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1、第一章习题1证明e-5恒 等 式 勾=6jS3kl-3ksS jl 证明习题2证明若，则旬与=0 证明ai J =a J i b“bj i ：,O j j bi j =-O j i bj j ,.,.勺与+勺7%=%也+%小 的=0又因为所有的指标都是哑指标，a四b1 K l=%与,所以2 ai j bi j=0 ,即%用 =0习题3 已知某一点的应力分量 7.3，c ry y,crs,b.”,不为零，W crx.=oy l=0,试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为a 的面上的正应力和剪应力。I解如 图 1.1,过该点和z轴，与 x轴夹角为a 的面的法线，其 与 x轴，y轴 和 z轴的方向余弦分
2、别为c os a,sin a,0,则由斜面应力公式的分量表达式，b)j =丫 您/可求得该面上的应力为由斜面正应力表达式b“=%匕勺，可求得正应力为crn=c rx t c os2 a+2。*、,c osasina+c r、,sin?a?剪应力为习 题 4 如已知物体的表面由/(x,y,z)=0 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷p(x,y,z)。试写出其边界条件。解物体表面外表面法线的方向余弦为带入应力边界条件，T j =CTij H j,(z,j =1,2,3)得习 题 5已知某点以直角坐标表示的应力分量为b“，b y y,a3，b,v，b,z，b y z，试求该点以柱坐标表
3、示的应力分量。解 如 图 1.2,两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示:Xyzrc os esin 00e-sin。c os 60z001注意由应力分量转换公式求得利用三角公式可将上面的式子改写为(o a(y习题6 一点的应力状态由应力张量(b 0)=ao a“o co-b(r、c a给定，式中，a,b,c 为常数，b是某应力值,。求常数a,b,以使八面体面n=丧(e 1+e2+e3)上的应力张量为零 解由斜面应力公式的分量表达式，b g j=v,知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：解得a=0=c=-L2习题7证 明(1)应力的三个主方向互相垂直；(2)三个主应力巧，气,内 必为实根 证明
4、(1)设任意两个不同的主应力为内、(/)=11/=akni将以上两式分别点乘n*和ni再相减，得。是对称应力张量，上式可改写为所以应力的三个主方向互相垂直(2)设任意两个不同的主应力为外、%,对应的主方向为)、叫心如？,？)若,为 复 数，则为其共貌复数，从 而 方 向 余 弦1)、叫(/2，m2，2)互为共扼/,/2+mlm2+nln2 0与主方向相互垂直矛盾所以三个主应力必为实数习题8证明球形应力张量在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为 证明球形应力张量b,”I=7,胆遇1 +设任意斜面的方向余弦为由斜面应力公式 o(n)=c*n,f t e(n)=lamel+m a,e2+n ame3由
5、斜面正应力公式0“=6(n)n，得。”=(尸+2)b,”=b,”由斜面剪应力公式，得 r =卜()=|(n)|2 an=7(/2+m +/?2)c r/n=0习题9求应力偏量张量的不变量 解应力张量0可分解为球形应力张量b,“I和应力偏量张量S,(b,.=g(b|+b22+b.3 3)应力偏量张量S=(S“=(b u-即r()=-e s i n 26+-s i n 2e +r v c o s 2 2 2(1)代入 即(2)5V阳包a v一5r+(3)a S2 S3.解：各向同性条件下的广义虎克定律为将上式中的(1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)分别得：88XX-yv=(b._匕)也-
6、bj 即匕E-=R b -b )ZZ XX 厂 ZZ XX JE5 t x _ b y,.=*.(a -)=2 G(1 *_ S yy)b、y-b”=彳加-=)=2 G(L=)%_%=昌(q -1)=2G(N-X X)1+V证明：当其主应力的大小顺序为0丐2名 时，其主应变的排列顺序为与 之名之邑。G ()且0 3,习 题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力=0.4 5 N/w病 作 用 下，测得体积应变e =-3.6 x 10.5,若泊松比u =0.3,试求该物体的弹性模量E。解：设 O=%+CT y y+b z z =%为 第 一 应 力 不 变 量，而+C T J =0：明 广
7、以+*)=0得：c rx=v(c rv v+c r _),(rv=v(c rv v+c r _ ).将此两式相减得：o r -c r.=v(c r.v-c r.J,而泊松比v的理论取值范围为一1 v M(z)M(z)p M(z)p：.M(z)=GI =,而%=九=dz dz GIP IP p G1P故u扭转=dU=WdVV V=dz=r-PdAdz,M(z)只与z有关,1 rM2(z)(c 2 I,1 r Af2(z)r.1 r M2(z).1d，dz4 0 5GPI2 J 7 24 J0 G5PI2 2乙 Jo G5 PI 24 J0 GU/Ip习题7、试推导体积变形应变能密度叱,及畸变应变
8、能密度Wf的公式分别为:解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：12 =g +,即 Stj=g 3+%.。其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：。J +S,即（7）,令 S=为,b -b 卜 卜 乐 +为变形应变能密度W分为体积变形应变能密度叱，与畸变应变能密度W/之和，即W =；=Wv+W/=g (g 外卜怎+/出+%=z|0%为 +-%与%+z%-%+aijij|其中 3Q
9、ij=3,i w./时9 3=0；i =./时,4=%=0。1.1,所以无论如何有：-/述Qu=-2初二。，故W 叫+叼=L*即+0+0+%)11c 1 1 1 .-T2 n y1 3bk卢 +Z b 科j=o -akku+2 b/ij1 1 1.据虎克定律有:据虎克定律有:_ Lc _八八 5 6,1 3。加=在=0 =。=丁 =;K K W-CT L 3 _ )2”一6%左 一1 8回)。1-(X.,u 2 G 习题8、如图所示结构，梁A B在A处固支，长为1,截面积为R,截面惯性矩为I。杆BC在B处与梁较接，截面积为F2,F2=2叵K。材料弹性模量为E,B点受载荷P的作用，设梁的压缩量为
10、,挠度曲线为。=。9，和a均为待定的变形参数。考虑杆B C的拉伸及梁A B的压缩与弯曲，用最小势能原理求B点的水平和垂直位移。1 3B：P解：梁 A B 被压缩,其变形能为5=；6公。杆 B C 被拉伸A2，其变形能为。2 =；P M 0其 中 舄=也 只 片=P,%=/+卬）2+（/_）?_扬。梁 A B 的挠度曲线为o=,其弯曲变形能为外力功为：一V =P uf i =P a/。总势能为据最小势能原理：汨=0,汉1 =史丛+迫加=0,SA da其中必和&可以取任何值，=0,=0 =5 A daB 点的垂直位移为卬=a/=-，水平位移为 =vv=-o8EZ 8/习题9、如图所示，简支梁长为1
11、,抗弯刚度为E I,中点受P力作用，支座之间有弹性介质支承，其弹性系数为k （即每单位长介质对挠度提供的支反力）。设挠度曲线为卬=a,s i n 鳖，试分别用李兹法和迦辽金法求梁中点B的挠度。C,图 3-4解：（1）用李兹法求梁中点B的挠度:1 4挠度曲线为w=0 a,si nn=TM川=，d2wdx1A-0,/=0,满足A,C两点的边界条件。简支梁的变形能为：a公=笔%;。2 dx J 4 n=中点B处弹性支承的反力七=v=,，X2弹性支承的变形能为：U2=j kwdw=j kw-dan=总变形能为：U=Ut+U2.外力功为:-V =P a s i n ,=1 zj y j 4 00 oo
12、f、2 oo总势能为：n =/+V =彳-工“；+攵 卜”阳1 S i ri 3 s 一尸5 2 a“si n4生,4/,1=1 n=l J 2 )=(2按李兹法有:2 P尸si n空a _2n4EI4+2kl3ca3.nn:.nmoo 2Pl si n si n 一-2L_占 /E I/+2ki=n4E I+2kl3 lS i nTj(2)用迦辽金法求梁中点B的挠度:将挠度曲线卬=即si n竿 代 入y向平衡方程得:n=IE/巴屋；_ 二P 2 kw 二 o,将其代入迦辽金方法的积分式中得：dx3 2Hncl P.nra,17M.Y 2 P A 即si n-ax=kan si n-ax a
13、n=-(1-cosnJJ。2 /2 叭 I)njtk1 5习 题 1 0、试用李兹法求如图所示的一端固定、一 端 自 由 的 压 杆 临 界 载 荷 设 该 压 杆 的 长 度 为 1,图 3-5抗弯刚度为EI（常数），其挠度曲线为卬=cos号 卜解：挠度曲线为卬=。1 1-cos丝可以满足所要求的边界条件，压杆失稳后的弯曲应变能为0=总 翳卜吟叱）际犷吟幻图5 外力功f d,其中d为失稳后由弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移：i十%d n G (乃 Y 万 D (乃、兀 c(7T2EI)应用李兹法有=ElaA Pa A =0=6 ；P =0,dat 2 j 4(2 4 4/2 J如果4=0,此
14、方程虽然是满足了，但是这表示该压杆保持直的，根本没有失稳，所以4。0。由此得：此结果正好是精确解，这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。习题1 1、已知如图所示的半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，试用位移法求位移及应力分量。解：一、求位移函数，用位移法求解时，须求出满足边界条件及满足以位移分量表示的平衡方程组：16p图 3-6de 八-2 v dr 厂1 庇 2 八-F V w=01-2 v&其中du u dw诙+；+益,dr r dr dz可以找到满足平衡方程组的两组特解:v v=4ArzW=AFz2 1诃+(3一4叫(a)u=A2r而 +z),(b)-R上述
15、两组特解的线性组合可作为通解:八4木+4 w =A jz2+(3 4吗1+4：AR A(c)其中A和 A 2由边界条件来确定，将其代入由位移表示的应力得:17z 1+一(d)在边界上(z=0 面)，除外力作用点外，q=O,j=O,前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得:(12必+4=0(e)另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得：J er.(2m/r)+P=0(f)将(d)中的巴 代 入(f)得芝竽 零二,积分此式得:P-军2(1-2v)A,+A2=01 +1/由式(e)、(g)解得将 A 1,A?代 入(c)式得位移函数为：(h)U=
16、(1+y)P rz2兀E 至卬=也业2兀E(I)二、求应力分量将 A 1、A?代回(d),可得应力分量的计算公式:_ P 1 -2v 3zr21-/?(7?+J(2三.一 2K R(R+Z)P 3z3b-=C-，z 2乃 R5P 3rz22万R5181）以上所得应力和位移，当R增大时应力、应变值迅速减小，即带有局部性质。2）当Rf 0时，各应力分量都趣于无限大，这是因为假设外力集中作用在一点的缘故，实际上载荷不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，因此实际应力不会是无限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。根据圣维南原理，只要稍离集中力作用点，以上的应力与位移公式仍可认为是正确的。3）由式可
17、见，当z=0时，在弹性半空间的边界面上有C.=0,Tn=0-2 v P-2 v P这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。4）当r=0,R=z时，即在z轴上的各点，由式可得式。这说明在z轴上各点受到两向拉伸、一向压缩，它的主应力为（m）式，以绝对值来比较，7=%比 径 向 及 周 向 应 力 大 得 多。以上结果是研究接触问题的基础。P-2 vP l-2 v2冗 Izr_P_3_2万 z2习题12、试用应力函数0 =G zlnr+C 2（，2 +z2）5+C 3 zln 一 三求解第n题中半无限弹产+Z”户+z性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用时的位移及应力分量，并求水平边界面上任意一点
18、的沉陷。解：半无限弹性体的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用是一个空间轴对称问题，所有的物理分量都只是r和z的函数，与。无关。将上述应力函数9代入如下求应力分量的公式：ddzddr1 9其中 Y+&二dr r dr dz(b)二 C-2。2 4 G)z,(8 C,-2 5)z/+(G +4 C j z V +2 a 一/、3 十 z、5z5得(yr+z22广2 2|广9+Z25=_ M 2 c 2-4C3)Z _q C-4。3犷-2 c 3/、3 十 /、3/r 2+z 2 17 22rr2(r2+z2 2z3(2zz3(c)r2+Z2)2r+z 咔(1-小(2。4 c.J(2 C2 c 3
19、)匠-(。4 c 3 尸r2+z2tr2+z2)l在边界上(z=0面)，除外力作用点外，a.=O,rr=0,前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得：T r-_ -(-1-V-X-2-C-2-4-Cz-3-)-C-2-+-4-C-3-_ Ur另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得：a.(27rrdr)+P=Q (e)将(c)中的7代 入(e)式并积分得P-+4(1 -v)C,+4(2 v-1)C3=0 (f)7 T式(d)中r为任意值，故只有分子为零，即(1-2V)C2+4 V,=。(g)由式(f)、(g)解得C 2和C 3,，C=4万
20、兀将C 2和C 3代入式(d)得 然 后 利 用 虎 克 定 律 求 出 力,根 据 分=0求出C|。得应力分量为=|(l-2 v)-(r2+z2)4-3 22+yl=(1-2/-4 +=(/+Z2)-5+Z(，+Z2)4LK _ R RC T.=-3-P-z-3I/r 2+z，IY 42,2乃 (h)-3-P-rz 2(r-2 +z 2I式 2,2兀 将(h)式代入以应力分量表示的位移公式求出位移为利用上述位移公式求出水平边界面上任意一点的沉陷为20=z=01-v2 P兀Er习 题13、如图所示，设有半空间无限大弹性体，单位体积的质量为夕，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分
21、量和应力分量(并假设在z=h处w=0)。解：由于对称(任意铅直面都是对称面)试假设 =O,U=O,VV=HKZ)。这样就得du dv dw dwe=-1-1-=dx dy dz dzde de de d2wdx dy dz因为半空间无限大弹性体体力分量q图 3-7所以上述假设在x,y向满足以位移表示的平衡微分方程:GGC+V2H|+X=01-2v dx)+v2v1+r=ol-2 v dx J+v2v X z=ol-2 v dx J而在Z向 的 平 衡 微 分 方 程 为1 2 1 +%=0,简化后得J -2 v dz dz)d2w_(l-2v)pg芯一对F(a)积分后得 6=也=_(1 _ 缗
22、(z+A)(b)dz 2G(1-v)卬=-|(Z+A)2+3 (C)4 G(i)其中A和B为积分常数。现据边界条件来确定A和B o将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程21v d ur-e +1，。=uU-2 v d x)x y(v 一 0C XJ份+叫c 十,一 uU-2 V d y)y z/-e+叫 r -6加+dJU-2 v dz)cy cy=-o 9(zU +a x J AE.2E BR l-2 v 1 +v/?3E A E B-A d-l-2 v 1 +v/?3(b)(c)代入如下边界条件：?=一,0/=-5求解人和8得,4_a?_ b 3PE(b3-a3)将(d)式代入(a)
23、式得径向位移(j)d 般界(d)u一(1 +3UR T b3 l-2 vY +2R 1 +vL i3aay 1 -2 v2 7?3 +1 +v p1 ：b3(e)将(d)式代入(b)式和(C)式得径向正应力b R 和切向正应力b (b R 和/就是主应力):第四章弹性平面问题的习题习 题 1、已知悬臂梁如图所示，若梁的正应力区入.由材料力学公式给出，试由平衡方程求出入x)，及 C Ty,并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程？解：(1)由材料力学公式求正应力C T、：而d x)=小),现在43 =二 幺 再 即 生 2=二幺工，解此微分方程得I dxr I=M(x)=-x3+Ctx+
24、C0,其中C 1,C o 为积分常数由边界条件确定如下：(无 9=。=C o =0,S(x)x=o =。n G=。/.A/(x)=-x3=(JX2 心lh323(2)据弹性力学平衡方程求二,V及 巴.)据弹性力学平面问题平衡微分方程d得由积分此式得dx8%dxSy+七 2/yI加dx+工=0,不计体力,+F=Q=F =0,y+七5ydrx.Sy加加+(6,用边界条件确定待定函数工(x卜4T=g”63q3叱端,它也满足空x=0仅3同时一drxv +-d a1v =0 0 da：dx dy一暗嗤积分此式得y由边界条件确定待定函数/2(x)%,句=0 =/2(4.=0=0，%|广产口以+谭。故2，=
25、-誓+箸 与 它 也 满 期 =0。产5(3)验证应力分量表示的协调方程现在不计体力，即Fx=Fy=0,应力分量应满足V2(q +%)=0,即要求d2 d2层+歹CTv+CT_v)=0 o而现在+幻=。故不能满足协调方程。24习题2、如图所示简支梁，承受线性分布载荷，试求应力函数及应力分量（不计体力）解：（1）选择应力函数,R=qL/6R2=-qL/3图4-2载荷q沿x轴呈线性分布，可 断 定 沿x轴呈线性分布。可令且有边界条件b J e=G,=0故b yd2（/）a 2OX班（y）,解此微分方程得r30=/2（y）+4。）+人3。o这样，应力函数。沿X轴的变化规律已定，而待定函数力（），），
26、E（y）,K（y）只是坐标y的函数。（2）检验域内方程把应力函数。代入应力协调方程V2 72 0=O （无体力）得+*上式对于任意x均要满足，故x的各次基的系数为零，即徵=0徵+2鬻=0,步=0。解这些微分方程得根据应力函数的性质：艾雷应力函数的系数可确定到只差一个线性函数的程度（即艾雷应力函数中的一次函数项并不影响应力分量的大小），可令N=0,G y+R =0,于是（3）检验边界条件，确定待定系数上下边界为b j,=o,b jv y2 y 2一牛=。，1 2据b yh=O，b J hy=，Iy=2 2-丝 得力3 h2 hA-+B +C-+D =O8 4 2,/72 h qA F B-CF
27、D=8 4 2 I由以上两式分别相加、减得心+2 0 =-幺2 IAJC/I=24 I（a）25又据上下边界中对X为任意值有以”=o得A h43，-Ah2+Bh+C=04_i_ 2 B川 h2 K 1T C八2 1 63 8 4 23,-Ah2-Bh+C=042 8/3 Hh2+2 Kh L =0(b)A h42 1 63 8 4 2将(b)中的第1式加、减第3式得3，-Ah2+2 C=0,B=02(c)将(b)中的第3式加、减第4式得Ah4.h2 c r c-6 H-2 L =01 6 4(d)-2 A T/?=03 8(e)由（a）式中的第2式 和（c）式得 C =9,A=-乌2 lh 加
28、由（e）式得 K=0由（a）式中的第1式得。=一幺根据外力平衡得卷卜 q（x”x=RJ,其中q（x）=4 x,解此方程得R i和R 2：在x=0的端面内据-凡h h=E产后2 2_ 3 y 2 Tdy=日 得加H 3 al ah2-+Lh-6 80/(f)由 第（d）式 和 第（f）式得”=q q i1 O lh 3/Lq h _ q l_卜 80/44由2 4匕 力=。=E(6+2bH y=。=尸=。,2 2h h由 b、LR y d y =n =22264 =综上得：O-3 q y2x2 3%一加 4应力函数为。=E，驾+如 一6 1 lh3 2 lh习题3、已知载荷分布如图所示，即当周期
29、分别为(1)L =1,如图 4-3(b)所示。(2)L =2 1,如图 4-3(d)所示,(3)L =2 1,如图 4-3(e)所示,qo II 口 X(a)q.nh.n r n 1 一 1 4 一J(b)p(c)_ 2、J 4分 3 q 、lh3 lh3 2 lh)2q x y 3 3 q y x q x=-1-,y,加 2 lh 2 1江处4 J 3g 叫 2 q i q ilh lh3 0 lh h3)y 80/4h4 i J 5 q寸 q i-如 q 仪2 1)5/A3 1 0/?37?80/Ah)且取X的偶函数。且取X的奇函数。qL_ Lz21_ J.(d)q11 7Tl!1 i!(
30、e)图4-3试用傅氏级数写出q(x)的表达式，并写出集中载荷情况下的表达式。解：(1)周期为L =/,如图4-3(b)所示。首先将y 轴平移d,于是在新坐标系中,q(x*)=0,当一一W x -c2?,当 一，0,当 X C将 q x按傅立叶级数展开成x sm-cos-,x-x-dI 71 I I(c)所示，令P=2 q c,且当c f 0时，即为集中载荷的情形，那么(2)设L=2/,如图4-3(d)所示，且取x的偶函数。对原来的载荷q(x)进行偶性延拓后按傅立叶级数展开成:q(x)/+E A,cos7n7ix +瓦八.7nJix其中A,=2cosmix-dx(n=0,1 f 2,.),而B.
31、1=0(n=l,2,.)于是A =2 rd+c,4qc,2 cd+c 玄，4“n7id.njtc_ I qdx-,A I 6FCOS-dx cos-sin-，1 Jd-1 I I 1117rl i令P=2 q c,且当c f()时，即为集中载荷的情形，那么(3)设L=2/,如图4-3(e)所示，且取x的奇函数。对原来的载荷q(x)进行奇性延拓后按傅立叶级数展开成:q(x)吟+E 4 cos=1n7ix 八.nnx;-b Bn sin-I I其中A.=j q(x)cos d x =Q(n=0,1,2,.),而纥2isin-dfx=0(n=l,2,.)于是,B.2.n7ix.4q.一I q si
32、n-dx=sinI Jd-c I nTin7rd.nnc-sin-,/I28；.q(x)=之L s in您s in幽s in ，令P =2 q c,且当c-0时，即为集中载荷的情形,71 念 III那么/2 P.n 7i d.r i T i xCx)=,s in-s in-。/=1 I I习题4、连续板墙的中间一段如图所示，试用三角函数形式的应力函数求其应力分量。0,X图4-4解：先将y轴平移1,得新坐标系X o Y,在新坐标系X o Y下将边界载荷化为三角函数形式的g(X),周期为2 其中L =(/+c)。在连续板墙的上边界，即Y=h处，利用第3题 中 的(2)得两处集中载荷P作用下的q(X
33、)q(x)=、1 +2 c o s c o sn/r X L(a)在连续板墙的下边界，即Y=0处，在两处分布载荷q作用下:q(x)吟+a c o s等+Bn s in 等)，其中 A.=2 ，(X)8 S (n=0,1,2,.),L。L而 Bn=-j(X)s in J X =0 (n=l,2,.)L L L于是 A +J.-2)=等 A 2 L+c 成 J V 2 代 n/r X 4qA=q co s-dX H geo s-dX=-c o s z z s inL J L L J l-c L n j in 7i c n 7i XCOSHCOS,L-L小)=竽1+”。L|_ 7CC,!=|n其中据
34、外力平衡得尸=2q c。29q(X)=7 1 +三 工LJ2A 3(1).nnc、-s in-c o snnXTICn L L(b)设三角级数式的应力函数和相应的应力分量为这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程的。现在利用边界条件确定待定常数%?、4”、Bm、C,n、Dm、a,“、A“、g”、Cm Din(1)由于板墙的几何形状及所受载荷均对称与Y o Z平面，有0 x(=X)=bw(X)/x y(X)=7 x y(X)对任何 Y 值都成立,于是A“=Bm=C,=D,=0 所以应力函数为其中4,=竿。相应的应力分量是:Lbxx=%，；co s(a,“m=X；(A.+当)s 4a M+m十 三
35、1)c(a；M+C mysh(a mYa”】D my d a ,nY(c)8 .9(Tyy=一 2 戊 C Or=lX Ainsh(a K)+B mch(a C mYsha )：丫。&：丫)(d)(.2)(瓦+A)M(a；，MGy =之 即m=s i n(a“,X4-a”.(4+和施R+&M：G)+C(e)(2)上、下边的剪应力为零，即以 丫=0 =，6y l口=得TXYL o=lX：s i n(4,+DW,=0(f)/n=l%,口，?rxr|r=/,=ZXm=s i n(a；“X)+%(/)4-&+如施+卬如+C=0(g)(3)上边界正应力b”Y=h (X)和(a)式得(T y y二一=m2
36、 c o mX Amsha,nh)+B fllch(a mh)m=+C mhsloc 切 )+D m h d o c-1 +2、:L 1n=-11mjd IYITIX.co s-co s-L L(h)3 0（4）下边界正应力巧 二4乂）和（b）式得由（f）、（g）、（h）、（i）四式中c o s-项和s in-项对应的系数相等（其中“=）得方L L L从 上 述 方 程 组 中 解 出 然 后 代 入（c）、（d）、（e）三式中得到新坐标系X o Y下的应力aXXaYYXY 0再进行如下转化：因为c远小于/,可以认为L =（/+c）=/,即周期可为2/。然后以X=x/,y =y代入新坐标系X
37、o Y下的应力b x x，5 T，7xy，将新坐标系X o Y下 的 应 力 转 化 为 旧 坐 标 系X”下的应力bxvbyyJy 习题5、已知复应力函数材（z）=cz2,%（z）=；a 2,式中c为实常数，试求其所代表的应力状态。解：设应力函数 O（Z）=（Z）=CZ2,（Z）=%（Z）=CZ2。“(z)=2 cz,”(z)=2c,(z)=2 cz,设 z=x+iy。据第一、第二应力组合公式 7.+7n.=SCXcrvv-cr.+2zr=8cx所以TA 它可表示为一个矩形板纯弯曲纯的应力状态。如图4-5所示，设y 人 人 yy梁宽为1,其中弯矩M=2 pJo衬图4-531习题6、如图4-6
38、所示，无限大板中的一点作用有集中力P,试用复势W z)=A l n z,/(z)=B z l n z求解板中的应力和位移。解：设.(z)=%(z)=B l n z +3,而。(z)=4,0 (z)=-,，(z)=Z Z Z据第一应力组合b y+b疗=4 R e (z)。现集中力P作用在坐标原点O,而原点。是复势(z),“(z)的孤立奇点，应将原点挖去一个小圆域而形成多连通域。则复势(z),(z)应为/R x +iR、/、次z)=-2;r(K+1)E z +*(?)叭 z)K(R-i R)/、-91n z +*(z)。其中外力2/(K+l)R=0,R=P。而 现 在 为 平 面 应 力 状 态，
39、K =三 ,V为 材 料 的 泊 松 比。故复势y1 +VpKP0=苹可l n z +Mz),(z)=-束旬 l n z +八(z)(a)将 0(z)=A i n z 和(z)=Blnz+B 代入(a)式得pA=彳-,0*(z)=02 万(K+1)，B=-“*(z)=B2(K+1)(1)求应力分量(b)在极坐标中，z =relrr0=-sin0,。第=c o s e,b hr r3A-B-co sre.3-v其中A,B由(b)式确定，且K=o1 +v(2)求位移分量位移的复势表示为其中A,B由(b)式确定，K =。1 +V习题7、如图4-7所示，半径为a的圆板，在其两侧相对着的等长弧段上作用着
40、压应力p,试求板中3 2的应力。解：这是轴对称问题，宜采用极坐标表示。设复应力函数(或复势)为。(z),(z),则b 傲+%=2 “，开 画 b 的一%+2 z rr 0=2 e2 i d (z)+“(z)(a)ylr Pp主0图 4.7而应力边界条件为巴 二 诂 田=(。+两e2，。“(b)现在b=-p-a 0 aO,d 0 r-a 八，广0=。一 p,7i a 0 7i +a0,乃+a 6 e“f二 2 m j i(c)=_ 1 +(-l)?w l-s in(ma)c o s(7 n)+is inQ篦a)s in。%。)n 2 L m m _即 c =义 工 一 pg+匚 一pd e)=一
41、 誓,其它在 单 连 通 域 中，现 在 孔 边 载 荷 的 合 力4=4=。，复 势。(z)和 Z)为 单 值 函 数，有33A=耳=o,A)=综=。将“(z)和“(z)展开成级数得“(z)=t A LQ)=Y Bmz-n(d)m=0 r=0令，=pel =ael(,将(c),(d)两式代入(b)式得两边对应的，冶项的系数相等(p =)得B 正幕：m=0 时,4+4=c,(A)=A)=)a彳 Bm=l 时,一!-=Ci,Ai=B j=Cj=0 自然成立。a am=2 吐 冬 一 综=。2,&=4 =G=一应 si12aa 7i、。山/中皿，-4 丁 2 pam sin m a加2 3 的偶数
42、时，胃 二c,4,=A =c 0 0=-a mTT加之3 的奇数时，4=%=0负累：机2 1 时 A m-=C ,=BI+2=an+2(A,-C,1t n 5+2 -f?+2 m Fi-mP P I a )_ ,Z B 门 1 +(-l)w 2pa,n s in(m-2 Vz (2 p a 2综上得：Bm=-.-,(m 4)；&=一一-a2271TC故“(Z)=A,3 ,=工 1 +(T)令 z =%冶，并将上述三式代入(a)式，分离实部和虚部得习题8、试求如图所示无穷大板承受纯剪切载荷时椭圆孔边的应力。图4-83 4解：采 用 复 变 函 数 求 解 此 平 面 应 力 问 题。（一）、选择
43、变换函数选择将椭圆孔外域映射成单位圆内域的变换函数：z =0（G）=H-+m Ag 1其 中 尺 二a+9b,m=c幺t h 在单位圆周上有-。二1人，于是2 a+b aG(b)=7?、+m(y/力(b)=R(t n-a2)a)(a)m+a2-7 i 二 0 7 m a -1（三）、计算边界载荷及。o Q）和（G）由于孔边界不受外力，故R、=R,=0 =A=5=0,则fo =-2 R e（4）（w（c r）-,式 中A。和B o与 无 穷 远 处 的 应 力 状 态 有 关。现 无 穷 远 处 为 纯 剪 应 力 状 态，C=T=5,c r3=O,c r2=r=s。得4=；（%+5）=0艮（4
44、）=0,综=g（琮-b；+2 i q）=is,于是；/k J八 c i Rs m.八lR CT4-L y -+i Rs cy .R%）=一（d b =一 二上-do-,其中函数/=竺 也 在外域解析，其积2 力 J y t j-g 2mler-q a分为更丝.=0 ,故%（q）=j Rs ;,（pQ Q）=i Rs0 0（四）、计算复势0（G坏 口 （G）（五）、返回Z平 面（物理平面）由应力边界条件椭圆边界上的0=0；当G =b =e/时，椭圆孔边的b/，习题9、如图4-9所示，在无穷远处承受均匀拉应力S作用的无限大板，其中间有一椭圆孔，试用曲线坐标（椭圆坐标）求椭圆孔边的应力分布。35p-
45、1山m山：.-y,-一一 0 X-pN L _,*J c -_.r-;-：F j 厂图4-9解：采用由Z=3(G)=CC/所导出的椭圆坐标，较容易得出椭圆孔的边界条件，使该问题的求解过程变得较简单。设域内一点以直角坐标表示为：z =x +i y,对应的椭圆坐标为：G =J +S。则z=Cch g=Cch&co s/+i Cs忧s i n r/=x+i y ,所以x =Cch co s r,(a)y =C M J s i n z/J当J为常数时，(a)式表示相应的椭圆参数方程。令4 表示直角坐标系中的椭圆孔，则应有a=Cch J o，b=Cs h&o(b)由(b)式 可 定 出 瓦 和Co当8
46、时，即表 示 无 限 大 的 椭 圆。对 题 中 的 问 题 选 取 复 势：0(z)=A C s 1的,/(z)=8 C 2 G (c)式中A,B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A,B o当。8时，ax=(ry=p,即/=p ；当4 =5)时(即在椭圆孔的边界上)，b：=%=0。由Z=O(G)=CC/?G可得：包=。5优,/=幽0 62必=聿=也=吗，于是dq W(G)/(G)他 s h g“(z)=A C c l v;-=Act h g(d)dz s h g当 8时，5+%=o ,+/=4 R e (z)=2，而当4f 8时，ct h g=1 o所以，A
47、 =。由(c)和(d)式可求得23 6(z)=-A 1C sh七z(z)=-A华,sh G当 J fo o 时，.8,因此有 (2)=/(2)=0,(2)+%(2)=0。于是一4 +2 ir5=2e2a(z)+;f(z)=0,即 4 =0,z 切=0。这样就满足了无穷远处的边界条件，即b，=T I=p,T,=0。0 I f f 8 ITOO只要再适当选取常数B,使由复势确定的应力满足桶圆孔处的边界条件，问题就得到解决。山5 4 +2诏切=2e2az/(z)+%(z)%+3=2“(z j+)得。厂 i%,=(z)+南_e2a E 0(z)+/(z),注意到 e2,a=蚂,可求得%一 心1sh1
48、g qAS/I府+1)+c%g+Bchg在椭圆孔上，G+G =2 4，tW o，G =2 4-G。因此有气 江|=1一(AC%2-+B)CG。若 取3 =-4必2&=一 劭2 4，则 当J=4时有o sh-g q 2矶,=%/_=(),这 样 便 满 足 了 椭 圆 孔 处 的 边 界 条 件。因 此，本 问 题 的 复 势 被 确 定 为队z)=qshq,疝z)=-今/chl&o。还需检验由此复势得到的位移是否满足位移单值条件。由位移的复势表达式上式中的K在平面应力状态下K=I。上式中的双曲函数均是以2万为周期的函数，因此当绕1 +vJ=CO Sf的任一椭圆一周后，位移U,V将恢复为起始位移
49、值，这就保证了位移的单值性。椭圆孔边的应力cr,可由4 +4 =4Re“(z)=2 pRecthg=2PM茗 求得；当岁=彳 时,-cos2矶g=0,因此人二度安其最大值在长轴的端点，即 =0和=万处，其最大应力值为由(b)式可求出星和C：C2=a2-b2,sh2 2 abQl,C九 纥0a2+b2C2代入上式得37当椭圆逐渐变得扁长时，应 力,也 逐 渐 增 大。而当a=b时，即对应于圆孔情况，a=2p.习 题1 0、如图所示，由双曲线A B C和D E F构成边界的板受到沿y轴方向的拉力作用，并在EO B截面上的拉应力之合力为有限值。试利用曲线坐标(椭圆坐标)求解边界上的应力。解：采用由Z
50、=O(G)=CC/ZG所导出的椭圆坐标，设域内一点以直角坐标表示为：z=x+,对应的椭圆坐标为：G=J+7。则z=Cch g=Cch c o ST/+i Cs h s i n r j -x+i y,所以图 4-1 0 x =Cch (a)y=Cv/z si n 7当为常数时，(a)式表示相应的双曲线参数方程。令=%表示直角坐标系中的双曲线A B段。则应有a=C c o s%,b=Cs i n%(b)同 理，令 =表 示 直 角 坐 标 系 中 的 双 曲 线B C段，令=乃+%表示直角坐标系中的双曲线EF段，令7?=2乃一 人 表示直角坐标系中的双曲线D E段.只要研究双曲线的A B段，其它各