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1、第 一 章 则 由 斜 面 应 力 公 式 的 分 量 表 达 式，q=匕 b”，可 求 得 该 面 上 的 应 力 为 习 题 1 证 明 恒 等 式 W s/=%必,-九 6”证 明 狐 3 is Siteijk eist-3 户 3 js jt ki 3 ks 3 kt=B j s k t kssjt）-M i 6kt-Bks（=3 3 j s 3 k t-3 3 k s 3 j t-3 j s 3 k t+3 历+_ 3 js kt-3 ks B jt习 题 2 证 明 若.一 明,则 与 与 二 0 证 明,*a ij=a；b g=一 b 户；./瓦=_ 0心 口,.，。例+。心 亦
2、=a又 因 为 所 有 的 指 标 都 是 哑 指 标，apqbpq=,所 以 2aijbij=0,习 题 3 已 知 某 一 点 的 应 力 分 量，r）y,a!Z,不 为 零,iTij axz=rx 轴 夹 角 为 a 的 面 上 的 正 应 力 和 剪 应 力。解 如 图 1.1,过 该 点 和 z 轴，与 x 轴 夹 角 为 a 的 面 的 法 线，其 与 x 轴,%)+况 z(d s%-5ksjt-3 jsktijbij+Opqbpq=0B|j Cljjby=0yz=0,试 求 过 该 点 和 z 轴，与 y 轴 和 z 轴 的 方 向 余 弦 分 别 为 b w)i=3 j=Tx
3、r cosa+a 由 斜 面 正 应 力 表 达 式。=b 产 产 j,b 二 剪 应 力 为=%”)一 n=J J)-一 或=g(ay sin a b)2=vja2i=avx cosa+avv sin a o-(v)3=vjO可 求 得 正 应 力 为 门 cos2 a+2 b L cos a sin a+o,i,sin2 a?M yyy a xx)sin 2a+b。，cos 2a习 题 4 如 已 知 物 体 的 表 面 由%z)=0 确 定，沿 物 体 表 面 作 用 着 与 其 外 法 线 方 向 一 致 分 布 载 荷 p(x,y,z)。试 写 出 其 边 界 条 件。解 物 体 表
4、 面 外 表 面 法 线 的 方 向 余 弦 为/=COS阮 X)二 1,X 广+一 m=cos(n,y)-,+4 2n=cos(w,z)=一 二:z.4 乃 带 入 应 力 边 界 条 件，T1=0 啊,(z,j=1,2,3)，得 fxxx 一)+fyOXy+fHxz=0fxyx+fy b v-P)+f y:=0 fxxz+fyOyy+f!(azs-p)=0习 题 5 已 知 某 点 以 直 角 坐 标 表 示 的 应 力 分 量 为 b m，byy,b。，b,y,y byz，试 求 该 点 以 柱 坐 标 表 示 的 应 力 分 量。解 如 图 1.2,两 个 坐 标 轴 之 间 的 方
5、向 余 弦 如 下 表 所 示:Xyzr COS 0 sin。06-sin 0 cos 0 0z 0 0 1 注 意 由 应 力 分 量 转 换 公 式=bj/而 广 加，求 得 arr=b”cos 0+a rv sin 0+2bq sin 0 cos 0o0o-axx sin2 9+crVl.cos2 0-2bg sin 0 cos0a zz=cr ar0=-CTXV sin8 cos9+vr sin 0 cos0+axy(cos2 0-sin2)=。价 ba=,vx cosO-b.sin 0=az0azr=ayz sin 0+(TXV cos 0利 用 三 角 公 式 可 将 上 面 的
6、式 子 改 写 为(Tx vx r+Oy.y.(J xx-C T.,v.i.ari.=-+-cos W+aYV sm iu 2 2-xx+0yy xx-a yy(y00=-:-cos 20-(rxv sin 20(yr e-sin 20+a,cos 202 尸 b 也=y rv cos 0-a sin 0=(rz0(T.r=b 他 sin 0+(7_v cos0(J a(y习 题 6 一 点 的 应 力 状 态 由 应 力 张 量(a,)=a a(7ba c ab o、c o 给 定，式 中，a,h。)。为 常 数，。是 某 应 力 值,求 常 数-b,以 使 八 面 体 面 11=丧(et+
7、e2+03)上 的 应 力 张 量 为 零 解 由 斜 面 应 力 公 式 的 分 量 表 达 式，(y v j=vi(yi r知 八 面 体 面 上 应 力 张 量 为 零 需 满 足 如 下 方 程 组:：=(b+a a+b a)=0,V3=(a a+cr+c a)=0,=(b a+C(J+cr)=0V3 V3解 得。=b=c=2习 题 7 证 明(1)应 力 的 三 个 主 方 向 互 相 垂 直；(2)三 个 主 应 力 6，。2，5 必 为 实 根 证 明(1)设 任 意 两 个 不 同 的 主 应 力 为。人、臼，对 应 的 主 方 向 为 叫、nI O根 据 主 应 力 定 义
8、有:a(k)=nk(y=crxnk,G(/)=nz o=crAn/将 以 上 两 式 分 别 点 乘 叫 和 叫 再 相 减，得 nk aii|-nz=aknk ni-0 与 主 方 向 相 互 垂 直 矛 盾 所 以 三 个 主 应 力 必 为 实 数 习 题 8 证 明 球 形 应 力 张 量 在 任 意 斜 面 上 的 剪 应 力 为 零，且 正 应 力 为 证 明 球 形 应 力 张 量 区/=,一 遇 1+Twe2e2+o-we3e3,设 任 意 斜 面 的 方 向 余 弦 为 由 斜 面 应 力 公 式 G(n)=n*n,得。=Zcrwe|+m ame2+/?(TZ Me3由 斜
9、面 正 应 力 公 式=T(n)n,得(7=(/2+?2=b,由 斜 面 剪 应 力 公 式，得 汇=卜()_册|=,5)卜/=J(/2+/+M)嫌-点=0习 题 9 求 应 力 偏 量 张 量 的 不 变 量 解 应 力 张 量。可 分 解 为 球 形 应 力 张 量。J 和 应 力 偏 量 张 量 S，；(1+0*22+%3)应 力 偏 量 张 量 S=(Su)=(b厂 匹 为),其 主 应 力 方 程 为 n S=S n,即 巧(S厂 S%)=0(7=1,2,3)上 述 方 程 存 在 非 零 解 力 的 必 要 条 件 是 系 数 行 列 式 为 零，即 52131S 2 2-S S3
10、2S”S23S33-S=0得 到 关 于 S 的 三 次 代 数 方 程，S；-JS+J2s-八=o其 中，外 和 4 分 别 为 应 力 偏 量 张 量 的 第 一、第 二、第 三 不 变 量 设 S 和 为 应 力 偏 量 张 量 的 三 个 主 值=6 则/：=S+S22+S33=b|1+0 2 2+a33 3b帆=S22 23!111 S3+S”S32 S 3 3 1 1 s 3 S33 S2j(S 2 2 s 33+5,3 3S1 14-S1 1S 2 2)-(S23+5 3+)=S j S2+S 2 s 3+S 3 S 二 3=SS2 s3习 题 1 1 设 中”为 二 阶 对 称
11、 张 量,证 明 由 a-jj=BipqBjmnqn,pm导 出 的 应 力 一 定 满 足 无 体 力 的 平 衡 方 程 证 明,O=gjpq ejmnqn,pmj 又 丁 e加 J 关 于 相，反 对 称，内,p冲 关 于 加，/对 称%/加“。0”叫=0,即.=e,gea“%w，满 足 无 体 力 的 平 衡 方 程，为 寸=0 忽 略 体 力 卜 一 的 平 衡 微 分 方 程 习 题 1 2 已 知 直 角 坐 标 系 中 各 点 的 应 力 张 量(,)=5x105X2 0 0 2X3,试 求 体 积 力 分 量 2X3 0/解 根 据 平 衡 微 分 方 程 5/+6=0,(/
12、；=1,2,3)，得 对 谁 偏 导 的 问 题 dx 8ydx dy工+工 dz+dz+3=0dx dy 8zJ 2=+3 x 2daxx+3。孙+3bq+4=0+=0得 体 积 力 分 量 为 Fx=13X2,Fy=2,Fz=0习 题 1 3 如 图 1.3 所 示 的 三 角 形 截 面 水 坝，材 料 的 比 重 为 了,承 受 着 比 重 为 力 液 体 的 压 力，已 求 得 应 力ox=ax by解 为 o 9=cx+d y-y y-,试 根 据 直 边 及 斜 边 上 的 表 面 条 件 确 定 系 数，方，c和 d(Tx VyV=-d x-yay 解 如 图 所 示，建 立
13、平 面 直 角 坐 标 系 水 坝 左 侧 表 面 法 线 的 方 向 余 弦 为 n(c o sA-sin)，受 外 力 P,=0 的 作 用 根 据 应 力 边 界 条 件，Pj=(yi jnj,(/,j=1,2,3)在 工=的 处(yx cos p-axy sin 夕=0*a,cos P-ay sin/=0第 二 章 习 题 1 初 始 时 刻 位 于（华,。2，。3）的 质 点 在 某 时 亥 心 的 位 置 为 匹=%+垢 3；%2=。2+总 3；工 3=。3，其 中 女=1 0 一 5,求 格 林 应 变 张 量 的 分 量。解 采 用 拉 格 朗 日 描 述 法，劭=阳-丐=式,
14、。2，。3），得 u ka 3；2=ka 3；3=0由 格 林 应 变 张 量，E=EiJeie-）,助 得 EJ 1 1 I=5 M 6 w j dux du2 du2 加 3 Sw3-1-1-1-1-2（朋 dax dax da da朋 da】dax）=0习 题 2 证 明 J,是 二 阶 对 称 张 量 的 分 量，而 为 不 是 任 何 张 量 的 分 量。I证 明（1）为=;（，3+），显 然 可 得 其 对 称 性 对 于 笛 卡 尔 直 角 坐 标 系。盯 Z 和,各 坐 标 轴 之 间 的 方 向 余 弦 如 下 表 X ztX h 叫 勺 y，2m2n2zh加 3 3由 弹
15、性 力 学 理 论 知，叼,=砺.为，恰 与 张 量 定 义 相 吻 合，.是 二 阶 对 称 张 量 的 分 量（2）设 有 一 剪 应 变 张 量 丫，其 分 量 为=2%-%=（2-%匕 取 任 一 矢 量 k=*ek，则 Y*nk=（2-/H eiej nk=2-6iJ）ijnkeiei ekeiej，ek=/Jkem 但（2-匹 耳 4.夕 J*不 能 缩 并 为,“，与 假 设 丫 是 张 量 矛 盾。根 据 张 量 的 商 判 则，为 不 是 任 何 张 量 的 分 量。习 题 3 为 求 平 面 应 变 分 量 打、y、7x）.,将 电 阻 应 变 片 分 别 贴 在 x 方
16、向，与 x 成 60和 120。方 向 上，测 得 应 变 值 以 q、60、.20表 示，试 求 J、分、Yxy|解|平 面 应 变 状 态 下，沿 X 方 向，与 X 成 60。和 120。方 向 上 的 方 向 余 弦 分 别 为 V（l,0）；丫 2（；，日）；丫 3（一；，当）根 据 V 方 向 线 元 的 工 程 正 应 变 公 式，4=%匕，得。=x1 3 6%。+1%+丁%、4 4 4 z1 3 6句 2。=产+产-彳 小 求 得 x=。y 3“_ 260-2&120=石 习 题 4 假 设 体 积 不 可 压 缩 位 移（七/2）与 2（勺，叼）很 小，w3=0,在 一 定
17、区 域 内 已 知 孙=（1一 看 卜+&+以：），其 中 白，b,c 为 常 数，求 2（1，2）。解 题 目 条 件 适 用 小 变 形，的=;（町 J+）得即 2=禽 22小 2=0+2仁 j(醇 f(我 0 f O=(1 7 金+2 c x j一 工 2(+如+CX0-x2a+bxx+鬲)+g 詈 du 2dx21 du22 dx301 du22 dx30z体 积 不 可 压 缩，.”=+222+&33=22=磬=(X 2-1)(/+2cX)习 题 5 在 平 面 应 变 状 态 卜 一，使 用 直 角 坐 标 和 极 坐 标 中 应 变 分 量、位 移 分 量 的 转 换 公 式，写
18、 出 在 极 坐 标 中 的 应 变 和 位 移 的 关 系 式。解 在 平 面 应 变 状 态 下，由 应 变 分 量 转 换 公 式，仃 广 丛 也 问,得 rr=%cos2 0+口 sin2 夕+xy sin 20的=xx sin2 0+vy cos2 0 一 xv sin 20 srQ=sin 26 H-sin 2,+xv cos 2。2 2(1)代 入 为=；(%,/+),即 包 加 丝+5r-ar aw-ar=-AX抄 5r_ 电 力 z(ll1-2av_=妙+a5W ar-砂 av_ar+e aav包 瓶 加 一 如-awav5W-5W5V-3W-加 而 立 明 1-26班 明-
19、如 3 e e a等+，-。a如 粕 3u=ur cos 6 sin 0v=urc sin 0+ue COS 0(4)因 此,du=cos adu=-s i n。dur如 dv=sin adv=cos。dura”(5)、&+/)=cosW+已=sin。=1.八 sm 0r=一 cos 0r(6)将 式（2）-（6）代 入 式（1）,得 平 面 应 变 状 态 下，极 坐 标 中 的 应 变 和 位 移 的 关 系 式:duroo=dr1 加 6 工%-1-r de。航 盯 上 1 M,.a-1-dr r r dO习 题 7 证 明 由 下 式 确 定 的 应 变 为+“刀）恒 满 足 变 形
20、协 调 方 程，3.吟,片=。证 明 I 川 emjken ilij,kl=emjken il i.jk l+U j.ik l)=(e,i nilemjkui.jk l+emjk enilu j.ikl)对 于 单 值 连 续 位 移 场，并 存 在 三 阶 以 上 连 续 偏 导 数 时，偏 导 数 的 值 与 求 导 顺 序 无 关 1.孙,闲 关 于 上 对 称；/，而 关 于 i，/对 称 对 于 排 列 符 号 e9 关 于 女 反 对 称；关 于 i,/反 对 称 emjkui,jk l=0；en ilujjk l二。即 应 变 为.+5）恒 满 足 变 形 协 调 方 程，e.e
21、,与 闺=0习 题 8 假 定 物 体 被 加 热 至 定 常 温 度 场 T（X1,X2，X3）时，应 变 分 量 为 勺 1=22=33=a 7；/12=/31=，32=，其 中 a 为 线 膨 胀 系 数，试 根 据 应 变 协 调 方 程 确 定 温 度 场 T 的 函 数 形 式。解 由 应 变 协 调 方 程，+粒 广 林,/7-叼,*=，得(5)_ 标()(公)_/()/2()_ 标(打)_ 0弼 2 axj&3 法 6 2 ax2a丫 3 法 3axi又 定 常 温 度 场 T（X1,与，X3）应 满 足 拉 普 拉 斯 方 程，（竟+竟+看）7=0故 7 3 2/3）的 函
22、数 形 式 中 不 应 含 有 高 于 或 等 于 2 次 的 项 温 度 场 7 的 函 数 形 式 为 T（xx,x2,x3）=kxxx+k2x2+k3x3+c其 中，k2,自 和 c均 为 常 数。习 题 9 试 导 出 平 面 应 变 轴 对 称 情 况 卜 的 应 变 协 调 方 程 解 1 轴 对 称 平 面 应 变 情 况 下，应 变 分 量 为 因 此，平 面 应 变 轴 对 称 情 况 下 的 应 变 协 调 方 程 为 外=也-土 dr dr r习 题 1 0 在 某 平 面 轴 对 称 变 形 情 况 下，轴 向 应 变 名 为 常 数，试 确 定 其 余 两 个 应 变
23、 分 量 式（材 料 是 不 可 压 缩 的）解 I 平 面 轴 对 称 情 况 下，变 形 协 调 条 件 为：，华+-（=0ar当 材 料 不 可 压 缩 时，体 积 应 变 为 零，即 号+.+7=0,代 入 上 式，得 r dr+10-,=0解 得“=_、+；务=_/_ 与，式 中，C 是 右 边 界 条 件 确 定 的 常 数 2 r 2 2 r2,，.和 裕 的 表 达 习 题 1 1试 问 什 么 类 型 的 曲 面 在 均 匀 变 形 后 会 变 成 球 面。解 均 匀 变 形 状 态 可 表 示 为 x=a；y=b%=c;yxy=yyx=d yy2=7=d2;=yxz=d3其
24、 中，a;b;c;d；d2；d3为 常 量 设 均 匀 变 形 前 的 坐 标 为 Xofo；Z o,则 变 形 后 的 坐 标 为 x=（l+4）xo；y=（l+f Jpo；z=（l+,）z0曲 面 在 均 匀 变 形 后 变 成 球 面，即 X 2+/+Z 2=R 2略 去 刚 体 位 移，当 X、y、Z 为 主 轴 时，变 形 前 的 坐 标 Xo；yo；z。满 足(l+a)2(l+b)2(l+c)2变 形 前 半 轴 为 一 七，,的 椭 球 面 在 均 匀 变 形 后 会 变 成 球 面。l+a 1+6 1+c特 别 的，当 时，表 示 球 面 均 匀 变 形 后 仍 为 球 面。习
25、 题 1 2 若 物 体 内 各 点 的 位 移 分 量 为 v=bX+Z2y+5 z-,其 中，a,;Z,;c,（i=1,2,3）均 是 常 数。w=ctx+c2y+c3z试 证 明，物 体 内 所 有 各 点 的 应 变 分 量 为 常 数（这 种 变 形 状 态 称 为 均 匀 变 形），并 分 别 证 明 在 均 匀 变 形 后 的 物 体 内 有：（1）直 线 在 变 形 后 仍 然 是 直 线；（2）相 同 方 向 的 直 线 按 同 样 的 比 例 伸 缩；证 明 由 位 移 分 量 求 得 物 体 内 各 点 的 应 变 分 量 为 xx=a，yy=62,”=。3,I 1）Yx
26、y=a2 Yyz=3+c2 Y zx=a3+C1即 物 体 内 所 有 各 点 的 应 变 分 量 为 常 数（均 匀 变 形）（1）若 物 体 内 任 意 一 点 尸（X,%Z）,变 形 后 变 为 P（X，,V,Z，）坐 标 X/Z 和 之 间 的 关 系 为=（1+心 卜；y=（l+Jy；z，=（l+j z（2）变 形 前，直 线 上 的 点 尸 1（X,1，Z）,22。2，），2,22）和 23（X3,乃,Z3）满 足,n F 乃 一 乃 Z 3-2 X2-X|y2 f Z2-Z1将 式（3）代 入 式（2）,并 整 理，得 X：-X.工 克 一 乃 _ z 一，2 x2 x yi y
27、 z z z 式（4）表 明 直 线 在 均 匀 变 形 后 仍 然 是 直 线（2）变 形 前 连 接 两 点 片 区,力 当），&。2，为/2）的 直 线 长 度 为 r，方 向 余 弦 为/、，八，变 形 后 的 两 对 应 点 的 直 线 长 度 为 1,方 向 余 弦 为/、m，（图 2.1）IP；P；|=-x：）2+（%-.）、+以-z：）2将 式（2）代 入 上 式，得 r=J（1+j J（2-X|）2+（1+J）2（乃 一 乃）2+（1+（?2-Z|尸（5）将 上 式 两 端 除 以，得 片 j（三 卜.）2（4+於 印 宁）（7）=J（1+J+（1+抄）2 加 2+（1+J”
28、2而 厂=门 型=1+斗,其 中，与 为 r方 向 的 应 变（6）r r对 于 方 向 相 同 的 直 线，具 有 相 等 的 方 向 余 弦/、加、，在 均 匀 变 形 情 况 下，由 式（6）和（7）,知,为 常 数。即 相 同 方 向 的 直 线 按 同 样 的 比 例 伸 缩；习 题 1 3物 体 的 位 移 对 称 于 坐 标 原 点，试 用 球 坐 标 和 笛 卡 儿 坐 标 表 示 位 移 分 量 和 应 变 分 量。1解 1 位 移 对 称 于 坐 标 原 点，则 任 意 一 点 的 位 移 a%_ 叫 _ n83 d(p(1)由 球 坐 标 系 中 的 应 变-位 移 关
29、系，得 du=-“dr1(1 SU noe=.乂+“r sin(p cO1 u u轴=一 _T 7+=r 0(/)r r1 dur d%0=sin。80+rdr1 r a(/sin o。8)1 du=r v-+_rd r y r)G q(2)笛 卡 儿 坐 标 中 u=ur x=f“(r)、x;v=ur r式 中，r=J x2+y2+z2，/(r)=r因 此，山 E jj=g(uj j+U j i),得，,、金 可 A=/()+r 6y=f(r)+y-r t%=f(r)+r a，沿 半 径 向 量 r 的 方 向，并 且 只 是，的 函 数，其 余 位 移 1 Urr+=-lCtglfi+空)
30、=_纹 间+答=节 庭 r-勾-b r-y=f(r)y；w=-z=f(r)zr(r)_ 2xy djr)j，,xy-jr r ar 2yz df(r)-y=i r，户 r dr(r)2zx djr)伊)xy r a.r一 第 三 章 弹 性 本 构 关 系 和 弹 性 问 题 的 求 解 习 题 习 题 1、试 利 用 各 向 异 性 理 想 弹 性 体 的 广 义 虎 克 定 律 导 出：在 什 么 条 件 下，理 想 弹 性 体 中 的 主 应 力 方 向 和 主 应 变 方 向 相 重 合？解：各 向 异 性 理 想 弹 性 体 的 广 义 虎 克 定 律 为：O-.V X=5 百 皿+
31、C,2+。|3邑 2+。15八 2+弓 6%，。抄=C2 l x x+C22yy+C2 3 z z+C2 4 7 x y+C 2 s Y yz+C2 6 7 zx z z C3 XX+C 3 2 g抄+C33gzz+xy+C3 s X v z+C3(Yzx(a)Txy C4 GXX+C42Syy+。43gzz+Cxy+C4 s Y y z+C4 b/z x%=凡 x+。5 2，+。5 3%+5 4/-，+c5 5yy z+c5 6yz xj=G E.+C y y+0 63gzz+0 6 4 y x y+。6 5%2+0 6 6九,当 盯 丫=万 产=G r=。时，三 个 互 相 垂 直 的 应
32、 力 方 向 为 主 应 力 方 向。当/中=/片=7=。时，三 个 互 相 垂 直 的 应 变 方 向 为 主 应 变 方 向。在 主 应 变 方 向 上，剪 应 力 分 量 为：Txy Q1Z*+C4 2 y y+。4 3 g zzTyz=C5 S xx+C52Syy+0 53gzz(b)Tzx=C6 XX+。6 2*抄+C 6 3 g zz若 使 J,=工 产=%，=0,则 式 中 抄，=具 有 非 零 解 的 条 件 为 C4 C42。43。51 5 2 C53=(C)C6l C62 e63上 式 即 为 x,y,z 轴 同 时 为 应 力 主 轴 和 应 变 主 轴 的 条 件。如
33、果 材 料 性 能 对 称 于 一 个 平 面，如 O x y 平 面，则。5=。16=。25=。26=。35=。36=。45=。46=。，而 且 0 二。”此 时(。)式 恒 等 于 零。在 此 情 况 下，当 存 在 以 X,y,Z 轴 为 主 方 向 的 应 变 状 态 时，其 对 应 的 剪 应 力 分 量 将 成 为 Tx)=C4 XX+C4 2 y y+C4 3 z zry z=0(d)G=若 应 变 分 量 之 间 满 足 万 封=。4建 口+。43 J z=0，贝 1 J此 点 的 应 变 主 方 向 和 应 力 主 方 向 重 合。如 果 材 料 性 能 对 称 于 Oxy,
34、Oyz,Ozx三 个 平 面，则 有=c24=C34=。56=。，此 时)式 总 是 满 足 的。由 此 可 知，当 x,y,z轴 为 应 变 的 主 方 向 时，也 必 定 为 应 力 的 主 方 向。但 是，当 应 变 主 方 向 和 正 交 轴 不 重 合 时，一 般 它 与 应 力 的 主 方 向 是 不 重 合 的。对 于 各 向 同 性 弹 性 体，不 需 要 任 何 补 充 条 件，应 力 主 方 向 和 应 变 主 方 向 总 是 重 合 的。习 题 2、对 于 各 向 同 性 弹 性 体，试 导 出 正 应 力 之 差 和 正 应 变 之 差 的 关 系 式。且 进 一 步
35、证 明：当 其 主 应 力 的 大 小 顺 序 为(T,%时，其 主 应 变 的 排 列 顺 序 为,2 3.解：各 向 同 性 条 件 下 的 广 义 虎 克 定 律 为%=J-而”，+q J(1)5=在 卬-+%=)(2)2=-Mq,+,)(3)将 上 式 中 的(1)(2),(2)(3),(3)(1)分 别 得：V%=等(%-，J%-b=-(sxx-J=2G(XX-.)匕 1+V-=1+(7 a)即 CT(7=_E_(_)=2G(e _)9,z 石 抄 口)y y z z z z)T y y z z)J-&(6”_ o-cr-cr2 2-：G 0且%2%，利 用 上 述 正 应 力 之
36、差 和 正 应 变 之 差 的 关 系 式 有 N%N%习 题 3、将 某 一 小 的 物 体 放 入 高 压 容 器 内，在 静 水 压 力 p=0.45N/w/作 用 下，测 得 体 积 应 变 e=-3.6xl0f,若 泊 松 比 v=0.3,试 求 该 物 体 的 弹 性 模 量 E。解：设。=7“状tx+bpyvy+zz A A 为 第 一 应 力 不 Xi 变 量 yy，而 zz，=am,=(T=-p,0=(7+avy+er:.=-3p=-1.35N/m m2=-1.35xl0h pa_据 各 向 同 性 条 件 下 的 广 义 虎 克 定 律 为 有：e=L1-2*K。，其 中
37、体 枳 应 变 Ee=.+皿,+,_=-3.6x105,故 有 1-2 x-3s(-1.35xlO6)1.5xlOlojV/ffl2=1.5xl04jV/ffl2 e-3.6x10-5)习 题 4、在 各 向 同 性 柱 状 弹 性 体 的 轴 向 施 加 均 匀 压 力 p,且 横 向 变 形 完 全 被 限 制 住(如 图 所 示)。试 求 应 力 与 应 变 的 比 值(称 为 名 义 杨 氏 模 量，以 心 表 示)。解：设 柱 体 的 轴 线 Z轴，O：=-p.因 为 横 向 变 形 被 限 制，所 以.,=,=0。据 各 向 同 性 条 件 下 的 广 义 虎 克 定 律 图 3-
38、1I=3 质-必+=0抄=三 b _ V(T+)=o得：7，钎 V(CTvv+CT.J,将 此 两 式 相 减 得:yx-(7YV=v(an,-CT*),而 泊 松 比 V 的 理 论 取 值 范 围 为 一 1 V 1/2,故 a=a=,将 其 代 入 广 义 虎 克 定 律 得:1-V%力 1卜-2c J1 二 1 2vzp从 而。二(i)E4(1+或-2。，得 解。习 题 5、在 某 点 测 得 正 应 变 的 同 时，也 测 得 与 它 成 6 0 和 9 0 方 向 上 的 正 应 变，其 值 分 别 为 分=700 x10-6,4。=50 x10-6,90=150 x10-6,试
39、求 该 点 的 主 应 变、最 大 剪 应 变 和 主 应 力(E=2Axl05N/m m2 v=0.3)解：设 该 点 的 X,y 轴 向 的 正 应 变 分 别 为 J,y,剪 应 变 为 九 任 意 方 向 a(a 为 与 X 轴 正 向 的 夹 角)上 的 正 应 变 为：en=-H-cos2a-sin2a,a 2 2 2所 以 飞；，；J+；cos 120-勺 疝 120，/o=区/-刍 二 1，解 由 此 三 式 组 成 的 方 程 组 得 该 点 的 名，.和 九.分 别 为：2 2,x=-100 x 10-6,%=%0=150 x10-6,0+3 F。=50百 x l 0-(1
40、)计 算 该 点 的 主 应 变：由 邑、气、/个 和;、=七 2/%/)+得 该 点 的 主 应 变 为：.=157.29X10-6=，=-107.29X10-6=一。(2)该 点 的 最 大 剪 应 变/max=-2=264.58x10-6。(3)计 算 该 点 的 主 应 力：现 弓=157.29x10-6、2=707.29x10-6、/=0,据 向 同 性 条 件 下 的 广 义 虎 克 定 律 得 y 6=I+2G,即 5=(+狈 _ 2V产 品+7 7?%，所 以 vE,EvE E%=Q+或 S/M+B)vE E%=(+或 心 产 力+下 勺 将 1=157.29x10-6、=-1
41、07.29xlO-6、?=、e*=2+邑+?=50 x10”及 E2Ax105N/mm2 丫=0.3代 入 上 面 三 式 得：、or】=31.46?7/mm2,(72=-11.27A/mm2,cr3=6.06N/mm?。习 题 6、根 据 弹 性 应 变 能 理 论 的 应 变 能 公 式=,5 7%,导 出 材 料 力 学 中 杆 件 拉 伸、弯 曲 及 圆 轴 2 1 J扭 转 的 应 变 能 公 式 分 别 为：解：(1)杆 件 拉 伸 的 应 变 能 公 式 推 导：设 杆 件 横 截 面 积 为/，弹 性 模 量 为 E,如 图 建 立 坐 标 系。杆 件 为 单 向 拉 伸，只
42、存 在 轴 向 的 伸 长 或 缩 短，轴 向 纤 维 间 无 剪 切 变 形，即 九),=y=九 r=0。同 时 轴 向 纤 维 间 无 相 互 作 用 力，即 7班=7=0。据 弹 性 应 变 能 理 论 的 应 变 能 公 式 W=-tyijij=-o-vv.（其 余 分 量 产 生 的 应 变 能 为 零）。2 2 M MIaN(x)N(x)+dN(x)P XOX olx图 3-2现 在 杆 件 上 x 处 取 一 微 段 dx,其 体 积 为 其 应 变 能 次 7d U=W d V=-2&AXXd x，而.d u A d x J 上 小 2 A EA 2 EA整 个 杆 件 的 拉
43、 伸 应 变 能 为:工 du 厂 du血 J x x=j,crx r=HEx x=E j，ax ax故 d U=W d V-（yKX A d x=2 2 dx/整 个 杆 件 的 拉 伸 应 变 能 为：。拉 伸=dU（2）杆 件 弯 曲 的 应 变 能 公 式 的 推 导:在 材 料 力 学 中 杆 件 在 A/（x）外 力 作 用 下 发 生 纯 弯 曲，仅 轴 向 纤 维 发 生 拉 伸 或 压 缩 变 形（其 中 中 性 层 以 内 的 纤 维 层 受 压 缩，中 兴 层 以 外 的 纤 维 层 伸 长），而 轴 向 纤 维 之 间 无 相 互 作 用 的 内 力，即 rxy=尸=/
44、=0 和=0。在 杆 件 上 沿 轴 向 去 取 一 微 段 为:，在 此 微 段 的 横 截 面 上 取 个 微 面 以，在 山 上 的 应 力 可 为 相 同 的 出，而 巴,=，1=。1 E EiW-cr,.=(Txx-工 M(j)j/,d U-W d V-WdAdx-Wdydzdx。2 J J 2 2 EI2故。弯 曲=jdU=0 0 2 0小，其 中 M（x）只 与 x 有 关。2 2j y2dydzb h2-2b hth:=2Idx=2dx o卜 匚 山 曲 用 小 包 衣 斗 铉 疝 曲 江”用 如 n 1 de d2a)M(x)杆 件 弯 曲 的 挠 度 为 口，挠 度 曲 线
45、 的 曲 率 为 7-p ds dx2 EI1 W2(x)2,EI 2/0、dx2 2EIEIdxo2dx(3)圆 轴 扭 转 的 变 形 能 公 式 推 导：设 圆 轴 的 轴 向 为 z轴。在 材 料 力 学 中,z轴 相 邻 两 截 面 的 距 离 不 变，故 有 圆 轴 扭 转 变 形 后，其 横 截 面 仍 为 平 面，半 径 仍 为 直 线，且 沿 0,：.W=(7.2 J1 15%+汽=%1在 圆 轴 轴 向 Z处 取 一 微 段 必，在 微 段 必 的 横 截 面(圆 截 面)上 的 半 径 节 处 取 一 微 面 积 力，dA上 的 应 力 可 为 相 同 的 金，那 么 成
46、/%=做 必。据 平 衡 方 程 有：A/(z)=p rpdA=G p ypdAA A而 丫=/=粤-，%=G yp=G p与,故 Af(z)=G?J/由,令/=精 曲。A A.M(z)=G/噂 n 空 器,而 金 M(z)pIpM(z)pGIP故 扭 转=J。=Jd A-d z M p2dA-dz,M(z)只 与 z 有 关,2 y GI p2即“扭 转 V询 转 dz=L22 JGIPdzi，M(z)J2d(j)dz-dz，dz o习 题 7、试 推 导 体 积 变 形 应 变 能 密 度 Wv及 畸 变 应 变 能 密 度 Wf的 公 式 分 别 为:IVr=-b 向 i=(cr)26
47、JJ 18K b E-g(b J解：应 变 张 量 可 分 为 球 形 应 变 张 量 和 应 变 偏 量 张 量 之 和：1,1=+,即 eij=J/%+%。其 中 球 形 应 变 张 量 表 示 体 积 变 形（体 积 的 等 向 收 缩 或 膨 胀），不 产 生 形 状 畸 变,所 引 起，仅 产 生 体 积 变 形 应 变 能；而 应 变 偏 量 张 量 表 示 形 状 畸 变，不 产 生 体 积 变 形,所 引 起，仅 产 生 畸 变 应 变 能。应 力 张 量 可 分 为 球 形 应 力 张 量 和 应 力 偏 量 张 量 之 和：。=g crkkl+S,即 7,y=令=（Xij,
48、Cy=F2=2叵 F、。材 料 弹 性 模 量 为 E,B 点 受 载 荷 P 的 作 用，设 梁 的 压 缩 量 为,挠 度 曲 线 为。=公 2,和 a均 为 待 定 的 变 形 参 数。考 虑 杆 BC 的 拉 伸 及 梁 A B 的 压 缩 与 弯 曲，用 最 小 势 能 原 理 求 B 点 的 水 平 和 垂 直 位 移。解：梁 A B 被 压 缩,其 变 形 能 为 a=；耳 公。杆 B C 被 拉 伸 A2，其 变 形 能 为 U2 P 4。其 中 鸟=0 P,片=P,A2=7(/+W)2+(/-A)2-V2Z o 梁 A B 的 挠 度 曲 线 为。=办 2,其 弯 曲 变 形
49、 能 为。息=；2+等 尸 J(/+W)2+(/_ A)2-+2a2EII外 力 功 为：一 忆=P M、T=P R 2。总 势 能 为 据 最 小 势 能 原 理：旗 1=0,加=亚 丛+理 宓=0,5A da其 中 必 和 曲 可 以 取 任 何 值，=0,=0o5A da亚 P%(/-)必 2 2?+犷+(/_可 2=0=A=w-a-n-=-V-2rDda 2(/+w)/2&+犷+(/-)pi+4aE Il-P l2=0=a=3E1p3 ppB 点 的 垂 直 位 移 为 w=a/2=-，水 平 位 移 为=-坟=一；7SEI SEI习 题 9、如 图 所 示，简 支 梁 长 为 1,抗
50、 弯 刚 度 为 EI,中 点 受 P 力 作 用，支 座 之 间 有 弹 性 介 质 支 承,00其 弹 性 系 数 为 k（即 每 单 位 长 介 质 对 挠 度 提 供 的 支 反 力）。设 挠 度 曲 线 为 卬=Z 凡 sin学,试 分 别 用 李 兹 法 和 迦 辽 金 法 求 梁 中 点 B 的 挠 度。1/2 p二 二 _2A A AB 6 图 3-4解：（1）用 李 兹 法 求 梁 中 点 B 的 挠 度：挠 度 曲 线 为 w=a“sin,n=Id2wdx2rimd2wdx2x=0,/=0，满 足 A,C 两 点 的 边 界 条 件。简 支 梁 的 变 形 能 为：a 公=