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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情形bxc0,设方程ax 2bxc0a0的不等两根为x x 且x 1x ,相应的二次函数为fxax 2方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情形见下面各表（每种情形对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情形）分 布 情 况0两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0,x 10,x 20x 10,x 20一个大于 0x 10x 2大 致 图 象（a）得000f00出 的 结 论b0
2、b 2 a02af00f00大 致 图象（a）得 出00f00b0b 2 a0的 结 论2af00f00名师归纳总结 综 合 结 论（不 讨b000ab000af00第 1 页,共 17 页2a2 aa f0f0论 a）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载表二：（两根与 k 的大小比较）a分 布 情 况0两根都小于k即k两根都大于k即一个根小于 k ,一个大于k即x 1k,x2kx1k,x 2kx 1kx2大0kk致 图 象（）0得 出 的 结bkb 2 akfk02a论fk0fk0a大 致 图 象0（）得 出 的 结 论fb0kfb0
3、kfk02a2 ak0k0名师归纳总结 综 合 结 论（不 讨 论 ab0k0b0k0afk0第 2 页,共 17 页2a2 aa fka fk）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载表三：（根在区间上的分布）a分 布 情 况0两根都在0m,n内两根有且仅有一根在m,n内一根在m,n内,另一根在p,q内,mpqn（图象有两种情形,只画了一种）大 致 图 象fm0（）a得 出0mfm0nfmfn0fn0或fmfn0fn0fp0fpfq0的 结 论bfq0大 致 图 象（2a）得 出 的 结mf00nfmfn0fm0或fmfn0mfn0fn0
4、fp0fpfq0b论fq02a综mfnn0x 1fmfn0合 结 论（不 讨 论 afm,外,即在区间两侧fpfq0）m x 2n ,（图形分别如下）根在区间上的分布仍有一种情形：两根分别在区间需满意的条件是名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）a0时,fm0；学习必备a欢迎下载fm0（ 2）0时,fn0fn0对以上的根的分布表中一些特别情形作说明：（ 1）两根有且仅有一根在 m, n 内有以下特别情形：1 如 f m 0 或 f n 0,就此时 f m f n 0 不成立, 但对于这种情形是知道了方程有一根为
5、 m 或 n ,可以求出另外一根, 然后可以依据另一根在区间 m, n 内,从而可以求出参数的值；如方程 mx 2m 2 x 2 0在区间 1,3 上有一根,由于 f 1 0,所以 mx 2m 2 x 2 x 1 mx 2,另一根为2,由 1 2 3m m得2 m 2 即为所求；32 方程有且只有一根,且这个根在区间 m, n 内,即 0,此时由 0 可以求出参数的值,然后再将参数的 值 带 入 方 程 , 求 出 相 应 的 根 , 检 验 根 是 否 在 给 定 的 区 间 内 , 如 如 不 在 , 舍 去 相 应 的 参 数 ； 如 方 程x24mx2m60有 且 一 根 在 区 间3
6、, 0 内 , 求 m 的 取 值 范 围 ； 分 析 ： 由f3f00 即0得出3mm15 14；由0 即2 16 m4 2 m60得出m31 或 m,当23不满意题意；214 m15m3m1 时,根x323,0,即m3时,根x33,0,故m1 满意题意；当2m15或m综上分析,得出114根的分布练习题例 1、已知二次方程2 m1x22 mxm10有一正根和一负根,求实数m 的取值范畴；解：由2 m1f00即2 m1m10,从而得1m1即为所求的范畴；2例 2、已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根,求实数m 的取值范畴；解：由名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17
7、页精选学习资料 - - - - - - - - - m0学习必备欢迎下载m128 m0m32 2 或m32 210m12 20m0m0f00m32 2或m32 2即为所求的范畴；3与 x 轴有两个交点,一个大于1,一个小于 1,求实例 3、已知二次函数ym22 x2 m4x3 m数 m 的取值范畴；解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2 m 1 0 2 m 1即为所求的范畴；22例 4、已知二次方程 mx 2 m 3 x 4 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数m的取值范畴；解：由题意有方程在区间 0,1上只有一个正根,就 f 0 f 1 0 4 3 m 1 0 m 1即为所3求范畴；
8、（注：此题对于可能显现的特别情形方程有且只有一根且这个根在 0,1 内,由 0运算检验, 均不复合题意,运算量稍大）1二次函数及图象设有一元二次函数 y=ax 2+bx+ca 0 ,判别式 =b 2-4ac ,当 0 时 y=fx 与 x 轴有二交点；当 =0 时,y=fx 与 x 轴仅有一交点；当 0 时, y=fx 与 x 轴无交点当 0 时,设 y=fx 图象与 x 轴两交点为 x1x2一元二次函数 y=fx 与 x 轴交点 x1,x2就是相应一元二次方程 fx=0 的两根观看图象不难知道图像为名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - -
9、- - - - - 观看图象不难知道=0,a0 学习必备欢迎下载, =0,a0 当 0 时, y=fx 图象与 x 轴无公共点,其图象为观看图象不难知道a0 时, 肯定不等式 fx0 解为 xRa0 时, 肯定不等式 fx0 解为 xR2争论一元二次方程的根的分布情形时,往往归结为不等式（组）的求解问题,其方法有 3 种：（ 1）应用求根公式；（ 2）应用根与系数关系；（ 3）应用二次函数图象在进行转化时,应保证这种转化的等价性就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法设 f （ x）=ax2bxc（a0）,方程 ax2bxx=0 的个根为 , （ ）, m,n 为常数,且
10、n m,方程根的分布无外乎两种情形： , 同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,仍要考虑名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、好题解给你1 1预习题y2x2-8x+1 试问,1. 设有一元二次函数当 x3 ,4 时,随 x 变大, y 的值变大仍是变小？由此 yfx 在3 ,4 上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有 y2x-2 2-7 对称轴 x 2,区间 3 ,4 在对称轴右边,yfx 在3 , 4 上随 x 变大, y 的值也变大,因此 y max=f4 1y min f3 -5 2
11、. 设有一元二次函数 y2x 2-4ax+2a 2+3试问,此函数对称轴是什么？当 x3 ,4 时,随 x 变大, y 的值是变大仍是变小？与 a 取值有何关系？由此,求 y fx 在3 ,4 上的最大值与最小值解：经配方有y2x-a2+3对称轴为 x=a当 a3 时,由于区间 3 ,4 在对称轴的右边,因此,当x3 ,4 时,随 x 变大, y 的值也变大当 3a4 时,对称轴x=a 在区间 3 ,4 内,此时,如3xa,随 x 变大, y 的值变小,但如ax4,随 x 变大, y 的值变大当 4a 时,由于区间 3 ,4 在对称轴的左边,因此,当依据上述分析,可知x3 ,4 时,随 x 变
12、大, y 的值反而变小当 a3 时, y max=f4=2a2-16a+35 ymin=f3 2a2-12a+21 当 3a4 时, y minfa 3其中, a3.5 时, ymaxf4 2a 2-16a+35 a3.5 时, ymaxf3 2a 2-12a+21 当 a4 时, y maxf3 2a 2-12a+21 y min f4 2a 2-16a+35 2 2 基础题例 1设有一元二次方程 x 2+2m-1x+m+2 0试问：1m 为何值时,有一正根、一负根2m 为何值时,有一根大于1、另一根小于13m 为何值时,有两正根4m 为何值时,有两负根名师归纳总结 5m 为何值时,仅有一根
13、在1 ,4 内？m+20第 7 页,共 17 页解： 1 设方程一正根x 2,一负根 x 1,明显 x1、 x20,依违达定理有 m -2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载反思回忆： x1、x20 条件下, ac 0,因此能保证 02 设 x1 1,x21,就 x1-1 0,x2-1 0 只要求 x1-1x 2-1 0,即 x 1x 2-x 1+x2+1 0依韦达定理有m+2+2m-1+1 03 如 x 10,x20,就 x 1+x2 0 且 x1,x20, 故应满意条件依韦达定理有5 由图象不难知道,方程fx0 在3 , 4 内仅
14、有一实根条件为f3f4 0,即9+6m-1+m+216+8m-1+m+207m+19m+10 0例 2. 当 m为何值时,方程 有两个负数根？解：负数根第一是实数根,由根与系数关系：要使方程两实数根为负数,必需且只需两根之和为负,两根之积为正由以上分析,有名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载即当 时,原方程有两个负数根3 3 应用题例 1. m 取何实数值时,关于 x 的方程 x 2+（m-2）x5-m=0 的两个实根都大于 2？解：设 f （x）=x 2+（m-2）x+5-m,如图原方程两个实根都
15、大于 2 所以当 -5 m-4 时,方程的两个实根大于 2例 2已知关于 x 方程： x 2-2ax a0 有两个实根 , ,且满意 0 1, 2,求实根 a 的取值范畴解：设 f （x）=x 2-2ax a,就方程 f （x）=0 的两个根 , 就是抛物线 y=f （x）与 x 轴的两个交点的横坐标,如图 0 1, 2 的条件是： 1, 2f （2）例 3m为何实数时,关于x 的方程 x2+（m-2）x 5-m=0 的一个实根大于2,另一个实根小于2. 解：设 f （x）=x 2（ m-2）x 5-m,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2 的充要条件是 0,即 42（m-2） 5-m
16、0解得 m-5 所以当 m-5 时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于24 4提高题例 1已知函数的图象都在x 轴上方,求实数k 的取值范畴第 9 页,共 17 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：（1）当,就所给函数为二次函数,图象满意：,即解得：（ 2）当时,x 轴上方,如,就的图象不行能都在如,就 y=3 的图象都在x 轴上方由（ 1）（2）得：反思回忆： 此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情形争论例 2已知关于 x 的方程（ m-1） x 2-2mxm 2+m-6=0 有两个实根 , ,且满意 0 1
17、 ,求实数 m的取 值范畴解：设 fx=x2-2mx+m 2m-6,就方程 f （ x）=0 的两个根 , ,就是抛物线y=f （x）与 x 轴的两个交点的横坐标如图, 0 1 的条件是解得例 3已知关于x 的方程 3x2-5x a=0 的有两个实根 , ,满意条件 （ -2 ,0）, （ 1,3）,求实数 a 的取值范畴解：设 f （x）=3x2-5x a,由图象特点可知方程f （x）=0 的两根 , ,并且 （ -2 ,0）, （ 1,3）的解得 -12 a0四、课后演武场1. 已知方程 m-1x2+3x-1=0 的两根都是正数,就m的取值范畴是（ B ）第 10 页,共 17 页ABCD
18、名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 C ）2. 方程 x 2+m 2-1 x+ m-2=0 的一个根比1 大,另一个根比-1 小,就 m的取值范畴是（A0m 2 B-3 m1 C-2 m0 D-1 m1 ）3. 已知方程有两个不相等的实数根,就k 的取值范畴是（ C ABCD4已知关于 x 的方程 3x 2+（m-5） x7=0 的一个根大于 4,而另一个根小于 4,求实数 m的取值范畴可知方程 f （ x）=0 的一根大于 4,另一根小于 4 的充要条件是：f （4） 0）5已知关于x 的方程 x22mx2m3=0 的两
19、个不等实根都在区间（0,2）内,求实数m的取值范畴征可知方程f （x）=0 的两根都在（ 0, 2）内的充要条件是2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨设fxax2bxc0a0, 就二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值有如下的分布情形：mnbbm ,nbmnmbn即2a2a2 a2a图象名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 最 大、最 小 值fxmaxfmf学习必备欢迎下载n,fmfxmaxfnxmaxmaxffxminfnfxminfb 2 afxminfm对于开口向下的情形,争论类似；其实无论开口向
20、上仍是向下,都只有以下两种结论：（ 1）如bm ,n,就fxmaxmaxfm,fb,fn,fxminminfm,fb,fn；2 a2 a2 a（ 2）如bm ,n,就fxmaxmaxfm,fn,fxminminfm,fn2 a另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴 越远,就对应的函数值越大；反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴 轴越远,就对应的函数值越小；二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值,争论的情形无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间,以下三 个例题各代表一种情形；例 1、函数fx2 ax2 ax2b a0在 2,3 上有最大值5
21、和最小值 2,求a b 的值；5a1 0；xmaxf3解：对称轴x 012,3,故函数fx 在区间2,3 上单调；3 ab2（ 1）当a0时,函数 fx 在区间 2,3 上是增函数,故ffxminf22b2b（ 2）当a0时,函数 fx 在区间 2,3 上是减函数,故fxmaxf2b252a1fxminf33 ab2b3例 2、求函数fxx22 ax1,x1,3的最小值；解：对称轴x0a（ 1）当a1时,y minf122 a ；（ 2）当 1a3时,y minfa12 a ；（ 3）当a3时,y minf3106 a改： 1此题如修改为求函数的最大值,过程又如何？解：（1）当a2时,fxma
22、xf31026 a ；（2）当a2时,fxmaxf12a ；2此题如修改为求函数的最值,争论又该怎样进行？名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：（1）当 a 1 时,f x max f 3 10 6 a ,f x min f 1 2 2 a ；（2）当 1 a 2 时,f x max f 3 10 6 a ,f x min f a 1 a ；2（3）当 2 a 3 时,f x max f 1 2 2 a ,f x min f a 1 a ；2（4）当 a 3 时,f x max f 1 2 2
23、a ,f x min f 3 10 6 a ；2例 3、求函数 y x 4 x 3 在区间 t t 1 上的最小值；解：对称轴 x 0 2（ 1）当 2 t 即 t 2 时,y min f t t 2 4 t 3；（ 2）当 t 2 t 1 即 1 t 2 时,y min f 2 1；（ 3）当 2 t 1 即 t 1 时,y min f t 1 t 22 t2例 4、争论函数 f x x x a 1 的最小值；解：f x x 2x a 1 xx 22 xx aa 1,1, xx aa,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为直线 x 1,x 1,当 a 1,1 a 1,a 1时原
24、函数的图象分别如下（1）,（2）,（3）2 2 2 2 2 2因此,（1）当 a 1时,f x min f 1 3a；2 2 4（2）当a11a1 2时,fxmin1f aa2 a1；2（3）当时,fxminf3224二次函数根的分布二次函数根的分布是二次函数中的重要内容；这部分学问在中学代数中虽有所涉名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载及,但尚不够系统和完整, 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理） 的运用； 下面我们将主要结合二次函数图象的性质,分两种情形系统地介绍
25、二次函数根的分布的充要条件及其运用；一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系；比如二次方程有一正根, 有一负根, 其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小, 或者说,这两个根分布在零的两侧；设一元二次方程 ax 2bx c 0（a 0）的两个实根为 1x,x ,且 x 1 x 2；2b 4 ac 0【定理 1】x 1 0 , x 2 0,就 x 1 x 2 b 0acx 1 x 2 0a2例 1 如一元二次方程 m 1 x 2 m 1 x m 0 有两个正根,求 m的取值范畴；2b 4 ac 0【定理 2】x 1 0 , x 2 0,就
26、x 1 x 2 b0acx 1 x 2 0a【定理 3】x 1 0 x 2,就 c0a例 3 k 在何范畴内取值,一元二次方程 kx 2 3 kx k 3 0 有一个正根和一个负根？【定理 4】 1 1x 0,x 2 0 c 0 且 b0；a2 1x 0,2x 0 c 0 且 b0；a2例 4 如一元二次方程 kx 2 k 1 x k 3 0 有一根为零,就另一根是正根仍是负根？二一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程 ax 2bx c 0（a 0）的两实根为 x ,x ,且 x 1 x 2；k 为常数；就一元二次方程根的 k 分布（即 1x ,x 相对于 k的位置）有以下如干定理；2b
27、4 ac 0【定理 1】k x 1 x 2,就 af k 0bk2 a名师归纳总结 第 14 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备f欢迎下载k200第 15 页,共 17 页fk0ya0yxbk 1f2akx 1Ox2xk1xOx 2xxbfk0a02 ab24 ac0【定理 2】x 1x2k,就afk0a0yfk0bkb2 ayx2ax 1Ox2kx1xOx2kxxba0fk02 a【定理 3】yx 1kx2afk0ya0fk0x 1Okx2x1xOkx 2xf k 0a0【定理 4】有且仅有 y a 0k 1yx 1（或x ）
28、k2fk 10fk 100a0Ok 1x 1k2x2xO1xk 1x 2k2xfk20a0fk20a0【定理 5】k 1x 1k 2p 1x2p 2fk 1fk 1fk20或fk20fp 10fp 10fp20fp20此定理可直接由定理4 推出,请自证；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 2b 4 ac 0 b 4 ac 0a 0 a 0【定理 6】k 1 x 1 x 2 k 2,就 f k 1 0 或 f k 1 0f k 2 0 f k 2 0b bk 1 k 2 k 1 k 22 a 2 ay a 0 y x b
29、f k 1 0 f k 2 0 2 ax 1 x 2 k 1 k 2O k 1 k 2 x O 1x x 2 xf k 1 0b f k 2 0x2 a a 01.方程 x 2+2px+1=0 有一个根大于 1,一个根小于 1,求 p 的取值范畴2.如关于 x 的方程 x2+k-2x+2k-1=0 的两实根中,一根在0 和 1 之间,另一根在1 和2 之间,求实数 k 的取值范畴3.方程 mx2+2m+1x+m+3=0 仅有一个负根,求m 的取值范畴k 的取值范畴第 16 页,共 17 页4.如关于 x 的方程 kx2-2k+1x-3=0在-1,1和1,3内各有一个实根,求5.已知集合 A=x
30、|x2+2- ax+1=0 ,如 AR+,求 a 的取值范畴6.已知 A=x| x2+2x+2- p=0 ,且 AR+= ,求 p 的取值范畴7. 已知 x 2+2m+3x+2m+14=0 有两实根,且都在 1,3外,求 m 范畴8.如方程 2ax2 -x- 1=0 在0,1内恰好有一个实根,求a 的范畴9.方程 ax 2 -2a+1x+a- 1=0,是否存在实数a 使它的两根都大于1 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10.如二次函数 y=- x 2+mx- 1 的图像与两端点为交点,求 m 的范畴A0,3,B3,0的线段 AB 有两个不同的11. 已知 fx=mx2+m- 3x+1 的图像的零点至少一个在原点右侧,求m 的取值范畴名师归纳总结 第 17 页,共 17 页- - - - - - -