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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程根的分布情况设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根
2、在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，
3、求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：由即得出；由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或根的分布练习题例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。解：由 即 ，从而得即为所求的范围。例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。解：由 或即为所求的范围。例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。解：由 即 即为所求的范围。例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。（
4、注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）1二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a0)，判别式=b2-4ac，当0时y=f(x)与x轴有二交点；当=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当0时，y=f(x)与x轴无交点当0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1x2一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根观察图象不难知道图像为观察图象不难知道=0，a0, =0，a0当0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观察图象不难知道a0时,绝对不等式f(x)0解为xRa0时,绝对不等式f
5、(x)0解为xR2讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象在进行转化时，应保证这种转化的等价性就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法设f（x）=ax2bxc（a0），方程ax2bxx=0的个根为，（），m，n为常数，且nm，方程根的分布无外乎两种情况：，同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑三、好题解给你(1) (1) 预习题1. 设有一元二次函数y2x2-8x+1试问，当x3，4时，随x变大，y的值变大还是变小？由此yf(x)在3，4上的最大值与最小
6、值分别是什么？解：经配方有y2(x-2)2-7对称轴x2，区间3，4在对称轴右边，yf(x)在3，4上随x变大，y的值也变大，因此ymax=f(4)1yminf(3)-52.设有一元二次函数y2x2-4ax+2a2+3试问，此函数对称轴是什么？当x3，4时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？由此，求yf(x)在3，4上的最大值与最小值解：经配方有y2(x-a)2+3对称轴为x=a当a3时，因为区间3，4在对称轴的右边，因此，当x3，4时，随x变大，y的值也变大当3a4时，对称轴x=a在区间3，4内，此时，若3xa，随x变大，y的值变小，但若ax4，随x变大，y的值变大当4a时，
7、因为区间3，4在对称轴的左边，因此，当x3，4时，随x变大，y的值反而变小根据上述分析，可知当a3时，ymax=f(4)=2a2-16a+35ymin=f(3)2a2-12a+21当3a4时，yminf(a)3其中，a3.5时，ymaxf(4)2a2-16a+35a3.5时，ymaxf(3)2a2-12a+21当a4时，ymaxf(3)2a2-12a+21yminf(4)2a2-16a+35(2) (2) 基础题例1设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)0试问：(1)m为何值时，有一正根、一负根(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1(3)m为何值时，有两正根(4)m为何值时，有
8、两负根(5)m为何值时，仅有一根在1，4内？解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x20，依违达定理有m+20 m-2反思回顾：x1、x20条件下，ac0，因此能保证0(2)设x11，x21，则x1-10，x2-10只要求(x1-1)(x2-1)0，即x1x2-(x1+x2)+10依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+10(3)若x10，x20，则x1+x20且x1，x20,故应满足条件依韦达定理有(5)由图象不难知道，方程f(x)0在3，4内仅有一实根条件为f(3)f(4)0，即9+6(m-1)+(m+2)16+8(m-1)+(m+2)0(7m+1)(9m+10)0例2. 当m为
9、何值时，方程 有两个负数根？解：负数根首先是实数根， ，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正由以上分析，有即 当 时，原方程有两个负数根(3) (3) 应用题例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x5-m=0的两个实根都大于2？解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2所以当-5m-4时，方程的两个实根大于2例2已知关于x方程：x2-2axa0有两个实根，且满足01，2，求实根a的取值范围解：设f（x）=x2-2axa，则方程f（x）=0的两个根，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图01，2的条件
10、是：1，2例3m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.解：设f（x）=x2（m-2）x5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）0，即42（m-2）5-m0解得m-5所以当m-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2(4) (4) 提高题例1已知函数 的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围解：（1）当 ，则所给函数为二次函数，图象满足： ，即 解得： （2）当 时， 若 ，则 的图象不可能都在x轴上方， 若 ，则y=3的图象都在x轴上方由（1）（2）得： 反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨
11、论 例2已知关于x的方程（m-1）x2-2mxm2+m-6=0有两个实根，且满足01，求实数m的取值范围解：设f(x)=x2-2mx+m2m-6，则方程f（x）=0的两个根，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标如图，01的条件是解得例3已知关于x的方程3x2-5xa=0的有两个实根，满足条件（-2，0），（1，3），求实数a的取值范围解：设f（x）=3x2-5xa，由图象特征可知方程f（x）=0的两根，并且（-2，0），（1，3）的解得-12a0四、课后演武场1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）A B C D 2.方程 x2+(m2-1)
12、x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）A0m2B-3m1C-2m0D-1m13.已知方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）A B C D 4已知关于x的方程3x2+（m-5）x7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）0）5已知关于x的方程x22mx2m3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的
13、分布情况：即图象最大、最小值对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。解：对称轴，故函数在区间上单调。（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；（2）当时，函数在区间上是减函数，故 例2、求函数
14、的最小值。解：对称轴（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当时，； （2）当时，。 2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当时，；（2）当时， ，；（3）当时，；（4）当时， ，。 例3、求函数在区间上的最小值。解：对称轴（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，例4、讨论函数的最小值。解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，当，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当时，； （2）当时，； （3）当时，二次函数根的分布二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在
15、初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程（）的两个实根为，且。【定理1】例1若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。【定理2】【定理3】例3 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？【定理4】 1)，且
16、；2)，且。例4若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？二一元二次方程的非零分布分布设一元二次方程（）的两实根为，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。【定理1】【定理2】【定理3】【定理4】有且仅有（或）【定理5】或此定理可直接由定理4推出，请自证。【定理6】，则或1.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围2.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围3.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围4.若关于x的方程kx2-(2
17、k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k的取值范围5.已知集合A=x|x2+(2-a)x+1=0，若AR+，求a的取值范围6.已知A=x| x2+2x+2-p=0，且AR+=，求p的取值范围7. 已知x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在1,3外，求m范围8.若方程2ax2 -x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a的范围9.方程ax2 -2(a+1)x+a-1=0，是否存在实数a使它的两根都大于110.若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的范围11. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m的取值范围