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1、二次函数的图像和最值二次函数的图像和最值画出下列函数的图象画出下列函数的图象, 并并(1) y=x2(2) y=x2+1(3) y=x21说明它们的关系说明它们的关系:基础练习基础练习y=x21 作函数的图象的常用方作函数的图象的常用方法法描点作图法描点作图法;变换作图法变换作图法.y=x2y=x2+1y=x2y=x2+1y=x21函数函数y=f(x)+k与函数与函数y=f(x)图象间的关系图象间的关系:当当k0 时时,把函数把函数y=f(x)的的图象向上图象向上 平移平移k 个单位个单位即得函数即得函数 y=f(x)+k 的图象的图象.(k0)(向下向下)(k)简称简称: 上上+下下画出下列
2、函数的图象画出下列函数的图象, 并并说明它们的关系说明它们的关系:(1) y=x2(2) y=(x+2)2(3) y=(x2)2基础练习基础练习y=x2y=x2y=(x+2)2y=x2y=(x+2)2y=(x2)2函数函数y=f(x+m)与函数与函数y=f(x)图象间的关系图象间的关系:当当m0 时时,把函数把函数y=f(x)的的图象向左图象向左 平移平移m 个单位个单位即得函数即得函数 y=f(x+m) 的图象的图象.(m0)(向右向右)(m)简称简称: 左左+右右画出画出函数函数y=(x+3)22的图象的图象.课堂练习课堂练习y=x2y=x2y=(x+3)2y=x2y=(x+3)2y=(x
3、+3)22画出下列函数的图象画出下列函数的图象, 并并基础练习基础练习说明它们的关系说明它们的关系:(1) y=3x+4(2) y=3x+4y=3x+4y=3x+4y=3x+4函数函数y=f(x)与函数与函数y=f(x)图象间的关系图象间的关系:函数函数y=f(x)的图象与函数的图象与函数y=f(x)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称.画出下列函数的图象画出下列函数的图象, 并并基础练习基础练习说明它们的关系说明它们的关系:(1) y=x2x(2) y=2xxy=x2xy=x2x ( x0或或x1)y=2xx函数函数y= 与函数与函数y=f(x)图象间的关系图象间的关系:( )f x保留函数保
4、留函数y=f(x)在在x轴的上方的轴的上方的图象图象,把它在把它在x轴的下方的图象沿轴的下方的图象沿x轴翻折轴翻折,即得到即得到y= 的图象的图象. ( )f x变换作图法变换作图法平移变换平移变换对称变换对称变换画出下列函数的图象画出下列函数的图象:(1) y=x2+2 +1(2) y=x22xx2 二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题求给定区间求给定区间xmxm，nn的二次函数的二次函数 y=f(xy=f(x)=ax)=ax2 2+bx+c +bx+c （a0a0）最值步骤）最值步骤 （1 1）配方。）配方。 （2 2）画图象。）画图象。 （3 3）根据图象确定函数最值
5、。）根据图象确定函数最值。（看所给区间内的最高点和最低点）（看所给区间内的最高点和最低点）练习：已知函数练习：已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21 （4 4）若）若x x ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 练习：练习：已知函数已知函数f(x)= x22x 3.（1）若）若x 2，0 , 求函数求函数f(
6、x)的最值；的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1由图知，由图知，y=f(x)在在 2，0 上为减函数上为减函数 故故x=-2时有最大值时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值时有最小值f(0)=-3例例1、已知函数、已知函数f(x)= x2 2x 3.（1）若）若x 2，0 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；（2）若）若x 2，4 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1由图知，由图知，y=f(x)在在 2，4 上为增函数上为增
7、函数 故故x=4时有最大值时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值时有最小值f(2)=-3例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； （3）若）若x ,求函数求函数f(x)的最值；的最值；25,21解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1,由图知，由图知，x= 时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-45253( )
8、124f 例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21 （4 4）若）若x x ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1,由图知，由图知，x= 时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=
9、-41213()124f 例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 325,2123,21 （4 4）xx （1）x2，0（2）x 2，4 （3）x 思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间m，n上的最值通常在哪里取到？上的最值通常在哪里取到？总结总结：求二次函数：求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上上 上的最值或值域的一般方法是：上的最值或值域的一般方法是： （2 2）当）当x x0 0mm，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0） 中的较大者
10、是最大值中的较大者是最大值, ,较小者是最小值；较小者是最小值； （1）检查）检查x0= 是否属于是否属于 m，n；ab2（3 3）当）当x x0 0 m m，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)中的较大中的较大 者是最大值，较小者是最小值者是最大值，较小者是最小值. .例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxO1xy-1例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xx-11Oxy例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xx-11Oxy例例2：若：若x
11、，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1当当 即即a 2时时12 ay的最小值为的最小值为f(-1)=4-a解：例例3：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1(2)当当 即即-2 a2时时2a y的最小值为的最小值为f( )=432a 121 a例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1(3)当当 即即a-2时时12 ay的最小值为的最小值为f(1)=4+a函数在函数在-1,1上是减函数上是减函数例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2
12、+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1Oxy1-1Oxy1-1当当a-2时时f(x)min=f(1)=4+a当当-2a2时时2min324aaff当当a2时时f(x)min=f(-1)=4-a例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1Oxy1-1Oxy1-1评注评注：例例2 2属于属于“轴动区间定轴动区间定”的问题，看作对的问题，看作对称轴沿称轴沿x x轴移动的过程中轴移动的过程中, ,函数最值的变化函数最值的变化, ,即对即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况变化情况, ,要注意开口方向及端点情况。要注意开口方向及端点情况。已知已知y=x2+ax+3 ，x1,1， 求求y的最大值的最大值 xO1-1y练一练练一练 1.闭区间上的二次函数的最值问题求 法 2. 含参数的二次函数最值问题： 轴动区间定 轴定区间动核心 ： 区间与对称轴的相对位置注意数形结合和分类讨论注意数形结合和分类讨论