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1、第二章习题1 初始时刻位于的质点在某时刻的位置为，其中，求格林应变张量的分量。解 采用拉格朗日描述法，得由格林应变张量，得习题2 证明是二阶对称张量的分量，而不是任何张量的分量。证明 （1） ，显然可得其对称性对于笛卡尔直角坐标系和，各坐标轴之间的方向余弦如下表由弹性力学理论知，恰与张量定义相吻合，是二阶对称张量的分量（2）设有一剪应变张量，其分量取任一矢量，则，但不能缩并为，与假设是张量矛盾。根据张量的商判则，不是任何张量的分量。习题3 为求平面应变分量、，将电阻应变片分别贴在方向，与成和方向上，测得应变值以、表示，试求、解 平面应变状态下，沿方向，与成和方向上的方向余弦分别为根据方向线元的
2、工程正应变公式，得求得习题4 假设体积不可压缩位移与很小，在一定区域内已知，其中，为常数，求。解 题目条件适用小变形，得体积不可压缩， 即习题5 在平面应变状态下，使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式，写出在极坐标中的应变和位移的关系式。解 在平面应变状态下，由应变分量转换公式，得 （1）代入，即 （2） （3） （4）因此， （5） （6）将式（2）-（6）代入式（1），得平面应变状态下，极坐标中的应变和位移的关系式：习题7 证明由下式确定的应变恒满足变形协调方程，。证明 对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关关于，对称；关于，对称对于排列符号
3、关于，反对称；关于，反对称即应变恒满足变形协调方程，习题8 假定物体被加热至定常温度场时，应变分量为；，其中为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场的函数形式。解 由应变协调方程，得又定常温度场应满足拉普拉斯方程，故的函数形式中不应含有高于或等于2次的项温度场的函数形式为其中，和均为常数。习题9 试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程解 轴对称平面应变情况下，应变分量为因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为习题10 在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变为常数，试确定其余两个应变分量和的表达式（材料是不可压缩的）解 平面轴对称情况下，变形协调条件为：当材料不可压缩时，体积应变为零，即，代
4、入上式，得解得，式中，C是右边界条件确定的常数习题11 试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。解 均匀变形状态可表示为其中，为常量设均匀变形前的坐标为，则变形后的坐标为曲面在均匀变形后变成球面，即略去刚体位移，当、为主轴时，变形前的坐标满足变形前半轴为，的椭球面在均匀变形后会变成球面。特别的，当时，表示球面均匀变形后仍为球面。习题12 若物体内各点的位移分量为，其中，均是常数。试证明，物体内所有各点的应变分量为常数（这种变形状态称为均匀变形），并分别证明在均匀变形后的物体内有：（1）直线在变形后仍然是直线；（2）相同方向的直线按同样的比例伸缩；证明 由位移分量求得物体内各点的应变分量为 （
5、1）即物体内所有各点的应变分量为常数（均匀变形）（1）若物体内任意一点，变形后变为坐标和之间的关系为 （2）变形前，直线上的点，和满足 （3）将式（3）代入式（2），并整理，得 （4）式（4）表明直线在均匀变形后仍然是直线（2）变形前连接两点，的直线长度为，方向余弦为、，变形后的两对应点，的直线长度为，方向余弦为、（图2.1）将式（2）代入上式，得 （5）将上式两端除以，得 （7）而 （6）对于方向相同的直线，具有相等的方向余弦、，在均匀变形情况下，由式（6）和（7），知为常数。即相同方向的直线按同样的比例伸缩；习题13 物体的位移对称于坐标原点，试用球坐标和笛卡儿坐标表示位移分量和应变分量。解 位移对称于坐标原点，则任意一点的位移沿半径向量的方向，并且只是的函数，其余位移。（1）由球坐标系中的应变-位移关系，得（2）笛卡儿坐标中式中，因此，由，得