专题21直线与圆锥曲线 (解析版).pdf-淘文阁

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1、安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨1方法技巧专题 21直线与圆锥曲线一、知识框架二、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系：1.代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立，消去y(也可以消去x)，整理得到关于x（或者y）的一元方程02cbxax.（1）当0a时：计算acb42.若0，则C与l相交；若0，则C与l相切；若0，则C与l相离；（2）当0a且0b时：即得到一个一次方程，则C与l相交，且只有一个交点。若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物

2、线的对称轴的位置关系是平行或重合2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像，利用图象和性质可判断C与l的位置关系1.例题1.例题【例 1】已知椭圆22143xy，直线l：1xmymmR，直线l与椭圆的位置关系是（）A相离B相交C相切D不确定【解析】直线l：1xmymmR化为110 xm y，可得直线l恒过点1,1，由2211143可知该点在椭圆内部.所以直线l与椭圆相交，故选：B.【例 2】已知点,A B为曲线1yx上两个不同的点，,A B的横坐标12xx、是函数21()ln2f xaxaxx的两个极值点，则直线AB与椭圆2214xy的位置关系是（）A相离B相切C相交D位置关系不确

3、定【解析】由21()ln2f xaxaxx，得211()axaxfxaxaxx，因为,A B的横坐标12xx、是函数21()ln2f xaxaxx的两个极值点，所以12xx、是方程210axax 的两根，因此1212110 xxx xaa，又点,A B为曲线1yx上两个不同的点，所以121212111ABxxkaxxx x 因此直线AB的方程为：111()ya xxx-=-=-，即1121211()(1)yaxaxaxaxaxaxa xxaxaa xx=-+=-=-+=-=-=-+=-=-+=-=-，即直线AB恒过定点(1,0)，又点(1,0)显然在椭圆2214xy内，因此直线AB与椭圆221

4、4xy必相交.故选：C.【例 3】已知12,F F是椭圆22:143xyC的左右焦点，P是直线:()l yxm mR上一点，若12PFPF的最小值是4，则实数m_.【解析】依题意椭圆22:143xyC，则24a，2a，又因为，P是直线:()l yxm mR上一点，若12PFPF的最小值是4，则此直线与椭圆相切.由22143xyyxm消去y并化简得22784120 xmxm，判别式248 70m，解得7m .故答案为：7.【例 4】直线3yx=+=+与曲线2194x xy（）A没有交点B只有一个交点C有两个交点D有三个交点【解析】当0 x 时，曲线为22194yx，与直线方程联立得：213240

5、 xx解得：10 x，22413x 此时直线与曲线有两个交点当0 x 时，曲线为22194yx，与直线方程联立得：25240 xx解得：10 x（舍），2245x 此时直线与曲线有一个交点综上所述：直线与曲线有三个交点故选：D【例 5】已知直线2ykx与双曲线224xy的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（）A(1,1)B(2,2)C(1,2)D(2,1)【解析】双曲线渐近线为yx，直线2ykx过定点(0,2).画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线2ykx与双曲线224xy的右支相交于不同的两点，则1k ，结合选项可知只有 D 选项符合.由2224ykxxy

6、消去y得2224xkx，化简得221480kxkx，因为直线2ykx与双曲线224xy的右支相交于不同的两点，所以221632 101kkk ，解得21k.故选：D.【例 6】已知双曲线C：222210,0 xyabab的左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线l与圆222xya相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若TFPF114，则双曲线C的离心率为_.【解析】如图，由题可知12OFOFc，OTa，则1FTb，又TFPF114，3TPb，14FPb，又122PFPFa，242PFba作2/F MOT，可得22F Ma，TMb，则2PMb在2MPF，22222PMMFPF，即222cb

7、a，2bac又222cab，化简可得223250caca，同除以2a，得23250ee解得53e，双曲线的离心率为53【例 7】若直线210 xcy 是抛物线2xy的一条切线，则c _【解析】联立直线和抛物线得到2210 xcyxy 2210cxx 01c 故答案为：1.【例 8】已知抛物线C的方程为212xy，过点(0,1)A和点(3)B t，的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A(,1)(1,)B22(,)(,)22 C(,2 2)(2 2,)D(,2)(2,)【解析】据已知可得直线AB的方程为41yxt，联立直线与抛物线方程，得24112yxtxy，消元整理，得24210

8、 xxt，由于直线与抛物线无公共点，即方程24210 xxt 无解，故有24()80t，解得2t 或2t .【例 9】过点(0,2)P且与抛物线22(0)ypx p只有一个公共点的直线有（）A1 条B2 条C3 条D4 条【解析】画出图像如下图所示，由图可知，2,0yx这两条直线与抛物线只有一个公共点，另外过P点还可以作出一条与抛物线相切的直线PA，故符合题意的直线有3条，故选 C.2.巩固提升综合练习2.巩固提升综合练习【练习 1】已知曲线1:2Cyx与曲线222:4Cxy怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A,10,1 B1,1 C1,1D1,01,【解析】双曲线1C的方程为2,

9、022,0yyxyyy，所以，曲线1C的图象与曲线2C的图象必相交于点0,2，为了使曲线1C与曲线2C恰好有两个公共点，将2xy代入方程224yx，整理可得214440yy.当1 时，2y 满足题意；当1 时，由于曲线1C与曲线2C恰好有两个公共点，2161611160，且2是方程214440yy的根，则4101，解得11.所以，当0y时，11.根据对称性可知，当0y 时，可求得11.因此，实数的取值范围是1,1.故选：C.【练习 2】对不同的实数值m,讨论直线yxm与椭圆2214xy的位置关系.【解析】由2214yxmxy消去y得，2258440 xmxm222644 54416 5mmm

10、当0 时，25,55mm，此时直线与椭圆相交；当0 25,5mm，此时直线与椭圆相切；当0，25,55mmm 或此时直线与椭圆相离.【练习 3】过点3,0和双曲线2210 xaya仅有一交点的直线有（）A1 条B2 条C4 条D不确定【解析】直线斜率不存在时,不满足条件；直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意过点3,0和双曲线2210 xaya仅有一交点的直线有 2 条故选:B【练习 4】已知双曲线222210,0 xyabab的右焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A(1,2B(1,2)C(1,2)D(2,)【解析

11、】双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa，由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是0,4，渐近线斜率1()0,k，而22bcakaa，由此得不等式2221caa，即222ca，故2222cea，所以12e，故选：C【练习 5】已知抛物线24yx，直线 l 过定点(-1,0)，直线 l 与抛物线只有一个公共点时，直线 l 的斜率是_.【解析】由题意可设直线方程为：yk（x+1），联立方程可得，214yk xyx，整理可得 k2x2+（2k24）x+k20（*）直线与抛物线只有一个公共点（*）只有一个根k0 时，y0 符合题意k0 时，（2k24）24k40整理，得 k21，解得1k 或 k

12、1综上可得，1k 或k1 或 k0故答案为1 或 0 或 1【练习 6】已知抛物线21:2Cypx的焦点F与椭圆22184xy的右焦点重合，抛物线1C的准线与x轴的交点为K，过K作直线l与抛物线1C相切，切点为A，则AFK的面积为（）A32B16C8D4【解析】抛物线1C的焦点为,02p,椭圆的焦点为2,0,所以22p,即4p,所以抛物线方程为:28yx,则K为2,0,设直线l为2yk x,则联立228yk xyx,消去y,可得22224840k xkxk,因为直线l与抛物线1C相切,所以222248440kkk,则1k ,当1k 时,直线l为2yx,则点A为2,4,则114 4822AFKA

13、SAFy,由抛物线的对称性,当1k 时,8AFKS,故选:C三、直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题【一】弦长公式【一】弦长公式弦长公式：弦长公式：（1）题设：若斜率为k的直线l与圆锥曲线方程C有两个不同的交点）（）、（2211,yxNyxM，则MN 221212(1)()4kxxx x或MN 2121221(1)(y)4yy yk；（2）通径：过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦，长度为：2b2a；过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，长度为：2b2a；（3）题设：若斜率为k的直线l经过抛物线pxyC22：的焦点F，且与C交于两点）（）、（2211,yxNyxM，其中tank，则221sin2p

14、pxxMN；pppNFMF2cos11cos-1111；（4）题设：若斜率为k的直线l经过抛物线pyxC22：的焦点F，且与C交于两点）（）、（2211,yxNyxM，其中tank，则2221cos2)2(sin2pppyyMN；pNFMF211；1.例题【例 1】1.例题【例 1】斜率为 1 的直线 l 与椭圆x24y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为()A2B.4 55C.4 105D.8 105【解析】选 C设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt，由x24y24，yxt消去 y，得 5x28tx4(t21)0，则 x1x285

15、t，x1x24t215.|AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x2 285t244t2154 25 5t2，当 t0 时，|AB|max4 105.【例 2】【例 2】已知椭圆M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，焦距为 2 2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值【解析】(1)由题意得a2b2c2，ca63，2c2 2，解得 a 3，b1.所以椭圆 M 的方程为x23y21.(2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由yxm，x23y21，得 4x26mx3m230，所以 x1

16、x23m2，x1x23m234.所以|AB|x2x12y2y12 2x2x12 2x1x224x1x2123m22.当 m0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6.【例 3】【例 3】椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e12，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，且ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 AB 的斜率为 3，求ABF2的面积【解析】(1)由题意知，4a8，所以 a2，又 e12，所以ca12，c1，所以 b22213，所以椭圆 E 的方程为x24y231.(2)设直线 AB 的方程为 y 3(x1)

18、于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【解析】(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykx1，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1 或 k1(舍去)来源:学*科*网因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0

19、x05，x012y0 x012216.解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.【例6】【例6】已知抛物线y216x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|6，则|BF|_.【解析】不妨设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(A 在 B 上方)，根据焦半径公式|AF|x1p2x146，所以 x12，y14 2，所以直线 AB 的斜率为 k4 2242 2，所以直线方程为 y2 2(x4)，与抛物线方程联立得 x210 x160，即(x2)(x8)0，所以 x28，故|BF|8412.答案：12【例 7】【

20、例 7】已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线24xy21 的右支交于 A，B 两点，若|AB|8，则直线 l 的方程为（）Ayx21Byx21Cyx3 55Dyx3 55【解析】设斜率为 1 的直线l的方程为yxt，联立双曲线方程2214xy，可得2238440 xtxt，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，可得1283txx，212443tx x，则2222121264161643|1 1()4228933tttABxxx x，解得21t ，由于直线l与双曲线的右支交于两点，可得21t ，则直线l的方程为21yx故选：B【例 8】【例 8】过双曲线22194xy的左焦点作弦AB，使AB

21、4，则这样的直线AB的条数为_.【解析】2213cab当直线AB不存在斜率时，直线方程为13x ，此时把13x 代入双曲线方程中可得：43y ，此时448()4333AB ，这样有两条直线过左焦点作弦AB只与双曲线左支相交，使AB4；直线AB与双曲线左右两支都相交时，弦AB的最小值为26a，所以过左焦点作弦AB与左右两支都相交，使AB4的直线是不存在的.故答案为：2【例 9】【例 9】已知双曲线2212yx（1）求直线1yx被双曲线截得的弦长；（2）过点1,1P能否作一条直线l与双曲线交于,A B两点,且点P是线段AB的中点？【解析】（1）设直线1yx与2212yx 的交点3344,P x y

22、Q xy联立方程组22121yxyx，化简得：2230 xx，解得341,3xx，所以1,0,3,4PQ，所以弦长221 3044 2PQ （2）假设存在直线l与双曲线交于,A B两点,且点P是线段AB的中点.设11,A x y,22,B xy,易知12xx,由221122221212yxyx两式相减得1212121202yyyyxxxx,又1212xx,1212yy，所以 121220 xxyy,所以12122AByykxx,故直线l的方程为121yx,即21yx.由222112yxyx,消去y得22430 xx,因为162480 ,方程无解,故不存在一条直线l与双曲线交于,A B两点,且点

23、P是线段AB的中点.2.巩固提升综合练习【练习 1】巩固提升综合练习【练习 1】已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点 E3，32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若AF12F1B，求直线 l 的斜率 k 的值来源:学科网【解析】(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由2a|EF1|EF2|4，a2b2c2，c1，解得a2，c1，b 3，所以椭圆 C 的方程为x24y231.(2)由题意得直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，联立ykx1，x24y231，整理得3

24、k24y26ky90，则144k21440，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y26k34k2，y1y29k234k2，又AF12F1B，所以 y12y2，所以 y1y22(y1y2)2，则 34k28，解得 k52，又 k0，所以 k52.【练习 2】【练习 2】已知椭圆:22221xyab（0ab）的半焦距为c，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c（）求椭圆的离心率；（）如图，是圆:225212xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【答案】（）32；（）221123xy【解析】（）过点,0,0,cb的直线方程为0bxcybc，则原点O到直线的距离22bcb

25、cdabc，由12dc，得2222abac，解得离心率32cea.（）由（1）知，椭圆E的方程为22244xyb.依题意，圆心2,1M 是线段AB的中点，且10AB.易知，AB不与x轴垂直.设其直线方程为21yk x，代入（1）得2222148214 2140kxkkxkb.设1122,A x yB xy，则12282114kkxxk，221224 21414kbx xk.由124xx，得2821=414kkk，解得12k.从而21282x xb.于是222121212151410222ABxxxxx xb.来源:学&科&网由10AB，得210210b，解得23b.故椭圆E的方程为221123

26、xy.【练习 3】【练习 3】已知抛物线xyC3:2的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为BA,，与x轴的交点为P（1）若4 BFAF，求l的方程；（2）若3APPB ，求AB【答案】（1）3728yx；（2）4 133.【解析】设直线11223:,2l yxt A x yB xy（1）由题设得3,04F，故123|2AFBFxx，由题设可得1252xx由2323yxtyx，可得22912(1)40 xtxt，则1212(1)9txx 从而12(1)592t，得78t 所以l的方程为3728yx（2）由3APPB 可得123yy 由2323yxtyx，可得2220yyt所以122yy从而2

27、232yy，故211,3yy 代入C的方程得1213,3xx故4 13|3AB【练习 4】【练习 4】如图，过抛物线22(0)ypx p的焦点F的直线l交抛物线于点,A B，交其准线于点C，若4BCBF，且6AF，则p为（）A94B92C9D18【解析】设准线与x轴交于点P，作BH垂直于准线，垂足为H.由4BCBF，得：45BHBCPFCF，由抛物线定义可知：BFBH，设直线l的倾斜角为，由抛物线焦半径公式可得：41 cos5pBFBFPFpp，解得：1cos4，46131 cos3144pppAFp，解得：92p，本题正确选项为 B.【练习 5】【练习 5】已知复数,zxyi x yR满足：

28、552zza（022 5a），且z在复平面上的对应点P的轨迹C经过点4,3.（1）求C的轨迹；（2）若过点4,0A，倾斜角为4的直线l交轨迹C于M、N两点，求OMN的面积S.【解析】（1）由于复数,zxyi x yR满足：552zza（022 5a），所以z在复平面上的对应点P到5,0、5,0两点的距离之差为常数2a，且022 5a.所以P的轨迹是双曲线的右支.且5c.设轨迹C的方程为2222125xyxaa，将点4,3代入上式得2216315aa，解得24a 或220a（舍去），所以C的轨迹方程为22124xyx.（2）依题意，直线l的方程为4yx，由22414yxxy消去y得2332680

29、 xx.设1122,M x yN xy，则12123268,33xxxx.所以2121224MNxxx x102468 42084 26229393.O到直线l的距离为42 22d.所以114 268 132 22233SMN d.【练习 6】【练习 6】已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab与双曲线221164xy有相同的渐近线，且双曲线 C 过点4,3(1)若双曲线 C 的左、右焦点分别为1F，2F，双曲线 C 上有一点 P，使得1260FPF，求12FPF的面积；(2)过双曲线 C 的右焦点2F作直线 l 与双曲线右支交于 A，B 两点，若1F AB的周长是403，求直线 l

30、的方程【解析】(1)设双曲线 C：22164xy，点4,3代入得：14双曲线 C：2214xy在PF1F2中，设12,PFm PFn，22124201cos22mnmnFPFmn，由得：2220mnmnmn，16220mnmn，4mn，1 21sin6032PF FSmn；(2)1112240+22823F ABCAFBFABAFaBFaABAB83AB，1当直线 AB 斜率不存在时，1AB，不符合题意（舍）2当直线 AB 斜率存在时，设 AB：5yk x，联立：22514yk xxy，2222418 52040kxk xk2222122241116168134141kkkABkxxkk，解得

31、：1k ，此时，直线 l 方程：5yx或5yx .【二】面积问题【二】面积问题面积问题：涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和.(1)椭圆焦点三角形面积：）在椭圆上，（点21222tan1PFFPbSPFF(2)双曲线焦点三角形面积：）在双曲线上，（点21222tan1PFFPbSPFF(3)抛物线：题设：若斜率为k的直线l经过抛物线pxyC22：的焦点F，且与 C 交于两点）（）、（2211,yxNyxM，其中tank，则：sin2sin2212pMNpSMON.题设：若斜率为k的直线l经过抛物线pyx

32、C22：的焦点F，且与 C 交于两点）（）、（2211,yxNyxM，其中tank，则：cos22sin22sin22122ppMNpSMON）（）（.1.例题【例1.例题【例 1】过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,A B两点,点O是原点,若3AF;则AOB的面积为（）A22B2C3 22D2 2【解析】抛物线24yx焦点为1,0F，准线方程为1x ，由3AF 得1(2,2 2),(,2)2AB或1(2,2 2),(,2)2AB所以12AOBABSOFyy13 212 2222，故答案为 C【例【例 2】已知点F是抛物线C：24yx的焦点，直线l与抛物线C相切于点000,0P xyy，

33、连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线C于另一点B.（1）若01y，求直线l的方程；（2）求三角形PAB面积S的最小值【解析】（1）由01y 得1,14P,设直线l的方程为114t yx,由21144t yxyx得24410ytyt,因为直线l与抛物线C相切,故2164 410tt,解得12t.故所求直线l的方程11124yx,即122yx.（2）设切线l的方程为00t yyxx,211,4yAy,222,4yBy,又由A,F,P三点共线,故/FAFP ,2111,4yyFA,2001,4yFPy,化简可得,104y y ,20044,Ayy,由0024t yyxxyx得2004

34、440ytyyx,因为直线l与抛物线C相切,故024yt,即02yt,安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨21故直线PB的方程为0002yyyxx,30002204yy xyy,因此点A到直线PB的距离为302200220004244444yyyydyyy,由3000222044yy xyyyx得23000880y yyyy,0208yyy,2008yyy,故2002000448112yyyByyyP,所以220022000041148122244PABySd PByyyyy来源:Z_xx_k.Com3200414yy330

35、000141421644yyyy等号成立当且仅当004yy,即02y 时等号成立.此时三角形PAB面积S的最小值为 16.【例【例 3】已知点1F，2F是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，P为椭圆C上一点，且122FPF若12PFF的面积为 9，则b _【解析】122FPF,12PFF的面积为 9，设1|PFm，2|PFn则22221924mnamnmnc可得：224364ca，即2229acb，解得3b【例【例 4】已知点 A(0，2)，椭圆 E：22221xyab(ab0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF的斜率为2 33，O 为坐标原点.(1)求 E 的方

36、程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.【解析】（1）设,0F c，因为直线AF的斜率为2 33，0,2A所以22 33c，3c.又2223,2cbaca解得2,1ab，所以椭圆E的方程为2214xy.（2）解：设1122,P x yQ xy由题意可设直线l的方程为：2ykx，联立22142,xyykx，消去y得221416120kxkx，当216 430k，所以234k，即32k 或32k 时1212221612,1414kxxx xkk.所以22121214PQkxxx x2222164811414kkkk2224 1431

37、 4kkk点O到直线l的距离221dk所以2214 4321 4OPQkSd PQk，设2430kt，则2243kt，24441442 4OPQtSttt，当且仅当2t，即2432k，解得72k 时取等号，满足234k 所以OPQ的面积最大时直线l的方程为：722yx或722yx.2.巩固提升综合练习【练习巩固提升综合练习【练习 1】抛物线24yx的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AKl,垂足为 K,则AKF的面积是()A4B3 3C4 3D8【解析】由抛物线24yx可得1,0F,因为斜率为3,则直线方程为3133yxx,联立2334

38、yxyx,消y得231030 xx,解得11=3x,23x,因为交点A在x轴上方,所以3x,则3,2 3A,则223 12 34AF,则由抛物线定义可得4AKAF,因为直线斜率为3,即倾斜角为60,因为AKl,所以/AKx轴,即60KAF,所以113sin4 44 3222AKFSAF AKKAF ,故选:C【练习【练习 2】已知P为椭圆22412575xy上一点，12FF，是椭圆的焦点，1260FPF，则12FPF的面积为_【解析】由椭圆方程得：5a，5 32b，7552542c 设1PFm，2PFn，则210mna在12FPF中，由余弦定理得：22222122441002251cos222

39、2mnmncmncmnFPFmnmnmn解得：25mn 1212125 3sin24F PFSmnFPF【练习【练习 3】如图所示,直线ykxb与椭圈2214xy交于 AB 两点,记AOB面积为 S;(1)求在0k,01b的条件下 S 的最大值;(2)当2AB,1S,0k 时,求直线AB的方程;【解析】设11,A x y,22,B xy,（1）当0k 时,yb,联立2214ybxy,即2214xb,所以212 1xb,222 1xb,所以2124 1ABxxb,则21212SAB bbb,因为01b,所以设21cosb,则sinb,02，,则2sincossin2S,因为20,所以0,1S,则

40、S的最大值为 1（2）因为2AB,1S,所以211bhk,即221bk,联立22014ykxb kxy,则222148440kxkbxb,所以122814kbxxk,21224414bx xk,则2211ABkxx22121214kxxx x222224 44811 41 4bkbkkk2222414 114kbkk22234 114kkk2,整理可得424410kk,解得212k,所以22k 或22（舍）,则213122b ,所以62b 或62b ,所以直线AB的方程为2622yx或2622yx【练习【练习 4】已知椭圆：22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆的四个顶点围成四边形的

41、面积为 4.（）求椭圆的标准方程；（）直线l与椭圆交于A，B两点，AB的中点M在圆221xy上，求AOB（O为坐标原点）面积的最大值.【解析】（）由题意知32ca，得32ca，12ba，所以22223314xycc，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为 4，得24ab，所以2a，1b，椭圆的标准方程为2214xy.（）当直线l的斜率不存在时，令1x ，得32y ，131322AOBS，当直线l的斜率存在时，设l:ykxm，11,A x y，22,B xy，00,M xy，由2244ykxmxy，得222148440kxkmxm，则122814kmxxk，21224414mx xk，所以0241

42、4kmxk，2002241414k mmykxmmkk，将224,1414kmmkk代入221xy，得222214161kmk，又因为22121214ABkxxx x2222411414kkmk，原点到直线l的距离21mdk，所以221121AOBmSkk22241414kmk22221414mkmk22221414161kkk22214141161kkk222212142161kkk22221214161kkk2221 1611612kk.当且仅当221214kk，即24k 时取等号.综上所述，AOB面积的最大值为 1.四、课后自我检测1.已知直线1yx与抛物线214xy交于A，B两点，则A

43、B等于（）A4 2B6C7D8【解析】方法一：设A为11,x y,B为22,xy,联立2114yxxy得2610 xx,因为2=64 1 1320 ,则12126,1xxx x,所以22221212141 164 1648ABkxxx x 方法二：84sin4sin222pAB故选：D2.已知直线 yx1 与椭圆x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为 2，则线段 AB 的长是()A.2 23B.4 23C.2D2【解析】选 B由条件知 c1，eca22，所以 a 2，b1，椭圆方程为x22y21，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，43，13

44、，所以|AB|4 23.3.已知焦点在 x 轴上的椭圆 C：x2a2y21(a0)，过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A，B 两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为_【解析】因为椭圆x2a2y21(a0)的焦点在 x 轴上，所以 c a21，又过右焦点且垂直于 x 轴的直线为 xc，将其代入椭圆方程中，得c2a2y21，则 y1c2a2，又|AB|1，所以 21c2a21，得c2a234，所以该椭圆的离心率 eca32.答案：324.已知抛物线2:4C yx的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为3 22，则线段AB的长是（）A.9B.4C.92D.

45、8【解析】方法一：当直线AB垂直于x轴时，122122AOBS，不符合题设；当直线AB不垂直于x轴时，设AB方程为1(0)yk xk，即kxyk0.点0,0到直线AB距离21kdk.联立21,4,yk xyx得2222240k xkxk，设11(,),A x y2)2(,)B xy,则由韦达定理得,2122(24)kxxk,21221kx xk,所以由弦长公式得,2212121()4ABkxxx x2222(24)1()4 1kkk 224(1)kk,因为AOB的面积为3 22,所以2221443 2221kkkk，所以28k，所以92AB.安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打

46、造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨28故选 C.方法二：223sin2pSMON，所以322sin，所以29sin2pAB5.若直线 l 交双曲线22126xy的左，右两支于 A，B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB ，则21OA21OB（）A12B13C2D3【解析】设直线 OA 的方程为0ykx k，与22126xy联立得，222226363xkkyk，2222261=3kOAxyk则直线 OB 的方程为1yxk=（0k），同理求得2226131kOBk，222221111361kkOAOB故选 B6.已知抛物线2:C yx，直线:1l ykx，则“0k”是“直线

47、l 与抛物线 C 有两个不同交点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】2,1yx ykx21kxx化简可得222110k xkx 直线l与抛物线C有两个不同交点22214410kkk ，且0k 等价于14k，且0k，“0k”不能推出“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”，“直线 l与抛物线 C 有两个不同交点”能推导出0k“0k”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件故选 B7.已知双曲线22221xyab的右焦点为 F，过 F 做斜率为 2 的直线l,直线l与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围_【解析】因为

48、过F做斜率为 2 的直线l,直线l与双曲线的右支有且只有一个公共点,所以2ba,所以2215cbeaa,又因为1e,所以 5,)e故答案为：5,)8.已知双曲线22:2C xy，过右焦点的直线交双曲线于,A B两点，若,A B中点的横坐标为 4，则弦AB长为（）A3 2B4 2C6D6 2【解析】双曲线22:122xyC，则24c，所以右焦点(2,0)F，根据题意易得过F的直线斜率存在，设为(2)yk x，(,),(,)AABBA xyB xy联立22(2)2yk xxy，化简得222214420kxk xk，所以2222442,11ABABkkxxx xkk，因为,A B中点横坐标为 4，所

49、以22481ABkxxk，解得22k，所以2242101ABkx xk，则22284 10244ABABABxxxxx x，则22|13 246 2ABABkxx故选：D9.已知双曲线22221(0,0)xyabab的虚轴长为2 6，且离心率为3(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点2F作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点,A B，求|AB【解析】（1）双曲线2222:1(0,0)xyCabab的虚轴长为2 6，离心率为3，36cab解得3a，6b，3c，双曲线的方程为22136xy.（2）由（1）知双曲线22136xy的右焦点为2(3,0)F，设经过双曲线右焦点2F且倾斜角

50、为30的直线的方程为3(3)3yx，11(,)A x y，22(,)B xy，由221363(3)3xyyx，得256270 xx，其中，1265xx，12275x x ，2212162716 3|1|1+()4()3555ABkxx .10.已知椭圆C：222210 xyabab，短轴长为2，离心率为32.直线11:22l yx与椭圆C交于不同的两点M，N.（1）求椭圆C的方程；（2）若已知点(2,0)A,求AMN的面积.【答案】(1)2214xy(2)74【解析】(1)由题意得2222232bcaabc,解得1b,所以椭圆C的方程为2214xy.(2)方法 1：由222114xyxy,消去

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