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1、三、数形结合思想三、数形结合思想思想解读思想解读思想解读应用类型数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题;利用数形结合思想解不等式或参数范围;利用数形结合思想解决解析几何问题.总纲目录应用一 利用数形结合思想解决方程的根或函数零 点问题应用二 利用数形结合思想求解不等式或参数范围应用三 利用数形结合思想解决解析几何问题应
2、用一应用一利用数形结合思想解决方程的根或函数零点利用数形结合思想解决方程的根或函数零点 问题问题例1设函数f(x)=|2x-1|,函数g(x)=f(f(x)-loga(x+1)(a0,a1)在0,1上有3个不同的零点,则实数a的取值范围为()A.B.(1,2)C.D.(2,+)答案答案C解析解析因为f(x)=|2x-1|=所以f(f(x)=|2|2x-1|-1|=四个选项中都有a1,分别画出y=f(f(x)与y=loga(x+1)的图象,如图.因为y=loga(x+1)的图象是由y=logax的图象向左平移一个单位得到的,且过点(0,0),当x=1时,y=f(f(1)=1,由loga(1+1)
3、=1得a=2,此时,y=f(f(x)与y=loga(x+1)的图象有4个交点,当x=时,y=f=1,由loga=1得a=,此时,y=f(f(x)与y=loga(x+1)的图象有2个交点,综上所述,a的取值范围为.【技法点评技法点评】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出这两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.跟踪集训跟踪集训1.已知直线(1-m)x+(3m+1)y-4=0所
4、过定点恰好落在函数f(x)=的图象上,若函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.(1,+)答案答案B由(1-m)x+(3m+1)y-4=0得x+y-4-m(x-3y)=0,由可得直线过定点(3,1),loga3=1,a=3.令f(x)-mx+2=0,得f(x)=mx-2,在同一坐标系中作出y1=f(x)与y2=mx-2的图象,易得当m1时满足题意,故选B.2.函数f(x)=3-x+x2-4的零点个数是.答案答案2解析解析求函数f(x)=3-x+x2-4的零点个数,即为求函数g(x)=x2-4与h(x)=-的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,函
5、数g(x),h(x)的图象如图所示,由图可知,h(x)与g(x)的图象有2个交点,故函数f(x)的零点个数为2.应用二应用二利用数形结合思想求解不等式或参数范围利用数形结合思想求解不等式或参数范围例例2设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是.答案答案(-,-3)(0,3)解析解析设F(x)=f(x)g(x),因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.当x0,所以当x0时,F(x)也是增函数,且F(-3)=f(-
6、3)g(-3)=0=-F(3),则F(x)的大致图象如图所示,由图可知F(x)0的解集是(-,-3)(0,3).【技法点评】【技法点评】求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,把两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.跟踪集训跟踪集训1.若不等式|x-2a|x+a-1对xR恒成立,则a的取值范围是.答案答案解析解析作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图.依题意可知2a2-2a,故a.2.若不等式k(x+2)-的解集为区间a,b,且b-a=2,则k=.答案答案解析解析y=k(x+2)-过
7、定点(-2,-),显然当k0,分别作出直线y=k(x+2)-与半圆y=,如图.由题意知直线在半圆的上方,由b-a=2,可知b=3,a=1,所以直线y=k(x+2)-过点(1,2),则k=.应用三应用三利用数形结合思想解决解析几何问题利用数形结合思想解决解析几何问题例例3设双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切,则双曲线C的离心率为()A.B.C.2D.答案答案D解析解析如图所示,设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q,连接OQ,则OQPF2,又PF1PF
8、2,O为F1F2的中点,所以|PF1|=2|OQ|=2a,又|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=4a,在RtF1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|24a2+16a2=20a2=4c2e=.【技法点评】【技法点评】根据几何意义利用数形结合法解决问题需要熟悉常见的代数形式,主要有:比值可考虑直线的斜率;二元一次式可考虑直线的截距;含根式的分式可考虑点到直线的距离;根式可考虑两点间的距离.跟踪集训跟踪集训已知抛物线的方程为x2=8y,F是其焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使APF的周长最小,此时点P的坐标为.答案答案解析解析因为(-2)284,所以点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部,如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQl于点Q,过点A作ABl于点B,连接AQ,则APF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PQ|+|PA|+|AF|AQ|+|AF|AB|+|AF|,当且仅当P,B,A三点共线时,APF的周长取得最小值,即|AB|+|AF|.因为A(-2,4),所以不妨设APF的周长最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y,得y0=,故使APF的周长最小的点P的坐标为.