2022年一元二次方程讲义绝对经典实用 .pdf

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1、学习资料欢迎下载一元二次方程基础知识1、 一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2 的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如axbxca200（）的一般形式， 我们把这样的方程叫一元二次方程。其中axbxc2，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b 分别是二次项和一次项的系数。如：24102xx满足一般形式axbxca200（），2412xx，分别是二次项、一次项和常数项，2， 4 分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2. 一元二次方程求根方法（1）直接开平方法形如xmm20（）的方程都可以

2、用开平方的方法写成xm，求出它的解， 这种解法称为直接开平方法。（2）配方法通过配方将原方程转化为()xnmm20（）的方程，再用直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1 时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。（3）公式法求根公式：方程axbxca200（）的求根公式xbbacabac224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：axbxca200（），确定 a、b、 c。2）计算式子bac24的值。3）当bac240时，把 a、b 和bac24的值代入求根公式计算，就可以求出方程

3、的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢

4、迎下载平方得：22424bbacxaa也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件240bac时才有实数根这里24bac叫做一元二次方程根的判别式4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由24bac确定设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac则0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa0方程20(0)axbxca没有实数根若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解

5、为有理根；若为完全平方式，同时24bbac是2a的整数倍，则方程的根为整数根说明：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0在解一元二次方程时，一般情况下， 首先要运用根的判别式24bac判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）当240bac时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：

6、运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题6、韦达定理如果20(0)axbxca的两根是1x，2x，则12bxxa ，12cx xa （隐含的条件：0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1 时，设1x，2x是方程20 xpxq的两个根，则12xxp，12xxq7、韦达定理的逆定理以两个数1x，2x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0 xxxxx x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

7、 - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载一般地， 如果有两个数1x，2x满足12bxxa，12cx xa，那么1x，2x必定是20(0)axbxca的两个根8、韦达定理与根的符号关系在24bac 0的条件下，我们有如下结论：当0ca时，方程的两根必一正一负若0ba，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba，则此方程的正根小于负根的绝对值当0ca时，方程的两根同正或同负若0ba，则此方程的两根均为正根；若0ba，则此方程的两根均为负根更一般的结论是：

8、若1x，2x是20(0)axbxca的两根（其中12xx） ，且m为实数，当0时，一般地：121()()0 xmxmxm，2xm12()()0 xmxm且12()()0 xmxm1xm，2xm12()()0 xmxm且12()()0 xmxm1xm，2xm特殊地：当0m时，上述就转化为20(0)axbxca有两异根、两正根、两负根的条件其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab（a，b为有理数）若0ac，则方程20(0)axbxca必有实数根若0ac，方程20(0)axbxca不一定有实数根若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x若0abc，则20(0)axbxca

9、必有一根1x9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20axbxc(0)a的实根情况，可以用判别式24bac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分

10、析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：如果一元二次方程20axbxc(0)a有整数根，那么必然同时满足以下条件：24bac为完全平方数；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载242bbacak或242bbacak，其中k为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数 )11、一元二次方

11、程的应用1求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验 3. 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答夯实基础例 1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1）272yy（2）21202xx（3）()()xx550（4）()()51 2152yyy（5）()mxnmxx2210（ 是未知数）例 2已知关于x的方程22(2)1axaxx是一元二次方程，求a的取值范围板块一一元二次方程的定义名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

12、- - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 3 若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m的值为 _能力提升例 4 关于 x 的方程k xkx22211()是什么方程？它的各项系数分别是什么？例 5 已知方程2240abxxx是关于x的一元二次方程，求a、 b 的值例 6 若方程（ m-1） x2+ x=1 是关于 x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A m 1Bm 0Cm 0且 m 1Dm 为任何实数培优训练例 7m为何值

13、时，关于x的方程2(2)(3)4mmxmxm 是一元二次方程例 8 已知方程 20a ba bxxab是关于x的一元二次方程，求a、 b 的值例 9 关于 x 的方程（ m+3）xm2-7+（ m-3） x+2=0 是一元二次方程，则m 的值为解：该方程为一元二次方程，m2-7=2，解得m= 3；当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；所以 m=3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - -

14、 - 学习资料欢迎下载例 10（2000?兰州）关于x 的方程（ m2-m-2）x2+mx+1=0 是一元二次方程的条件是（）A m -1Bm 2C m -1 或 m 2D m -1 且 m 2课后练习1、 m 为何值时，关于x 的方程2(2)(3)4mmxmxm 是一元二次方程2、已知关于x 的方程22(2)1axaxx是一元二次方程，求a 的取值范围3、已知关于x 的方程22()(2)xaax是一元二次方程，求a 的取值范围4、若2310a ba bxx是关于 x 的一元二次方程，求a、 b 的值5、若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m 的值为 _夯实基础例

15、 1、 （2012?鄂尔多斯）若a 是方程 2x2-x-3=0 的一个解，则6a2-3a 的值为（）A3 B-3 C9 D-9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故 6a2-3a=3 3=9故选 C例 2（2011 ? 哈尔滨）若x=2 是关于 x 的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解则m 的值是（）板块二一元二次方程的解与解法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - -

16、- - - - - - 学习资料欢迎下载A6 B5 C2 D-6 解：把 x=2代入方程得：4-2m+8=0 ，解得 m=6故选 A 例 3 用直接开平方法解下列方程（1）3902x（ 2）()x2302（3）2 31182()x(4)22(31)85x(5)2269(52 )xxx(6)23(1)27x例 4 先配方，再开平方解下列方程（1）xx2440（2）2102yy（ 3）2372xx(4) 211063xx(5) 2312 3yy(6) 2250 xx例 5 用公式法解下列方程（1）xx2320（2）2122xx（3）()xx132名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

17、- - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载(4)(5)(7)1xx(5)1(61)432(2)2xxxx(6)210 xx例 6 用因式分解法解下列方程（1）23302xx（2）24545002xx（3）tt22 220(4)2(23)2(31)60 xx(5)223421xaaxa(6)229(2)16(1)0 xx能力提升例 7（2011? 乌鲁木齐）关于x 的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数 a 的

18、值为（A）A-1 B0 C1 D-1 或 1例 8 关于 x 的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0 的一个根是0，则 a 值为（C）A1 B0 C-1 D 1例 9 方程x2+ax+b=0 与 x2+cx+d=0 （ac ）有相同的根 ，则= _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 10 已知a、是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8+6的值为（D）A-1

19、B2 C22 D30 例 11 关于 x 的一元二次方程（m-2 ）xm-2+2mx-1=0的根是_ _ 例 12 解方程：22(32)60mxmxm名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 13 解方程22(32)60mxmxm培优训练例 14（新思维）阅读下面的例题：解方程：.02|2xx解： （1）当0 x时，原方程化为220 xx，解得122,1xx（不合题意，舍去） ，（

20、2）当0 x时，原方程化为220 xx解得11,x（不合题意，舍去） ，22x原方程的根是122,2xx请参照2330 xx，则方程的根是_例 15 解方程：2x2 x240例 16（新思维）设x1、x2是方程240 xx的两个实数根，求代数式3212510 xx的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 17（新思维）先请阅读材料：为解方程22215140 xx，我们可以将21

21、x视为一个整体，然后设21xy ，则2221xy，原方程化为2540yy，解得11y，24y当1y时，211x，得2x；当4y时，214x，得5x；故原方程的解为12x，22x，32x，45x在解方程的过程中，我们将21x用 y 替换，先解出关于y 的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法” ，体现了转化的数学思想请你根据以上的阅读，解下列方程：（1）0624xx；（2）01)121()121(2xx例 18 已知关于 x 的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同（1）求 k 的值；（2）求方程022kxx的另一个解例 19（新思维）若x、y 是实数，且yxyxyxm4

22、46422确定 m 的最小值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 20（新思维） 已知 x、y、z 为实数， 且满足3262xyxzyx，则222zyx的最小值为 _课后练习一、填空：1. 一元二次方程的一般形式是_。2. 一元二次方程3562xx的一般形式是_ ， a=_，b=_，c=_。3. 关于 x 的方程()mxmx12302是一元二次方程，则m 的取值范围是_。4.

23、关于 x 的方程()()mxmxm22420是一元二次方程时，m 的取值范围是 _，是一元一次方程时，m 的取值范围是 _。二、下列方程中，是一元二次方程的为（）Ax2+3x=0 B2x+y=3 CDx（x2+2）=0 三、用两种方法解下列方程：1. 0 51402. x2. 351502x.3. 3 112()x4. xx25605. xx2726. 3242xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 34 页 - - - - - - - -

24、 - 学习资料欢迎下载7. xx22 228. xx237409.32102()x10. ()xx15302;01|)11(2xx;02)2()2)(2(222xxxx四、解关于x的方程：2(1)(21)30mxmxm五、解关于x的方程：2222(1)(1)(1)axxa xax名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载六、 （新思维） ABC 中，三边,21,2222444cbcac

25、bacABbACaBC且满足试判定 ABC 的形状七、（新思维）设x、y 为实数，求代数式4284522xxyyx的最小值夯实基础例 1 不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。（1）82525yy()（2）2261xx（3）()()axaxa2221240（x 是未知数）板块二一元二次方程根的判别式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 2 如果关于x 的一元

26、二次方程2690kxx有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A1kB0kC10kk且D1k例 3 已知a， b ，c为正数，若二次方程20axbxc有两个实数根，那么方程22220a xb xc的根的情况是（）A有两个不相等的正实数根B有两个异号的实数根C有两个不相等的负实数根D不一定有实数根例 4 若关于 x 的方程kxx2690有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。例 5 求证：当a 和 c 的符号相反时，一元二次方程axbxc20一定有两个不等实根。例 6 已知a、 b、c是ABC 的三边的长，且方程22()()()0 xbc xab ca有两个相等的实数根，试判断这个三角形的

27、形状能力提高例 7 关于 x 的方程26860axx有实数根，则整数a 的最大值是例 8m为给定的有理数，k为何值时，方程224 13240 xm xmmk的根为有理数？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 9 k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0kxkxk有实数根例 10 已知关于x 的方程()()mxmxm221102在下列情况下，分别求m 的非负整数值。（1）方程只

28、有一个实数根（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有两个不相等的实数根例 11（新思维）已知一元二次方程04)24(22kxkx有两个不相等的实数根则k 的最大整数值为_例12 （新思维）如果一直角三角形的三边长分别为a、 b、 c， B=90，那么，关于x 的方程0)1(2)1(22xbcxxa的根的情况是（） A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定培优训练例 13（新思维）已知关于x 的方程02)2(2kxkx（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b、 c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长名师归

29、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 14（新思维）已知函数)0( 12kkxyxy和（1）若这两个函数的图象都经过点（1，a） ，求 a 和 k 的值；（2）当 k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点？例 15（新思维）若x0是一元二次方程)0(02acbxax的根，则判别式acb42与平方式20)2(baxM的大小关系是（） AMBMCMD不能确定解：把x0代入方程ax2+bx

30、+c=0中得ax02+bx0=-c，（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，（2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=-4ac+b2=，M=故选 B例 16（新思维）关于x 的方程axx|1|2仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（） A0aB4aC42aD40a课后练习1、一元二次方程2210 xx的根的情况为（）有两个相等的实数根有两个不相等的实数根只有一个实数根没有实数根2、若关于z 的一元二次方程02. 2mxx没有实数根，则实数m 的取值范围是（）Am-1 Cml Dm且q 0B0p 且q 0C0p 0D0p 且q 04、不解方程，判断下列各方程根的情况（

31、1）. x210（2）. 44102xx（3）. 27302xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载5、k 为何值时，方程()()kxkxk1272202的两个根相等？6、k 为何值时，方程xkxk22250()有两个不相等的实根？7、已知0a，bac，判断关于x 的方程20axbxc的根的情况，并给出必要的说明8、已知关于x 的方程222(1)50 xmxm有两个不相等的实数根

32、，化简：2|1|44mmm9、已知关于x 的方程22()210mm xmx有两个不相等的实数根求 m 的取值范围；若 m 为整数，且3m， a 是上述方程的一个根，求代数式22212334aaa的值10、在等腰ABC中，A、B、C的对边分别为a 、b、 c ，已知3a，b和 c 是关于x 的方程21202xmxm的两个实数根，求ABC的周长名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载11

33、、如果关于x的方程0 xaxbxbxcxcxa（其中 a ，b， c 均为正数）有两个相等的实数根证明：以a，b， c 为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征12、k 为何值时，方程224122xkkx()没有实根？夯实基础例 1解方程例 2一个车间加工300 个零件，加工完80 个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用了6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。例 3某商场运进120 台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4 台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？板块二一元二次方程的应用名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

34、 - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 4甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作，6 天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5 天，问两队单独工作各需多少天完成？例 5 如图，在长为10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分 )面积是原矩形面积的80，求所截去小正方形的边长例 6 某汽车销售公司2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从2

35、005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同(1)该公司 2006 年盈利多少万元? (2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008 年盈利多少万元? 例 7 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为21在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是 288m2? 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 34 页 - - - - - - -

36、- - 学习资料欢迎下载能力提高例 8（新思维）如图，在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540m2，求道路的宽（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304） 例 9（新思维）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？例 10（新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这时需

37、要用长为24 米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度a 是 10 米） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 AB 为 xm，面积为Sm2（1）求 x 与 S的函数关系式；（2）若要围成面积为45m2的花圃， AB 的长是多少米？（3）花圃的面积能达到48m2吗？如果能，请求出此时AB 的长；如果不能，请说明理由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 11 某博物馆每周都

38、吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系在这样的情况下，如果确保每周4 万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料

39、欢迎下载培优训练二、列方程解应用题1. 从一块长为80cm，宽为 60cm 的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？2. 某车间一月份生产零件7000 个，三月份生产零件8470 个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？夯实基础例 1若方程042cxx的一个根为23 ，则方程的另一根为_，c=_例 2 已知方程0532xx的两根为x1、 x2，则2221xx_板块二一元二次方程根与系数的关系名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -

40、 - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 3 如果12xx、是一元二次方程2axbxc0 a0（）的两根，那么，bxxa12+= -，cx xa12=这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：已知 m与 n是方程22x -6x+3=0的两根。（1）填空：m+n= mn= .，（2）计算mn11+的值例 4 （2011?厦门）已知关于x 的方程2x2x2n0有两个不相等的实数根（1）求 n 的取值范围；（2）若 n 5，且方程的两个实数根都是整数，求n 的值例 5 （2011?孝感）已知关于x 的

41、方程22x2k1xk0（）有两个实数根12xx，（1）求 k 的取值范围 ；（2）若1212xxx x1， 求 k 的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 6 （2011?十堰）请阅读下列材料：问题：已知方程2xx10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍解：设所求方程的根为y，则 y=2x 所以x2y把x2y代入已知方程，得21022yy（）化简，得2y2y

42、40故所求方程为2y2y40这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程2xx20，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：。（2）己知关于x 的一元二次方程2axbxc0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数例 7（2011?南充）关于的一元二次方程2x2xk10的实数解是1x和2x（1）求 k 的取值范围；（2）如果1212xxx x1且 k 为整数，求k 的值 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

43、- - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载例 8（2010?淄博）已知关于x 的方程22x2k3xk4k10（）（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围 ；（2）若这个方程有一个根为1，求 k 的值；（3）若以方程22x2k3xk4k10（）的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数ymx的图象上，求满足条件的m的最小值能力提升例 1 已知：关于x 的一元二次方程kx2+（2k3)x+k 3 = 0 有两个不相等实数根（k0. 当 x=5m时，代数式2a

44、xbxc的值是正数7 分课后练习1、若 x1、x2是方程0132xx的两个实数根，则2111xx的值是 _2、已知 x1、x2是方程032xx的两根，那么2221xx的值是（） A 1 B5 C7 D7493、已知关于x 的一元二次方程0241)2(22mxmx（1）当 m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根x1、 x2满足182221xx，求 m 的值4、 （2011 延庆一模）已知：关于x的一元二次方程012)1(22mxmx（1）求证：方程有两个实数根；（2） 设0m， 且方程的两个实数根分别为21,xx（其中21xx） ， 若y是关于m的函数，且y12

45、16xx，求这个函数的解析式；（3）在（ 2）的条件下，利用函数图象求关于m的方程02my的解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载5、已知关于x的方程2(6)0 xaxa的两根都是整数，求a的值6、 （2010?中山）已知一元二次方程2x2xm0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为12xx、，且12x3x3，求 m的值 7、 （2010?孝感）关于x

46、的一元二次方程2xxp10有两实数根12xx，（1）求 p 的取值范围 ；（2）若11222x 1x 2x 1x9（）（），求p的值 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 34 页 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载8、 （2011 海淀二模） 已知关于x的方程2(32)(3)0mxm xm，其中0m。（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x，2x，其中12xx，若2113xyx，求y与m的函数关系式；（3）在（ 2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式ym成立的m的取值范围。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 34 页 - - - - - - - - -