《2022年一元二次方程讲义绝对经典实用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年一元二次方程讲义绝对经典实用.docx（63页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习资料 欢迎下载一元二次方程基础学问1、 一元二次方程方程中只含有一个未知数,而且未知数的最高次数是2 的方程,一般地,这样的方程都整理成为形如ax2bxc0（a0） 的一般形式, 我们把这样的方程叫一元二次方程；其中 ax2,bx,c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项,a、b 分别是二次项和一次项的系数；如： 2x24 x10满意一般形式ax2bxc0（a0） ,2x2,4x,1分别是二次项、一次项和常数项,2, 4 分别是二次项和一次项系数；注：假如方程中含有字母系数在争论是否是一元二次方程时
2、,就需要争论字母的取值范畴；2. 一元二次方程求根方法（1）直接开平方法形如 x2m（m0） 的方程都可以用开平方的方法写成xm ,求出它的解, 这种解法称为直接开平方法；（2）配方法通过配方将原方程转化为xn2m（m0） 的方程,再用直接开平方法求解；配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方；配方应留意：当二次项系数为 1 时,原式两边要加上一次项系数一半的平方,如二次项系数不为 1,只需方程两边同时除以二次项系数,使之成为 1；（3）公式法求根公式：方程ax2bxc0（a20） 的求根公式x（bb24 acb4 ac0）2 a步骤：1）把方程整理为一般形式：ax2bxc0（a0） ,确定 a
3、、b、 c；2）运算式子 b24ac 的值；4ac 的值代入求根公式运算,就可以求出方程的解；3）当 b24 ac0 时,把 a、b 和 b2（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后,方程一边为零,另一边是关于未知数的二次三项式,假如这个二 次三项式可以作因式分解,就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解,这种解方程的 方法叫因式分解法；3、一元二次方程根的判别式的定义xb22 b4ac,明显只有当2 b4ac0时,才能直接开运用配方法解一元二次方程过程中得到2a4 a2细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 34 页 - - - - - - - - - - - - -
4、 - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习资料欢迎下载a 、 b 、 c 满意条件b24ac0时才有平方得：xbb244ac2aa2只有当系数也就是说,一元二次方程ax2bxc0a0实数根这里b24 ac 叫做一元二次方程根的判别式4、判别式与根的关系在实数范畴内,一元二次方程ax2bxc0a0的根由其系数a 、 b 、 c 确定,它的根的情形（是否有实数根）由2 b4ac 确定c0a0,其根的判别式为：b24ac 就设一元二次方程为ax2bx0方程ax2bxc0a0有两个不相等的实数根x 1,2bb
5、24ac2 a0方程ax2bxc0a0有两个相等的实数根x 1x2b2a 0方程ax2bxc0a0没有实数根如a,b,c为有理数,且为完全平方式,就方程的解为有理根；如为完全平方式,同时bb24 ac 是 2a 的整数倍,就方程的根为整数根说明：用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用,当方程有两个不相等的实数根时,0 ；有两个相等的实数根时,0 ；没有实数根时,0 （有两在解一元二次方程时,一般情形下, 第一要运用根的判别式2 b4 ac 判定方程的根的情形个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根）当b24 ac0时,方程有两个相等的实数根（二重根）,
6、不能说方程只有一个根当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式,判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范畴；通过判别式,证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题6、韦达定理x 1假如ax2bxc0a0的两根是1x,x ,就x 1x 2b a ,x x 2c0）a （隐含的条件：特殊地,当一元二次方程的二次项系数为1 时,设x ,x 是方程2 xpxq0的两个根,就x 2p
7、,x 1x 2q7、韦达定理的逆定理以两个数1x,x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2x 1x 2xx x 20 第 2 页,共 34 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一般地, 假如有两个数1x,2x满意x 1x2学习资料欢迎下载c1x,2x必定是ax2bxc0a0的bx x2a ,a ,那么两个根8、韦达定理与根的符号关系在b204ac 0 的条件下,我们有如下结论：0,就此方程的正根不小于负根的肯定值
8、；如b0,cb当a时,方程的两根必一正一负如aa就此方程的正根小于负根的肯定值当c0时,方程的两根同正或同负如b0,就此方程的两根均为正根；如b0,就此方程aaa的两根均为负根更一般的cx 11x结论是：如1x,2x是ax2bxc0a0的两根（其中x ）,且 m 为实数,当0 时,一般地：x 1mx 2m0x 1m ,x2mm ,x 2mx 1m x 2m 0且x 1mx 2m 0x 1m x 2m 0且x 1mx 2m 01xm ,x2m特殊地：当m0时,上述就转化为ax2bx0a0有两异根、两正根、两负根的条件其他有用结论：如有理系数一元二次方程有一根ab,就必有一根 ab （ a , b
9、为有理数）如ac0,就方程ax2bxc0a0必有实数根如ac0,方程ax2bxc0a0不肯定有实数根如abc0,就ax2bxc0a0必有一根x1如abc0,就ax2bxc0a0必有一根x19、韦达定理的应用已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程,求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根,求作方程；结合根的判别式,争论根的符号特点；逆用构造一元二次方程帮助解题：当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后,肯定要验证方程的 置陷阱 10、整数根问题一些考试中,往往利用这一点设对于一元二
10、次方程ax2bxc0a0的实根情形,可以用判别式b24ac 来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判定它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能详细问 题详细分析求解,当然,常常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：假如一元二次方程ax2bxc0a0有整数根,那么必定同时满意以下条件： 第 3 页,共 34 页 2 b4 ac 为完全平方数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -bb24ac2ak 或
11、bb24 ac学习资料欢迎下载2ak ,其中 k 为整数以上两个条件必需同时满意,缺一不行另外,假如只满意判别式为完全平方数,就只能保证方程有有理根11、一元二次方程的应用1求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程；步骤：1）去分母,化分式方程为整式方程（一元二次方程）；2）解一元二次方程；3）检验 3. 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答板块一 一元二次方程的定义 夯实基础其中a、b、c均为有理数 例 1 把以下方程先化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数,一次项系数和常数项；（1） 2 y2y 7（2）2 1 2 x2x 0（3） x5 x5 0（4） 5y1 2
12、y1 y25（5） m21 x2nmx0（ 是未知数）例 2已知关于x的方程a2x2axx21是一元二次方程,求a 的取值范畴细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3 如一元二次方程 m2x23 m215x学习资料4欢迎下载m 的值为 _m20的常数项为零,就 才能提升例 4 关于 x 的方程 k x 222k01 x1是什么方程？它的各项系数分别是什么？例 5 已知方程2xab xx24是关于
13、 x 的一元二次方程,求a 、 b 的值例 6 如方程（ m-1） x2+ x=1 是关于 x 的一元二次方程,就m 的取值范畴是（）A m 1Bm0Cm0且 m 1Dm 为任何实数 培优训练例 7m 为何值时,关于x 的方程m2x2 mm3x4m 是一元二次方程例 8 已知方程 2xa bxa bab0是关于 x 的一元二次方程,求a 、 b 的值例 9 关于 x 的方程（ m+3）xm2-7+（ m-3） x+2=0 是一元二次方程,就 m 的值为解：时该,方方程的为次一系元二0次不方合程意,m2-7=2m+3=0得程二项m= 3,符题,解；当m=-3就数是；所以 m=3细心整理归纳 精选
14、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 10（2000.兰州）关于学习资料欢迎下载）x 的方程（ m2-m-2）x2+mx+1=0 是一元二次方程的条件是（A m -1Bm 2Cm -1 或 m 2Dm -1 且 m 2 课后练习1、 m 为何值时,关于x 的方程m2m x2m3x4m 是一元二次方程2、已知关于x 的方程a2x2axx21是一元二次方程,求a 的取值范畴3、已知关于x 的方程xa 2ax22是一元
15、二次方程,求a 的取值范畴4、如x2a b3xa b10是关于 x 的一元二次方程,求a、 b 的值5、如一元二次方程m2x23m215xm240的常数项为零,就m 的值为 _板块二一元二次方程的解与解法 夯实基础例 1、（2022.鄂尔多斯）如a 是方程 2x2-x-3=0 的一个解,就6a 2-3a 的值为（个）,就有A 3 B -3 C 9 D -9的一根解：如a是方程2x2-x-3=02a 2-a-3=0得,2a2-a=3,变形,故 6a 2-3a=3 3=9应选 C例 2（ 2022 .哈尔滨）如x=2 是关于 x 的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解就m 的值是（） 第 6 页
16、,共 34 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 6 B5 C2 学习资料欢迎下载D -6 解：把 x=2代入方程得： 4-2m+8=0 ,解得 m=6应选 A 例 3 用直接开平方法解以下方程（1） 3 x2980（ 2） x22305（3） 2 3 x1 21863x2 12723x2 152 x6 x92 245例 4 先配方,再开平方解以下方程（1） x224x40（2） 2y2y3y102 3y（ 3） 2
17、x237 x2x504 x1 6x105 216 x23例 5 用公式法解以下方程（1） x23 x20（2） 2 x12 x2（3） x1 23 x 第 7 页,共 34 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4 x5x715x 6学习资料4欢迎下载22x16x2x10x1x32例 6 用因式分解法解以下方程（1） 2x23 x33060（2） 2x245 x45002 a1（3） t292 2t2x02 10423x
18、221x5x232 a4 ax6x2216 才能提升例 7（2022.乌鲁木齐）关于x 的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0 的一个根是0, 就实数 a 的值为 （A）A-1 B0 C1 D-1 或 1C）例 8 关于 x 的一元二次方程（a-1）x2+ax+a 2-1=0 的一个根是0,就 a 值为（A 1 B0 C-1 D1例 9 方程 x2+ax+b =0 与 x 2+cx+d=0 （ a c）有相同的根,就 = _细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结
19、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习资料 欢迎下载例 10 已知 a、 是方程 x2-2x-4=0 的两个实数根 ,就 a 3+8 +6的值为 （D）A-1 B 2 C 22 D30 _ _ 例 11 关于 x 的一元二次方程（m-2 ）xm-2 +2mx-1=0 的根是例 12 解方程：mx23m22x6m0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 13
20、解方程mx23m22x6m0学习资料欢迎下载 培优训练例 14（新思维）阅读下面的例题：解方程：x2|x|20 .20,解：（ 1）当x0时,原方程化为x2x解得x 12,x21（不合题意,舍去） ,20（ 2）当x0时,原方程化为x2x解得x 11,（不合题意,舍去） ,x22_原方程的根是x 12,x 22请参照x2x330,就方程的根是例 15 解方程：x22 x240例 16（新思维）设x1、x2 是方程x2x40的两个实数根,求代数式3 x 15x 2210的值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 34 页 - -
21、- - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习资料 欢迎下载例 17（新思维）先请阅读材料：为解方程x2125x2140,我们可以将x21视为一个整体,然后设x21y ,就x2122 y,原方程化为2 y5y40,解得y 11,y24当y1时,x211,得x2；当y4时,x214,得x5；故原方程的解为x 12,x22,x 32,x 45在解方程的过程中,我们将x21用 y 替换,先解出关于y 的方程,达到了降低方程次数的目的,这种方法叫做“ 换元法”,表达了转化的数学思想请你依据以上的阅读,解以下方程：（1）x4x260
22、；1 100的一个解与方程x13的解相同（2）1x1 21x22例 18 已知关于 x 的方程x2kx2x1（1）求 k 的值；（2）求方程x2kx20的另一个解x24xy6y24x4y确定 m 的最小值例 19（新思维）如x、y 是实数,且m细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 20（新思维） 已知 x、y、z 为实数, 且满意学习资料2欢迎下载,就x2y2z2的最小值为 _x2yz6xyx
23、3课后练习一、填空：1. 一元二次方程的一般形式是 _ ；2. 一元二次方程 3 x 2 5 x 6 的一般形式是 _ , a=_,b=_,c=_；23. 关于 x 的方程 m 1 x 2 mx 3 0 是一元二次方程,就 m 的取值范畴是 _；2 24. 关于 x 的方程 m 4 x m 2 x m 0 是一元二次方程时,m 的取值范畴是 _,是一元一次方程时,m 的取值范畴是 _；二、 以下方程中,是一元二次方程的为（）A x 2+3x=0 B2x+y=3 C Dx（ x 2+2） =0 三、用两种方法解以下方程：1. 0 5 . x2102. 3 5x21506. 3 x23. 3 1x
24、x2144. x25 x605. x2x7224细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7. x22 2x228. x2学习资料57欢迎下载03 x049.32x1 010. x1 2x3 11x2|x|10;2x22x2x22x20 ;四、解关于x 的方程：m1x22m1xm30五、解关于x 的方程：a2x2x1a x21a21x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -
25、- - - - - 第 13 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -六、（新思维）ABC 中,三边BCa ,ACx学习资料欢迎下载a4b41c4a2c2b2c2,试判b,ABc,且满意2定 ABC 的外形x、y 为实数,求代数式524y28xy2x4的最小值七、（新思维）设板块二 一元二次方程根的判别式 夯实基础例 1 不解方程,判定以下方程是否有实根,如有,指出相等仍是不等；（1） 8 y 2 y 5 252（2）2 x 6 x 1（3） a21 x22 axa240 （x 是未知数）细心整
26、理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习资料欢迎下载20）例 2 假如关于 x 的一元二次方程2 kx6x90有两个不相等的实数根,那么k 的取值范畴是（Ak1Bk0Ck1 且k0Dk1的根的例 3 已知 a , b , c 为正数,如二次方程ax2bxc0有两个实数根,那么方程2 a x22 b xc情形是（）A 有两个不相等的正实数根B有两个异号的实数根C有两个不相等的负实数根D不肯定有实数根例
27、4 如关于 x 的方程 kx26x90有两个不相等的实数根,求k 的取值范畴；例 5 求证：当 a 和 c 的符号相反时,一元二次方程ax2bxc0 肯定有两个不等实根；例 6 已知 a 、 b 、 c 是ABC 的三边的长,且方程x22 bc x ab ca0有两个相等的实数根,试判定这个三角形的外形 才能提高例 7 关于 x 的方程a6x28x60有实数根,就整数a 的最大值是4 k0 第 15 页,共 34 页 例 8 m 为给定的有理数,k为何值时,方程x24 1m x3m22m的根为有理数？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - -
28、 - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 9 k 为何值时,方程k1x222k3 xm学习资料欢迎下载m 的非负整数值；k30有实数根例 10 已知关于 x 的方程 mx22 1 xm10在以下情形下,分别求（1）方程只有一个实数根（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有两个不相等的实数根例 11（新思维）已知一元二次方程x24 k2x4k20有两个不相等的实数根就k 的最大整数值为_例12 （新思维）假如始终角三角形的三边长分别为a、 b、 c, B=90 ,那么,关于x 的方程ax21 2cxbx21 0的根的情
29、形是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定 培优训练例 13（新思维）已知关于x 的方程x2k2x2k0ABC 的周长 第 16 页,共 34 页 （1）求证：无论k 取任何实数值,方程总有实数根；b、 c 恰好是这个方程的两个根,求（2）如等腰三角形ABC 的一边长 a=1,另两边长细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 14（新思维）已知函数y2和y学习资料欢迎下载kx1k0x（1）如这两
30、个函数的图象都经过点（1,a）,求 a 和 k 的值；（2）当 k 取何值时,这两个函数的图象总有公共点？例 15（新思维）如x0是一元二次方程ax2bxc0 a0的根,就判别式b24ac与平方式M2ax0b2的大小关系是（）MD不能确定中2x0得ax02+bx 0=-c,BMCAM解：把x 0代入方程ax2+bx+c=0（2ax0+b（2=4a,）2+4abx0+b2（2ax0+b）2=4aax02+bx0）+b2=-4ac+b2=,M= 应选 B例 16（新思维）关于x 的方程|x x2a仅有两个不同的实根,就实数a 的取值范畴是（）1|Aa0Ba4C2a4D0a4 课后练习1、一元二次方程x22x1x0的根的情形为（）m 的取值范畴是（）有两个相等的实数根q有两个不相等的实数根只有一个实数根没有实数根.22xm0没有实数根,就实数2、如关于 z 的一元二次方程A m-1 Cml Dm0且 q 0Bp 0且 q 0Cp 0Dp 0且 q 04、不解方程,判定以下各方程根的情形（1）. x210（2）. 4 x24x10（3）. 2x27x30 第 17 页,共 34