 时，/v)o,X =1不是
20、函数的极值点，f(x)只有x =4一个极值点.%e时，g(x)的图象与直线丫 =左有两个交点，方程e*-f c r=O有两个解，x-4=0有一个解x=4 ,要使得/(x)仅有一个极值点，则x =3必为/。)=0的重根，所 以 人 更，4综 上,4的范围是 o e u 1 .419 .已知函数/(x)=l n x,若对任意耳,(。,+0 0),%；(%)-/()2(，叫72)恒成立，则 机的最大值为【解析】因为函数/(x)=l n x,若对任意西,(0,*),*：/(西)-)之(，叫一)恒成立，所以M(ln再一lnxj+x；2即土M土+令五=，则2 n五+%=4型+工，xtx2 X2 x2 X|
21、X,x2 X,X,t令 g =M n f+；,则 g(r)=I n r+l-j,又 g(r)=I n r+l-在(0,+8)上单调递增，且 g =0,所以g(f)在(0,1)上单调递减，在。,物)上单调递增，所以g(。而n=g(l)=l,所以ml,即也的最大值为1.四、解答题20 .己知函数/(力=一/+2/+1,x =2是4X)的一个极值点.(1)求实数。的值；求 x)在区间-3,4 上的最大值和最小值.【解析】(D：f(x)在x=2处有极值，A /，(2)=0,V f(x)=-3+4ax,12+8 a =0,.-.=p经检验，当a 时，x=2是x)的极值点，a 由(I)=./(X)=-X3
22、+3X2+1,r(x)=-3x2+6x,令/(x)=0,得芭=0,X,=2,当x变化时/(X),/(x)的变化情况如下表：X-3(-3,。)0(0,2)2(2,4)4/(X)0+0f(x)5 51/5-15从上表可知:/在区间-3,4 上的最大值是5 5,最小值是-15.21.已知函数/(x)=x-(4 +l)I n x,a e R.x(1)求/(x)的单调区间；(2)若且Ax)的极小值小于2-4 1n 3,求。的取值范围.【解析】(1)/(%)=1 +-=-4-(x 0),X X X当为。时，当0 x l 时，/(x)l 时，/(x)0,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,小)匕单调
23、递增；当0 “l 时，/(x)0,当a x l 时，/(x)l 时，当 0 x a 时，f(x)0 ,当 l x a 时，f(x)l,由(1)知/(x)的极小值为f(a)=4-l-(a +l)l n“，令 g(a)=a-l-(a +l)l n a ,a i,则g (4)=l-(l n a +史 3 =-l n 0 ,a a所以g(a)在(I,)上单调递减，且g(3)=2-4 1n 3,由 的 极 小 值 小 于 2 4 1n 3,可得g(a)3.22.已知/(x)=l n x +a r,a w R.(I )讨论/(x)的单调性；(I I )若。0,f(x)=a.x当“2 0 时，/。)0 恒成
24、立，.,函 数/(x)在(0,”)上单调递增；当a 0 时，令 f(x)=L +a =O,解得=-工.x a当0 x 0,，/(x)在(0,上单调递增；a a)当x 时，r a)o,.函数/(X)在 上 单 调 递 减.综上可知，当a N O 时，函数f(x)在(0,+8)上单调递增；当。0 时，函 数 在(0,-：)上单调递增，在(-J+s 上单调递减.(I I)证明：若aT,则 由(I )可知，/(x)在x =-处取得极大值，a /(X)m a x =U=+a(T=T n(-“)-i-令g(x)=-ln x-l.0,g(x)=0,，函数g(x)在(0,+)上单调递减.X又二-，,J(x)m
25、ax=-ln(-tz)-l-lnl-l=-l,/(x)0解得或X 2,令r(x)0解得、x+2x2-4x+5.：/,(X)=3X2+4X-4.由 _f(x)=O,解得 X=-2 或 X=,当x在J U 上变化时,.f(x)和/(%)的变化如下:X-4(T-2)-2231/(X)+0-0+“X)-11单调递增极大值 2)=13单调递减极小值陪居单调递增4.由表格可知当x=Y时，函数f(x)取得最小值/H)=-ll,当x=-2时，函数取得极大值同时也是最大值/(-2)=13,故/(功侬=A2)=13 出=T 1 .2 4.已知函数/(x)=g以3 +/+法+c,曲线y=/(x)在(0J(0)处的切
26、线方程为y=x+l 求A c的值;(2)若函数x)存在极大值，求的取值范围.【解析】尸(力=加+2%+少，因为/(X)在点(O J(O)处的切线方程为y =x+l,所以m/,(0)=1 ，解 得b仁=(2)/(x)=加 +x2+x+l,当。=0时，/(x)=f+x+l不存在极大值，不符合题意.当a 0时，/(*)=加+2*+1.令 加+2 x+l=0.当A=4-440,即a Z l时，不符合题意.(i i)当A=4-4a 0,即01时，方程g?+2+1 =。有两个不相等的实数根.设方程两个根为中W，且 与x J (x)J(x)的变化如表所示：X4(办X?(x2,+oo)(x)+004-“X)/
27、极大值极小值/所以/(为)为极大值.当。0恒成立.设方程两个根为为，弓，且不0,且“X）在；,3 上单调递增，求。的取值范围.【解析】（1）因为/（犬）=（/+。卜2 _（34+1）了 +111犬，x 0.所以（工）=2（+“卜 3a-l+1=Q 二 1）（1）上 1X X又工=1是.“X）的极小值点，所以r =。（勿一1）=0,解得：“=o 或=；.当4=0 时，/（x）=，则/（x）在（0,1）上单调递增，在（1,y）上单调递减，则x =l 是“X）的极大值点,不符合题意.则“X）在 传）和）上单调递增，在 停 1）上单调递减，则x =l是/（X）的极小值点，符合题意.故。=g.（1）知:
28、尸 =（2axT）（a +（x T ,x 0,令（2 依一l）（a +l）x _ f|=0,解得：x =-L 或x =-L.2。+1当二 一 ，即时，此时单调递增区间为（o,二-）d，+8 1，其中一二 2.。+1 3与 结 合，得到4 2 2当:=W，即T 时，尸（x）gT）0,“X）在（0,+8）上单调递增，符合题意.当!-7,即0 二 要想“力在匚,31上2a a+I a+lj 2a）2a 2 L3 _1 2单调递增，所以一三 23,解得：。+1 3综合O v a v l,可知不等式无解.综上所述，。的取值范围为l U 2,+o）.2 6.已知ae R,函数/(x)=6i x-l Tnx
29、.讨论 x）的单调性;当 a =1时，若对Vx w (0,田),/(x)N 区2 恒成立，求实数b的最大值.【解析】(l)x)的定义域为(。，+8),尸(力=。-/=丝 4，当a M0时，r(x)0 时，令r(x)0=x ,；/,(x)0 x 0 时，/(X)在(o,1)上单调递减，在 上 单 调 递 增./4=1,/./(%)=工一1 一 I nx J(元)之法一2恒成立，即方 1+_ 1一 叱,食 0)恒成立，令 g(x)=i+_L-g,则g，a)=g2,X X X X X由 g 0,得 x e，由 g (x)0,得 0 x 0),X X8 4+4 函数/在x =2 处取得极值，(2)=-
30、=0,解得。=T,x当 a =Y 时，/(X)=2(r*2)=2(x+l)(DX X 当0 V X V 2 时，r(x)2 时，r(x)0,/单调递增；当 =-4时，函数/(x)在x =2 处取得极小值；(2)g(x)=f(x)-a x =x2-(a +2)x+anx,.,/、o/-a 2x2-(a+2)x+a(x-l)(2 x-t z)-g(x)=2x-(a+2)+=-=-(x 0),X X X令/(x)=0,则x =l 或x =,当。/0时-，令g (x)o可得x l,.函数g(x)的单调递增区间为(l,x o)；当0 a 0可得0 l ,/.函数g(x)的单调递增区间为(0,3(L+8)
31、；当。=2时，g (x)z o在x w(0,y)上恒成立，.函数g(x)的单调递增区间为(0,+8)；当”2时，令g (x)0可得0 x 0),.d Q)=2(_：)=2,1),令”=o,解得/=,当0 f v l时，S 1时，0,夕单调递增;.当f =l时，即)取得极小值即最小值为。(1)=2,(%+X)_ 3(芭 +x,)2 2 (为 +工2)3(X +)2 N 0,解得王+x 2 (舍去)或&+、3+-%+W的取值范围为3+后 2 8.已_1A知_ 函_数/、二 er -a-l-n-x-+-x-+-1x(1)若X =1是f(x)的极值点，求(2)若。=1,证明：/(x)0.【解析】由题意
32、知x 0,/、rf(x)=e-+1 Yx-alnx+X +1)-=ea-alnx-1 ,2则 八l)=e_(a _ l)=0,解得 =e+l；w，、e-(e+l)l nx当 a =e+1 时，/(x)=e-4-xx2ev+(e+l)l nx-e2X当 x l 时，x2ev e,(e+l)l nx 0,x2eA+(e+l)l nx-e 0,fx)0,当0 x l 时，xV e,(e+l)l nx 0,x2eA+(e+l)l nx-e0,fx)0),贝 I /(x)=(x+l)e*0,又g J =-1 e =l,=,x0=ln =-ln x0,则函数 g(x)在(0,与)单减，在(如+o o)单增
33、，X()o贝 ijg(x)*g(x o)=x o e&-ln x0-x0-l=l +x0-x0-l=(),贝!|f(x)=-1 =e _ l n A+A+I o.2 9.己知函数/(x)=e-；o?-；法2-x,其中q/e R,e =2.71 828为自然对数的底数.(1)若a =0,b=l,证明：当x N O 时，/(x)l；当x 0 时，/(x)0,故/(x)单调递增，当尤 0 时，/(x)=e，1 /(0)=0,故 x)单调递增，又 0)=1,所以当x N O 时，/(x)l；当x 0 时，/(x)l函数 x)在区间(0,1)内不单调，即f(x)=e-加-区-1 存在零点，由a+b =e
34、-l可知/(1)=0,又/(0)=0,而函数f (x)在区间(0,1)内有零点，则函数尸(力在区间(0,1)内至少有三个单调区间，令 g(x)=/(x)=e*-2o r-b,又 g(x)=e-2t t若 则 2a 41,g x)=e*-2/0 ,所以函数g(x)在区间 0 上单增，函数g(x)即/(x)在区间 0,1 上单调,不可能满足函数/(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.若a*,则2a N e,g(x)=e*-2a 4 0,所以函数g(x)在区间 0,1 上单减，函数g (力即函(x)在区间 0,1 上单调,不可能满足“函数尸(X)在区间(0,1)内至少有：:个单调区间
35、这一要求.若 则 l 2 a e,于是当 0c x ln(2a)时，g(x)=e*-2 a 0,当 ln(2a)x 0,所以函数g(x)在区间 0,ln(2a)上单减，在区间 ln(2a),l 上单增，若，a,贝 i j g(x)1n h i=2-2Hn(2)一 人=3-2a ln(2i)-e +1 ,3 1 /?(x)=x-x ln x-e +l(O x 0=x /e所以M x)在区间(1,&)上单增，在区间(五,e)上单减h(x /max=/z(Ve j=Ve-/e ln /e-e 4-l=/e-e +1 0,即 (x)m in 0 1 e所以,、,八，得e 2a l,X-a-,所以e 2
36、 a 0 2 2综上，”的取值范围为(e-2,1)V3 0.已知函数/(X)=F.e 求函数f(x)的极值，(2)对任意实数x 0,/(x)V(x-a)ln x +l恒成立，求正实数a的取值范围.【解析】由题意，函数x)=Cr，可得析(力=紧,令/3 =0,可得x=l,e eX(-8,1)1(1,+c o)/(x)+0/(x)递增极大值递减所以函数/(X)的极大值为八1)=1,无极小值.Y(2)令目。)=/(九)一(-4)皿1+1=-7 7-(-。)1 1 1 1-1,e1 X a可得 g(x)=V-l n x-l +,因为对任意实数1 0，/(x)W*j)ln x +l 恒成立，即e x设(
37、x)=g(x)=W1 Tx nx 1 +c色i ，。0,可得x=一 2 上1 一c二i 三x 一2 上1，ex e x x e x若xc(0,2时，/Z U)2,令 x)=x l 21 n(x l),可得r(x)=l-=0 x-x-当x e(2,3)时，i(x)0,f(x)单调递增,所以=3)=2-21 n 2=2(l-ln 2)0,所以 x-l n(x-I)2,两边取指数得到e i(x-l)2,因为当x2时，/（x）=_ J_ 一 二 三 e x x-eJ x-2x(x-l)21 x2-2x-(x2-2x+l)x x(x-l)2TX x-1)2 0;g m +l)=-ln(a +l)-l+y 0,2 er，由零点存在定理知，存在唯一+使得9（毛）=，X（0,而）1（与 收）g(x)+0g(x)递增极大值递减所以g(%)4 0,因为g(l)=0,则 x=l,g =0,所以4=1.