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1、一元二次方程基础知识 1、 一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。 如：满足一般形式，分别是二次项、一次项和常数项，2，4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如的方程都可以用开平方的方法写成，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。 （2）配方法通过配方将原方程转化为的方程，再用直接开平方法求
2、解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。 （3）公式法求根公式：方程的求根公式 步骤：1）把方程整理为一般形式：，确定a、b、c。2）计算式子的值。3）当时，把a、b和的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法 把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配
3、方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：也就是说，一元二次方程只有当系数、满足条件时才有实数根这里叫做一元二次方程根的判别式4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定设一元二次方程为，其根的判别式为：则方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根若，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根说明：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，在解
4、一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数； 利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题6、韦达定理如果的两根是，则，（隐含的条件：） 特别地，当一元
5、二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，7、韦达定理的逆定理以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是一般地，如果有两个数，满足，那么，必定是的两个根8、韦达定理与根的符号关系在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值当时，方程的两根同正或同负若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： ， 且， 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数
6、）若，则方程必有实数根若，方程不一定有实数根若，则必有一根若，则必有一根9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一
7、的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件： 为完全平方数； 或，其中为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、均为有理数)11、一元二次方程的应用1求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验3. 列方程解应用题 步骤：审、设、列、解、验、答板块一 一元二次方程的定义夯实基础例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次
8、项系数和常数项。（1）（2）（3）（4）（5）例2 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围 例3 若一元二次方程的常数项为零，则的值为_能力提升例4 关于x的方程是什么方程？它的各项系数分别是什么？例5已知方程是关于的一元二次方程，求、的值例6若方程（m-1）x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）Am1 Bm0 Cm0且m1 Dm为任何实数培优训练例7 为何值时，关于的方程是一元二次方程例8已知方程是关于的一元二次方程，求、的值例9关于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为解：该方程为一元二次方程，m2-7=2，解得m=3；当m=-
9、3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；所以m=3例10（2000兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）Am-1Bm2Cm-1或m2Dm-1且m2课后练习1、为何值时，关于的方程是一元二次方程2、已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围3、已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围4、若是关于的一元二次方程，求、的值5、若一元二次方程的常数项为零，则的值为_板块二 一元二次方程的解与解法夯实基础例1、（2012鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（） A3 B-3 C9 D-9解：若a是方程2x2-x-3=0
10、的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故6a2-3a=33=9故选C例2（2011哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解则m的值是（） A6 B5 C2 D-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0，解得m=6故选A例3用直接开平方法解下列方程（1）（2） （3）(4) (5) (6)例4先配方，再开平方解下列方程（1） （2） （3） (4) (5) (6) 例5 用公式法解下列方程（1） （2） （3）(4) (5) (6)例6 用因式分解法解下列方程 （1） （2） （3） (4) (5) (6)能力提升例7（2011乌鲁木齐）关于x的一元
11、二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（A） A-1 B0 C1 D-1或1例8关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一个根是0，则a值为（C） A1 B0 C-1 D1例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0（ac）有相同的根，则= _例10已知a、是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8+6的值为（D） A-1 B2 C22 D30例11关于x的一元二次方程（m-2）xm-2+2mx-1=0的根是 _ _例12解方程：例13解方程培优训练例14（新思维）阅读下面的例题：解方程：解：（1）当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去）
12、，（2）当时，原方程化为解得（不合题意，舍去），原方程的根是请参照，则方程的根是_例15解方程：例16（新思维）设x1、x2是方程的两个实数根，求代数式的值例17（新思维）先请阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，当时，得；当时，得；故原方程的解为，在解方程的过程中，我们将用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想请你根据以上的阅读，解下列方程：（1）；（2）例18已知关于x的方程的一个解与方程的解相同（1）求k的值；（2）求方程的另一个解例19（新思维）若x、y是实数，且确定m的最小值例20（新思维
13、）已知x、y、z为实数，且满足，则的最小值为_课后练习一、填空： 1. 一元二次方程的一般形式是_。 2. 一元二次方程的一般形式是_，a=_，b=_，c=_。 3. 关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_。 4. 关于x的方程是一元二次方程时，m的取值范围是_，是一元一次方程时，m的取值范围是_。二、 下列方程中，是一元二次方程的为（） Ax2+3x=0 B2x+y=3 C Dx（x2+2）=0三、用两种方法解下列方程： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 四、 解关于的方程：五、解关于的方程： 六、（新思维）ABC中，三边试判定ABC的形状七、 （新思维）
14、设x、y为实数，求代数式的最小值板块二 一元二次方程根的判别式夯实基础 例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。 （1） （2） （3）（x是未知数） 例2如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）A B C D 例3已知，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的正实数根 B有两个异号的实数根C有两个不相等的负实数根 D不一定有实数根例4若关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 例5求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程一定有两个不等实根。 例6已知、是的三边的长，且方程有两个相等的实数根，试判断这个
15、三角形的形状能力提高例7关于的方程有实数根，则整数的最大值是 例8为给定的有理数，为何值时，方程的根为有理数？例9为何值时，方程有实数根 例10已知关于x的方程在下列情况下，分别求m的非负整数值。 （1）方程只有一个实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有两个不相等的实数根例11（新思维） 已知一元二次方程有两个不相等的实数根则k的最大整数值为_例12 （新思维）如果一直角三角形的三边长分别为a、b、c，B=90，那么，关于x的方程的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定培优训练例13（新思维）已知关于x的方程（1）求证：无论k取任何实数
16、值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长例14（新思维） 已知函数（1）若这两个函数的图象都经过点（1，a），求a和k的值；（2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？例15（新思维）若x0是一元二次方程的根，则判别式与平方式的大小关系是（ ）A B C D不能确定解：把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c，（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，（2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=-4ac+b2=，M=故选B例16（新思维）关于x的方程仅有两个不同的实根，则实数a的取
17、值范围是（ ）A B C D课后练习1、一元二次方程的根的情况为（）有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根只有一个实数根 没有实数根2、若关于z的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（） Am-1 Cml Dm-13、关于x的方程的两根同为负数，则（ ）A且 B且C且 D且4、不解方程，判断下列各方程根的情况 （1）. （2）. （3）. 5、k为何值时，方程的两个根相等？6、k为何值时，方程有两个不相等的实根？7、已知，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明8、已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：9、已知关于的方程有两个不相等的实数根求的取值范围；若为整数，且，是上述方程
18、的一个根，求代数式的值10、在等腰中，、的对边分别为、，已知，和是关于的方程的两个实数根，求的周长11、如果关于的方程（其中，均为正数）有两个相等的实数根证明：以，为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征12、k为何值时，方程没有实根？板块二 一元二次方程的应用夯实基础例1 解方程 例2 一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。 例3 某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？ 例4 甲、乙两队学生绿化校
19、园，如果两队合作，6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天，问两队单独工作各需多少天完成？例5如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80，求所截去小正方形的边长例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为21在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m
20、宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是288m2?能力提高例8（新思维）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540m2，求道路的宽（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304） 例9（新思维）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？例10（新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种
21、不同的花卉供应城镇市场，这时需要用长为24米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度a是10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2（1）求x与S的函数关系式；（2）若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）花圃的面积能达到48m2吗？如果能，请求出此时AB的长；如果不能，请说明理由例11某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系
22、在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？培优训练二、列方程解应用题 1. 从一块长为80cm，宽为60cm的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？ 2. 某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？板块二 一元二次方程根与系数的关系夯实基础例1 若方程的一个根为，则方程的另一根为_，c=_例2 已知方程的两根为x1、x2，则_例3 如果是一元二次方程的两根，那么，这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问
23、题：已知m与n是方程的两根。（1）填空：（2）计算的值例4 （2011厦门）已知关于x的方程有两个不相等的实数根（1）求n的取值范围；（2）若n5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值例5 （2011孝感）已知关于x的方程有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值例6 （2011十堰）请阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，则y=2x所以把代入已知方程，得化简，得故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程，求一个
24、一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： 。（2）己知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数例7（2011南充）关于的一元二次方程的实数解是和（1）求k的取值范围；（2）如果且k为整数，求k的值例8（2010淄博）已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值能力提升例1 已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k3)x+k3 = 0有两个不相等实数根（k0. 当x=时，代数式的值
25、是正数 7分课后练习1、若x1、x2是方程的两个实数根，则的值是_2、已知x1、x2是方程的两根，那么的值是（ ）A1 B5 C7 D3、已知关于x的一元二次方程（1）当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根x1、x2 满足，求m的值4、（2011延庆一模）已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个实数根；（2）设，且方程的两个实数根分别为（其中），若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于的方程的解5、已知关于的方程的两根都是整数，求的值6、（2010中山）已知一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值7、（2010孝感）关于x的一元二次方程有两实数根，（1）求p的取值范围；（2）若，求的值8、（2011海淀二模）已知关于x的方程，其中。（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，其中，若，求y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式成立的的取值范围。