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1、方法技巧专题9直线与圆锥曲线一、知识框架相交二、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系:1.代数法：把圆锥曲线方程C 与直线方程/联立，消去y(也可以消去x),整理得到关于x(或者y)的一元方程ox?+b x+c =O.(1)当时：计算 A=/-4 a c.若(),则C 与/相交；若=(),则。与/相切；若 0,。0）的左右焦点分别为月，鸟，过 的直线/与圆2 2 2 _ _无+y=a相切于点T,且直线/与双曲线C的右支交于点P,若 币=4可，则双曲线C的离心率为.【例7】若直线2%一+i=是抛物线v=y的一条切线，则。=,1【例8】已知抛物线。的方程为尤2=5，过点4 0,T）和点
2、3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数f的取值范围是()A.(-c o,-l)U(l,+o o)C.(00,2 5/2)(2 2,+00)B.(00,+oo)D.(00,/2)(,/2,+oo)【例9】过点P（）,2）且与抛物线y2=2 p x（p 0）只有一个公共点的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条忆 巩固提升综合练习【练 习1】已知曲线C ：|y|-x=2与曲线。2：4 +丫2=4怡好有两个不同的公共点，则实数力的取值范围是()A.(co,B.(1,1 C.1,1)D.l,0 U(l,+)【练 习2】对不同的实数值加，讨论直线 =%+加 与 椭 圆 三+V=1 的位置关系.
3、4【练 习3】过点(3,0)和双曲线f缈 2=(。0)仅有一交点的直线有()A.1 条 B.2条 C.4 条 D.不确定2 2【练习4】己，知双曲线 4=1(“0乃 0)的右焦点为F,过点F 且倾斜角为45。的直线与双曲线的右支一a b定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范 围 是()A.(1,V2 B.(1,2)C.(1,72)D.(V2,+oo)【练习5】已知抛物线y 2=4 x,直线/过定点(一 1,0),直线/与抛物线只有一个公共点时，直线/的斜率是.【练 习6】已知抛物线C：y2=2 p x的 焦 点/与 椭 圆 三+二=1的右焦点重合，抛物线G 的准线与轴的交8 4点为K，过 K
4、 作直线/与抛物线G 相切，切点为A，则 A E K 的面积为()A.32 B.16 C-.8 D.4三、直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题弦长公式：(1)题设：若斜率为的直线/与圆锥曲线方程C 有两个不同的交点(M，y)、N(，必)则眼 叫=(1+2)(%+X2)2-4X1X2或|M/V|=(l+p)f(y,+y2)2-4 y l y；2b2(2)通径：文椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦，长度为：;双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，长度为：-2 P:；(3)题 设：若 斜 率 为 左 的 直 线/经 过 抛 物 线 C y2=2 p x的 焦 点 尸，且 与 交于两点M(M，y)、N(x2
5、,y2),其中左=ta n g,则+昆|+=7?；zr+1 =-1-=;11 1 1 1 1-1 sin2 MF|/VF|?_P_ p1-cos。1 +cos。(4)题 设：若 斜 率 为 A：的 直 线/经 过 抛 物 线 C：尤 2 =2 p y的 焦 点/，且 与 C 交于两点M(X 1,y)、N(x2,y2),其中左=ta n g,则 MN=卜|+昆|+P 二 2?：1 +二工；S in2(e+g c o s M F I M p1.例题【例 1】斜率为1的直线/与椭圆了+)2=1 相交于A,8 两点，则|AB|的最大值为()A 9 R妪 逃 D逃A乙,5 5 52 2 年 例 2 已知
6、椭圆柩2+与=1(a60)的离心率为 四，焦距为2m.斜率为5 的直线/与椭圆材有两个不同的交a b 3 V点 4 B.(1)求椭圆历的方程；若 2=1,求|四|的最大值.Jf2 y21【例 3】椭圆E：涓+方=l(a Q O)的 左 焦 点 为 右 焦 点 为 B，离心率e=7 过 Q 的直线交椭圆于4,8 两点，且AB尸 2 的周长为8.(1)求椭圆 的方程；(2)若直线A B的斜率为小，求 A B B 的面积.【例 4】已知F是抛物线J/=4 x的焦点，则过F作倾斜角为60的直线分别交抛物线于A B(A 在工轴上方)AF两点，则 的 值 为()I BFA.73 B.2 C.3 D.4【例
7、 5】设抛物线G/=4 x 的焦点为凡过尸且斜率为A(A0)的 直 线/与。交于4 8 两点，Z8|=8.(1)求)的方程；(2)求过点4 8 且 与 C的准线相切的圆的方,程.【例6】已知抛物线V=i 6 x的焦点为凡过尸作一条直线交抛物线于A,8两点，若|A g=6,则|8月=V【例7】已知斜率为1的直线/与双曲线上一必=1的右支交于4B两点，若 4 8|=8,则直线/的方程为()4_ _%R a/cA.y=x+7 7 B.y=X-y/21 c.y=x-D.y=x +；5 52 2【例8】过 双 曲 线 三-亍=1的左焦点作弦AB，使|A B|=4,则这样的直线AB的条数为.【例9】已知双
8、曲线f 一 匕=12(1)求直线y =x+l被双曲线截得的弦长；(2)过点P(l,l)能否作一条直线I与双曲线交于A,B两点，且点p是线段A B的中点？2.巩固提升综合练习【练 习1 已知椭圆C的两个焦点为Q(1,0),巳(1,0),且经过点 历，坐)(1)求椭圆C的方程；过 的直线/与椭圆C交于A,8两点(点A位于x轴上方)，若 端=2 7前，求直线/的斜率%的值.【练 习2】已知椭圆E:+ay2铲=1 (a /?0)的半焦距为c,原点0到经过两点(c,0),(0力)的直线的距离为二c.2(I)求椭圆E的离心率;2 2 5(H)如图，AB是圆M:(x+2)+(y -l)=万 的一条直径，若椭
9、圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.3【练习3】已知抛物线C：V=3x的焦点为 尸，斜率为彳的直线/与。的交点为4,8,与x轴的交点为P.(1)若3耳+忸 耳=4,求/的方程;(2)若 丽=3而，求耳.【练习4】如图，过抛物线丁=2*（0）的焦点厂的直线/交抛物线于点AB,交其准线于点C,若怛4=4忸 耳，且|A F|=6,则 夕 为（）v i【练习5】已知复数2 =%+耳（匕）/?）满足：卜+6卜,一6卜2 （0 2 0/0）与双曲线上汇=1有相同的渐近线，且双曲线C过点a b 1 6 4（4,6）.若双曲线C的左、右焦点分别为耳，F2,双曲线C上有一点P,使得/耳 玛=6 0。，求团6 P
10、 g的面积;4 0过双曲线C的右焦点B作直线/与双曲线右支交于4 8两点，若因大A 5的 周 长 是 可，求直线/的方程.【二】面积问题面积问题:涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和.n椭圆焦点三角形面积：5旷/)&=12 11上(点 尸 在 椭 圆 上，e=NFPF，.宏 福 占-东 中 需 加5“依，=与 (点P在 双 曲 线 上，B=NFPF,)(2)双曲线焦点二角力面积：M y，2 0 1 2tan 2(3)抛物线：缺 设：若斜率为网=的 直 线/经 过 抛 物 线 网=闻+用+。=悬 的 焦
11、点 周，且 与C交于两点/(1+2)(%,+x2)2 4x(x,其中 k=tang,则：12s&wcw=-x xMN sin=ON 2 2 1 2sin6.自题设：若 斜 率 为1的 直 线/经 过 抛 物 线C：f=2 p y的 焦 点 卜明 且 与C交于两点yj(i+k24-X2)2 4X)X2,其中 k=tan9,则：SA M O N=xKx|MNsin(e+四)=匕-2 2 1 2 2sin(6+)2COS621.例题【例1】过抛物线/=4%的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点0是原点，若|A尸卜3 ；则A A OB的面积为)V 2.V3五FB.V2D.2 72【例2】已知点尸是抛物
12、线。：丁=4的焦点，直线/与抛物线。相切于点p(毛,%)(%0)，连接尸尸交抛物线于另一点A，过点P作/的垂线交抛物线C于另一点B.(I)若y 0 =i,求直线/的方程；(2)求三角形2钻 面积S的最小值B【例3】已知点片，尸2是椭圆。：,+卡*=l（a Z?）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且/耳 珠=5.若回2片鸟的面积为9,则。=【例4】已知点4 0，-2）,椭圆E：二+4=1 （ab0）的离心率为 立，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜a2 b 2率 为 拽，。为坐标原点.3 求E的方程；设过点A的动直线/与E相交于P,Q两点.当自 OP Q的面积最大时，求/的方程.2.巩固提升综合练习【
13、练 习1抛物线V=4 x的焦点为F,准线为/,经过F且斜率为由的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点4 4长_1_/,垂足为（则4出户的面积是（）A.4 B.3 g C.4百 D.8r2 4 V2【练习2】已知P为椭圆工+之一=1上一点，耳，亮 是椭圆的焦点，/耳6=6 0。，则A K PK的面积为【练习3】如图所示，直线y=+/与 椭 圈 工+V=1交于A、B两点，记AAO8面积为S;4求在4=0,0）1的条件下S的最大值；当|A=2,S=1 0时,求直线A B的方程;【练习4】已知椭圆：+与=1（。60）的 离 心 率 为 业，椭圆的四个顶点围成四边形的面积为4.a b-2（0）求椭圆厂的
14、标准方程；（回）直线/与椭圆交于A，3两点，AB的中点M在圆V +y 2=i上，求AAQ8（。为坐标原点）面积的最大值.、课后自我检测1.已知直线y =x-l与抛物线=：/交于A,3两点，则|A用 等 于（）4A.4 7 2 B.6 C.7 D.82.已知直线y=x+1与椭圆捻+=1（心 心0）相交于A,8两点，若椭圆的离心率为半，焦距为2,则线段A B的长是（）A至 R逑 、D 73.已知焦点在x轴上的椭圆C：4+/=1（0）,过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,8两点，且AB=,则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.4.己知抛物线C：V=4x的焦点为歹，过点尸的直线交抛物线C于A ,B两点
15、、,。为坐标原点，若A A O B的面积为述，则线段AB的 长 是（2)9A.9 B.4 C.-D.822 2115.若直线/交双曲线土-匕=1的左，右两支于A,B两点，。为坐标原点，若 方.丽=(),则二2 6O A 0B()11A.B.-C.2 D.3236.已知抛物线C:y 2 =%，直线/：y =A x +l,贝 4。0 是 直线/与抛物线C有两个不同交点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件7.己知双曲线与a-D.既不充分也不必要条件=1的右焦点为F,过F做斜率为2的直线/,直线/与双曲线的右支有且只有一个公共点,则双曲线的离心率范围8.已知双曲线C:r 产
16、=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点，若A,B中点的横坐标为4,则弦A3长为()A.3&B.472C.6D.6A/29 .已知双曲线二-与=1(。0/0)的虚轴长为2瓜，且离心率为下).a b求双曲线的方程；经过双曲线右焦点工 作倾斜角为30 的直线，直线与双曲线交于不同的两点AB,求|A 8 .2 2/T 1110 .已知椭圆C：.+方=1(。6 0),短轴长为2,离 心 率为冷.直线/：y =X 5与椭圆。交于不同的两点M，N .(1)求椭圆。的方程;(2)若已知点4(2,0),求 A4MV的面积.r2I L已知椭圆+ay2F=l(a Z?0)的左焦点为尸(一 1,0),经过点F的直线与椭圆相交于M，N两点，点P为线段MN的中点，点0为坐标原点.当直线脑V的斜率为1时，直线。尸的斜率为-工.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点A为椭圆的左顶点，点8为椭圆的右顶点，过厂的动直线交该椭圆于C,。两点，记A A C D的面积为3，A B C。的面积为$2,求S 2-B的最大值.