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1、第一章习题1 证明恒等式证明习题2 证明若，则证明 ，又因为所有的指标都是哑指标，所以，即习题3 已知某一点的应力分量，不为零，而，试求过该点和z轴，与x轴夹角为的面上的正应力和剪应力。解 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cos，sin，0，则由斜面应力公式的分量表达式，可求得该面上的应力为由斜面正应力表达式，可求得正应力为？剪应力为习题4 如已知物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷。试写出其边界条件。解 物体表面外表面法线的方向余弦为带入应力边界条件，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为，试求该点以柱坐标表
2、示的应力分量。解 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：xyzrcossin0-sincos0z001 注意由应力分量转换公式，求得利用三角公式可将上面的式子改写为习题6 一点的应力状态由应力张量给定，式中，为常数，是某应力值，求常数，以使八面体面上的应力张量为零解 由斜面应力公式的分量表达式，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：解得习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力，必为实根证明 （1）设任意两个不同的主应力为、，对应的主方向为、。根据主应力定义有：， 将以上两式分别点乘和再相减，得是对称应力张量，上式可改写为所以应力的三个主方向互相垂直（2）设任意
3、两个不同的主应力为、，对应的主方向为、若为复数，则为其共轭复数，从而方向余弦、互为共轭 与主方向相互垂直矛盾所以三个主应力必为实数习题8 证明球形应力张量在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为证明 球形应力张量，设任意斜面的方向余弦为由斜面应力公式 ，得由斜面正应力公式 ，得由斜面剪应力公式，得习题9 求应力偏量张量的不变量解 应力张量可分解为球形应力张量和应力偏量张量，应力偏量张量，其主应力方程为，即上述方程存在非零解的必要条件是系数行列式为零，即得到关于的三次代数方程，其中，和分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量设，和为应力偏量张量的三个主值，则习题11 设为二阶对称张量，证明由导出的
4、应力一定满足无体力的平衡方程证明 又关于，反对称，关于，对称，即满足无体力的平衡方程，忽略体力下的平衡微分方程习题12 已知直角坐标系中各点的应力张量，试求体积力分量解 根据平衡微分方程，得 对谁偏导的问题得体积力分量为习题13 如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为，承受着比重为液体的压力，已求得应力解为，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数,和解 如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，在处水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，在处由上述两个方程组，得 外力是如何确定的习题14 如图1.4所示的三角形截面水坝，其左
5、侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。解 如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，在处水坝右侧表面法线的方向余弦为，受外力的作用根据应力边界条件，在处第二章习题1 初始时刻位于的质点在某时刻的位置为，其中，求格林应变张量的分量。解 采用拉格朗日描述法，得由格林应变张量，得习题2 证明是二阶对称张量的分量，而不是任何张量的分量。证明 （1） ，显然可得其对称性对于笛卡尔直角坐标系和，各坐标轴之间的方向余弦如下表由弹性力学理论知，恰与张量定义相吻合，是二阶对称张量的分量（2）设有一剪应变张量，其分量取任一矢量，则，但不
6、能缩并为，与假设是张量矛盾。根据张量的商判则，不是任何张量的分量。习题3 为求平面应变分量、，将电阻应变片分别贴在方向，与成和方向上，测得应变值以、表示，试求、解 平面应变状态下，沿方向，与成和方向上的方向余弦分别为根据方向线元的工程正应变公式，得求得习题4 假设体积不可压缩位移与很小，在一定区域内已知，其中，为常数，求。解 题目条件适用小变形，得体积不可压缩， 即习题5 在平面应变状态下，使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式，写出在极坐标中的应变和位移的关系式。解 在平面应变状态下，由应变分量转换公式，得 （1）代入，即 （2） （3） （4）因此， （5） （6）将式（2）-
7、（6）代入式（1），得平面应变状态下，极坐标中的应变和位移的关系式：习题7 证明由下式确定的应变恒满足变形协调方程，。证明 对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关关于，对称；关于，对称对于排列符号关于，反对称；关于，反对称即应变恒满足变形协调方程，习题8 假定物体被加热至定常温度场时，应变分量为；，其中为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场的函数形式。解 由应变协调方程，得又定常温度场应满足拉普拉斯方程，故的函数形式中不应含有高于或等于2次的项温度场的函数形式为其中，和均为常数。习题9 试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程解 轴对称平面应变情况下，应变
8、分量为因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为习题10 在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变为常数，试确定其余两个应变分量和的表达式（材料是不可压缩的）解 平面轴对称情况下，变形协调条件为：当材料不可压缩时，体积应变为零，即，代入上式，得解得，式中，C是右边界条件确定的常数习题11 试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。解 均匀变形状态可表示为其中，为常量设均匀变形前的坐标为，则变形后的坐标为曲面在均匀变形后变成球面，即略去刚体位移，当、为主轴时，变形前的坐标满足变形前半轴为，的椭球面在均匀变形后会变成球面。特别的，当时，表示球面均匀变形后仍为球面。习题12 若物体内各点的位移分量为，其
9、中，均是常数。试证明，物体内所有各点的应变分量为常数（这种变形状态称为均匀变形），并分别证明在均匀变形后的物体内有：（1）直线在变形后仍然是直线；（2）相同方向的直线按同样的比例伸缩；证明 由位移分量求得物体内各点的应变分量为 （1）即物体内所有各点的应变分量为常数（均匀变形）（1）若物体内任意一点，变形后变为坐标和之间的关系为 （2）变形前，直线上的点，和满足 （3）将式（3）代入式（2），并整理，得 （4）式（4）表明直线在均匀变形后仍然是直线（2）变形前连接两点，的直线长度为，方向余弦为、，变形后的两对应点，的直线长度为，方向余弦为、（图2.1）将式（2）代入上式，得 （5）将上式两端除
10、以，得 （7）而 （6）对于方向相同的直线，具有相等的方向余弦、，在均匀变形情况下，由式（6）和（7），知为常数。即相同方向的直线按同样的比例伸缩；习题13 物体的位移对称于坐标原点，试用球坐标和笛卡儿坐标表示位移分量和应变分量。解 位移对称于坐标原点，则任意一点的位移沿半径向量的方向，并且只是的函数，其余位移。（1）由球坐标系中的应变-位移关系，得（2）笛卡儿坐标中式中，因此，由，得-第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为： （a）当时，三个互
11、相垂直的应力方向为主应力方向。当时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为： （b）若使，则式中，具有非零解的条件为 （c）上式即为x，y，z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平面，则，而且，此时（c）式恒等于零。在此情况下，当存在以x，y，z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为 （d）若应变分量之间满足，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy，Oyz，Ozx三个平面，则有，此时（d）式总是满足的。由此可知，当x，y，z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一
12、般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。解：各向同性条件下的广义虎克定律为将上式中的（1）（2），（2）（3），（3）（1）分别得：即证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。且，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有。习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力作用下，测得体积应变，若泊松比=0.3，试求该物体的弹性模量。解：设为第一应力不变量，而，据各向同性条件下的广义虎克定律为有：
13、，其中体积应变，故有 。 习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以表示）。解：设柱体的轴线z轴，。因为横向变形被限制， 所以。据各向同性条件下的广义虎克定律图3-1 得：，将此两式相减得：，而泊松比的理论取值范围为，故，将其代入广义虎克定律得：从而，得解。习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。和90。方向上的正应变，其值分别为，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（，）。解：设该点的x，y轴向的正应变分别为，剪应变为。任意方向（为与x轴正向的夹角）上的正应变为：，所以，解由此三式组成的方程组得该点
14、的，和分别为：,。（1）计算该点的主应变：由、 、和得该点的主应变为：，。（2）该点的最大剪应变。（3）计算该点的主应力：现、，据向同性条件下的广义虎克定律得 ，即，所以将、及、代入上面三式得：,。习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：。解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：设杆件横截面积为，弹性模量为，如图建立坐标系。杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即。同时轴向纤维间无相互作用力，即。据弹性应变能理论的应变能公式（其余分量产生的应变能为零）。O图3-2现在杆件上x处取一微段dx，其体积为，其应变能,而整个
15、杆件的拉伸应变能为： 而，故 整个杆件的拉伸应变能为：（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：在材料力学中杆件在外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即和。在杆件上沿轴向去取一微段，在此微段的横截面上取一个微面，在上的应力可为相同的，而。，。故，其中只与x有关。杆件弯曲的挠度为，挠度曲线的曲率为（3）圆轴扭转的变形能公式推导：设圆轴的轴向为z轴。在材料力学中，圆轴扭转变形后，其横截面仍为平面，半径仍为直线，且沿z轴相邻两截面的距离不变，故有，。在圆轴轴向z处取一微段，在微段的横截面（圆截面）上的半径
16、处取一微面积，上的应力可为相同的，那么。据平衡方程有：而，故，令。，而，故，只与z有关，即 。习题7、试推导体积变形应变能密度及畸变应变能密度的公式分别为：解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：，即。其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：，即，变形应变能密度分为体积变形应变能密度与畸变应变能密度之和，即 其中，。所以无论如何有： ，故 。据虎克定律有： ，。据虎克定律有：，习
17、题8、如图所示结构，梁AB在A处固支，长为l，截面积为F1，截面惯性矩为I。杆BC在B处与梁铰接，截面积为F2，。材料弹性模量为E，B点受载荷P的作用，设梁的压缩量为，挠度曲线为，和a均为待定的变形参数。考虑杆BC的拉伸及梁AB的压缩与弯曲，用最小势能原理求B点的水平和垂直位移。l-图3-3解：梁AB被压缩，其变形能为。杆BC被拉伸,其变形能为。其中，。梁AB的挠度曲线为，其弯曲变形能为外力功为：。总势能为据最小势能原理：，其中可以取任何值，。B点的垂直位移为，水平位移为。习题9、如图所示，简支梁长为l，抗弯刚度为EI，中点受P力作用，支座之间有弹性介质支承，其弹性系数为k（即每单位长介质对挠
18、度提供的支反力）。设挠度曲线为，试分别用李兹法和迦辽金法求梁中点B的挠度。图3-4解：（1）用李兹法求梁中点B的挠度：挠度曲线为 ，满足A，C两点的边界条件。简支梁的变形能为：。中点B处弹性支承的反力，弹性支承的变形能为：总变形能为：。外力功为：，总势能为：，按李兹法有：， ，。（2）用迦辽金法求梁中点B的挠度：将挠度曲线代入y向平衡方程得：，将其代入迦辽金方法的积分式中得：即习题10、试用李兹法求如图所示的一端固定、一端自由的压杆临界载荷，设该压杆的长度图3-5为l，抗弯刚度为EI（常数），其挠度曲线为。解：挠度曲线为可以满足所要求的边界条件，压杆失稳后的弯曲应变能为外力功，其中d为失稳后由
19、弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移：势能为：。应用李兹法有，如果，此方程虽然是满足了，但是这表示该压杆保持直的，根本没有失稳，所以。由此得：，此结果正好是精确解，这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。习题11、已知如图所示的半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，试用位移法求位移及应力分量。解：一、求位移函数用位移法求解时，须求出满足边界条件及满足以位移分量表示的平衡方程组：图3-6M 其中，。可以找到满足平衡方程组的两组特解： （a） （b）上述两组特解的线性组合可作为通解： （c）其中A1和A2由边界条件来确定,将其代入由位移表示的应力得： （d）在边界上（z=0面
20、），除外力作用点外，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得： （e）另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得： （f）将（d）中的代入（f）得，积分此式得： （g）由式(e)、(g)解得 （h） 将A1，A2代入（c）式得位移函数为： （I）二、求应力分量将A1、A2代回(d)，可得应力分量的计算公式： （j）三、讨论：1）以上所得应力和位移，当R增大时应力、应变值迅速减小，即带有局部性质。2）当时，各应力分量都趣于无限大，这是因为假设外力集中作用在一点的缘故，实际上载荷不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，因此实际应力不会是无
21、限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。根据圣维南原理，只要稍离集中力作用点，以上的应力与位移公式仍可认为是正确的。3）由(j)式可见，当z=0时，在弹性半空间的边界面上有 （k）这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。4）当r=0，R=z时，即在z轴上的各点，由(j)式可得(l)式。这说明在z轴上各点受到两向拉伸、一向压缩，它的主应力为（m）式，以绝对值来比较，比径向及周向应力大得多。以上结果是研究接触问题的基础。 （l） （m）习题12、试用应力函数求解第11题中半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用时的位移及应力分量，并求水平边界面上任意一点的沉陷。解：半无限弹性体的界面上承受垂直于
22、界面的集中力P的作用是一个空间轴对称问题，所有的物理分量都只是r和z的函数，与无关。将上述应力函数代入如下求应力分量的公式： (a) 其中 (b)得 （c）在边界上（z=0面），除外力作用点外，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得： （d）另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得： （e）将（c）中的代入（e）式并积分得 （f）式(d)中r为任意值，故只有分子为零，即 (g) 由式(f)、(g) 解得C2和C3，将C2和C3代入式(d)得。然后利用虎克定律求出，根据求出C1。得应力分量为 （h）将（h）式 代入以应力分量表示的位移公式求
23、出位移为利用上述位移公式求出水平边界面上任意一点的沉陷为。习题13、如图所示，设有半空间无限大弹性体，单位体积的质量为，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量（并假设在z=h处w=0）。解：由于对称（任意铅直面都是对称面）试假设。这样就得，。因为半空间无限大弹性体体力分量所以上述假设在x，y向满足以位移表示的平衡微分方程：图3-7而在z向的平衡微分方程为，简化后得 （a）积分后得 （b） （c）其中A和B为积分常数。现据边界条件来确定A和B。将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程 （d）得 （e）在边界面上（z=0面），即，代入（e）式得。再回代（e）式得应力分
24、量： （f）并由（c）式得z向位移 （g）为了确定常数B，必须利用位移边界条件。由于在z=h处w=0，代入（g）式得。再回代（g）式得位移分量：，至此位移分量和应力分量全部求出。习题14、球形容器的内半径为a，外半径为b，内部作用着压力为Pi，外部压力为Pe，试用位移法求其应力分量（不计体力）。解：这是一个空间球对称问题，体力KR=0，由位移分量表示的球对称平衡微分方程得微分方程解此微分方程得（其中A，B为积分常数） （a）将代入以位移分量表示应力的物理方程得应力分量的表达式： （b） （c）代入如下边界条件： 求解A和B得 （d）将(d)式代入(a)式得径向位移。 （e） 将(d)式代入(b
25、)式和(c)式得径向正应力和切向正应力（和就是主应力）：第四章 弹性平面问题的习题习题1、已知悬臂梁如图所示，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡方程求出及，并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程？图4-1解： （1）由材料力学公式求正应力：而现在 ，解此微分方程得，其中C1，C0为积分常数由边界条件确定如下：， 。 。（2）据弹性力学平衡方程求及据弹性力学平面问题平衡微分方程，不计体力，即，得 ，由积分此式得，用边界条件确定待定函数：，它也满足。同时，积分此式得，由边界条件确定待定函数。故。（3）验证应力分量表示的协调方程现在不计体力，即，应力分量应满足，即要求 。而现在。故不
26、能满足协调方程。习题2、如图所示简支梁，承受线性分布载荷，试求应力函数及应力分量（不计体力） 解： （1）选择应力函数图4-2载荷q沿x轴呈线性分布，可断定沿x轴呈线性分布。可令且有边界条件故，解此微分方程得 。这样，应力函数沿x轴的变化规律已定，而待定函数，只是坐标y的函数。（2）检验域内方程把应力函数代入应力协调方程（无体力）得，上式对于任意x均要满足，故x的各次幂的系数为零，即。解这些微分方程得根据应力函数的性质：艾雷应力函数的系数可确定到只差一个线性函数的程度（即艾雷应力函数中的一次函数项并不影响应力分量的大小），可令，于是（3）检验边界条件，确定待定系数上下边界为，据得，由以上两式分
27、别相加、减得 （a）又据上下边界中对x为任意值有得 （b）将（b）中的第1式加、减第3式得 （c）将（b）中的第3式加、减第4式得 （d） （e）由（a）式中的第2式和（c）式得 由（e）式得 K=0。由（a）式中的第1式得根据外力平衡得，其中，解此方程得R1和R2：在x=0的端面内据得 （f）由第（d）式和第（f）式得。由，由。综上得： ，应力函数为。习题3、已知载荷分布如图所示，即当周期分别为（1），如图4-3（b）所示。（2） ，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。（3） ，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。试用傅氏级数写出的表达式，并写出集中载荷情况下的表达式。图4-3解：（1）
28、周期为，如图4-3（b）所示。首先将y轴平移d，于是在新坐标系中，将按傅立叶级数展开成 其中 （n=0，1，2，） （n=1，2，）于是 ，。，如图4-3（c）所示，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么（2）设，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。对原来的载荷进行偶性延拓后按傅立叶级数展开成：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么（3）设，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。对原来的载荷进行奇性延拓后按傅立叶级数展开成：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是， ，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么。图4-4习题4、连续
29、板墙的中间一段如图所示，试用三角函数形式的应力函数求其应力分量。解：先将y轴平移l，得新坐标系XoY，在新坐标系XoY下将边界载荷化为三角函数形式的，周期为,其中。在连续板墙的上边界，即Y=h处，利用第3题中的（2）得两处集中载荷P作用下的 （a）在连续板墙的下边界，即Y=0处，在两处分布载荷q作用下：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是 ，其中据外力平衡得。 （b）设三角级数式的应力函数和相应的应力分量为这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程的。现在利用边界条件确定待定常数。（1）由于板墙的几何形状及所受载荷均对称与YoZ平面，有对任何Y值都成立，于是。所以应力函数为其中
30、。相应的应力分量是： （c） （d） （e）（2）上、下边的剪应力为零，即得 （f） （g）（3）上边界正应力和（a）式得 （h）（4）下边界正应力和（b）式得 （i）由（f）、（g）、（h）、（i）四式中项和项对应的系数相等（其中）得方程组从上述方程组中解出然后代入（c）、（d）、（e）三式中得到新坐标系XoY下的应力。再进行如下转化：因为c远小于，可以认为，即周期可为2。然后以代入新坐标系XoY下的应力，将新坐标系XoY下的应力转化为旧坐标系xoy下的应力 。习题5、已知复应力函数，式中c为实常数，试求其所代表的应力状态。解：设应力函数 。设。据第一、第二应力组合公式得 ，所以。它可表示为
31、一个矩形板纯弯曲纯的应力状态。如图4-5所示，设梁宽为1，其中弯矩图4-5图4-6习题6、如图4-6所示，无限大板中的一点作用有集中力P，试用复势求解板中的应力和位移。解：设，而据第一应力组合。现集中力P作用在坐标原点O，而原点O是复势的孤立奇点，应将原点挖去一个小圆域而形成多连通域。则复势应为。其中外力。而现在为平面应力状态，为材料的泊松比。故复势 （a）将和代入(a)式得 （b）（1）求应力分量在极坐标中，。其中A，B由(b)式确定，且。（2）求位移分量位移的复势表示为其中A，B由(b)式确定，。习题7、如图4-7所示，半径为a的圆板，在其两侧相对着的等长弧段上作用着压应力p，试求板中的应
32、力。解：这是轴对称问题，宜采用极坐标表示。设复应力函数（或复势）为，则 （a）图4-7而应力边界条件为 （b）现在 ，将展开成三角级数形式得，其中即当m为奇数时，当m为偶数时，。故 （c）即，其它在单连通域中，现在孔边载荷的合力，复势和为单值函数，有。将展开成级数得 （d）令，将(c),(d)两式代入(b)式得两边对应的项的系数相等得正幂：m=0时,m=1时, 自然成立。m=2时,的偶数时, 的奇数时，负幂：时 综上得：，； 故 令，并将上述三式代入(a)式，分离实部和虚部得图4-8习题8、试求如图所示无穷大板承受纯剪切载荷时椭圆孔边的应力。解：采用复变函数保角变换方法求解此平面应力问题。（一
33、）、选择变换函数选择将椭圆孔外域映射成单位圆内域的变换函数：其中，在单位圆周上有，于是 ， ， ， （二）、计算几何项：，。而（三）、计算边界载荷及由于孔边界不受外力，故，则，式中A0和B0与无穷远处的应力状态有关。现无穷远处为纯剪应力状态，。得，于是，其中函数在外域解析，其积分为，故（四）、计算复势（五）、返回Z平面（物理平面）由应力边界条件椭圆边界上的；当时，椭圆孔边的，习题9、如图4-9所示，在无穷远处承受均匀拉应力S作用的无限大板，其中间有一椭圆孔，试用曲线坐标（椭圆坐标）求椭圆孔边的应力分布。图4-9解：采用由所导出的椭圆坐标，较容易得出椭圆孔的边界条件，使该问题的求解过程变得较简单
34、。设域内一点以直角坐标表示为：，对应的椭圆坐标为：。则，所以 （a）当为常数时，(a)式表示相应的椭圆参数方程。令表示直角坐标系中的椭圆孔，则应有 （b）由(b)式可定出和C。当时，即表示无限大的椭圆。对题中的问题选取复势： （c）式中A，B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A，B。当时，即；当时（即在椭圆孔的边界上），。由可得：，于是 （d）当时，而当时，。所以，。由(c)和(d)式可求得，当时，因此有。于是，即。这样就满足了无穷远处的边界条件，即 。只要再适当选取常数B，使由复势确定的应力满足椭圆孔处的边界条件，问题就得到解决。由 得，注意到，可求得，在椭
35、圆孔上，。因此有。若取，则当时有，这样便满足了椭圆孔处的边界条件。因此，本问题的复势被确定为。还需检验由此复势得到的位移是否满足位移单值条件。由位移的复势表达式上式中的K在平面应力状态下。上式中的双曲函数均是以为周期的函数，因此当绕的任一椭圆一周后，位移u，v将恢复为起始位移值，这就保证了位移的单值性。椭圆孔边的应力可由求得；当时，因此。其最大值在长轴的端点，即处，其最大应力值为由(b)式可求出和C：代入上式得当椭圆逐渐变得扁长时，应力也逐渐增大。而当a=b时，即对应于圆孔情况，。习题10、如图所示，由双曲线ABC和DEF构成边界的板受到沿y轴方向的拉力作用，并在EOB截面上的拉应力之合力为有
36、限值。试利用曲线坐标（椭圆坐标）求解边界上的应力。解：采用由所导出的椭圆坐标，设域内一点以直角坐标表示为：，对应的椭圆坐标为：。则，所以图4-10 （a）当为常数时，(a)式表示相应的双曲线参数方程。令表示直角坐标系中的双曲线AB段。则应有 （b）同理，令表示直角坐标系中的双曲线BC段，令表示直角坐标系中的双曲线EF段，令表示直角坐标系中的双曲线DE段。只要研究双曲线的AB段，其它各段完全类似。现在研究双曲线的AB段的应力状态。 由(b)式可定出和C。对题中的问题选取复势： （c）式中A，B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A，B。当时，即；当时（即在双曲线的
37、边界上），。由可得：，于是 （d）当时，而当，时，；所以，。由(c)和(d)式可求得，只要再适当选取常数B，使由复势确定的应力满足双曲线边界条件，问题就得到解决。由得，注意到，可求得，在双曲线边界上，。因此有。若取，则当时有，这样便满足了双曲线边界条件。因此，本问题的复势被确定为。双曲线边界应力可由求得；当时，因此。由(b)式可求出和C：代入上式得习题11、设有一个等厚度圆盘，其半径为，密度为。现以均匀角速度绕其回转轴线z轴回转，试求圆盘中各点的应力和位移（不计圆盘本身重力）。解：圆盘以均匀角速度绕其回转轴线z轴回转，则圆盘的任意一点都有向心加速度，其大小为，因此圆盘的每单位体积上受到的离心力
38、为。故该圆盘可认为在体力作用下处于平衡状态。由于这是轴对称物体受轴对称体力作用，所以应力分布是轴对称的。即应力分量及都只是r的函数，而。于是平衡微分方程为 （a）对（a）式乘以r，组合后得。引入应力函数，并令 （b）由于圆盘只受到回转轴的约束，因此它的位移为轴对称的，即其径向位移为，而切向位移为（这里不计刚体位移）。于是 （c）由（c）中的前两式消去，得变形协调方程为。将代入物理方程，并利用（b）式得到以应力函数表示的变形协调方程为 或 （d）解（d）式所表示的微分方程得，上式中A，B为待定的积分常数。将其代入（b）式得应力分量 （e）在圆盘中心（r=0）处的应力不可能无限大，所以B=0。又由边界条件得。将A，B代入（e）得应力分量的表达式 （f）最大应力在圆盘的中心处：。径向位移为可由(c)中的第二式及(f)式求得。 （g）在圆盘中心（r=0）处，；发生最大位移在圆盘的边缘（r=a）处：图4-11rr习题12、如图4-11所示的楔形体，其顶角为，下端为无限长，在楔顶受有集中力作用，集中力与