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1、一、函数与方程思想一、函数与方程思想思想解读思想解读思想解读思想解读应用类型应用类型函数的思想,就是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的数学思想.解决图象交点或方程根的问题;解决最值或范围问题;解决与不等式有关的问题;解决与数列有关的问题;解决与解析几何、立体几何有关的问题.总纲目录应用一 解决图象交点或方程根的问题应用二 解决最值或范围
2、问题应用三 解决与不等式有关的问题应用四 解决与数列有关的问题应用五 解决与解析几何、立体几何有关的问题应用一应用一解决图象交点或方程根的问题解决图象交点或方程根的问题例例1设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意xR,都有f(x+4)=f(x),且当x-2,0时,f(x)=-6.若在区间(-2,6内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是.答案答案(,2)解析解析由f(x+4)=f(x)得函数f(x)的周期为4,若x0,2,则-x-2,0,则f(-x)=-6=3x-6,因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=3x-6=f(x),即f(x)=3
3、x-6,x0,2,设g(x)=loga(x+2),作出函数f(x)、g(x)的图象如图.当a1时,方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根,等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)有3个不同的交点,则满足即解得a0时,f(x)=x3-2x2+3x-1,则f(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),x=3,x=1是函数f(x)的极值点,又f(1)=,f(3)=-1,在(0,+)上f(x)的大致图象如图2所示.图2f(x)的图象与x轴在x(0,+)上有3个交点.综上,函数f(x)的零点个数为5.故选D.应用二应用二解决最值或范围问题解决最值或范围问题例例2已知a,b,c
4、为平面上三个向量,又a,b是两个相互垂直的单位向量,向量c满足|c|=3,ca=2,cb=1,则对于任意实数x,y,|c-xa-yb|的最小值为.答案答案2解析解析由题意可知|a|=|b|=1,ab=0,又|c|=3,ca=2,cb=1,所以|c-xa-yb|2=|c|2+x2|a|2+y2|b|2-2xca-2ycb+2xyab=9+x2+y2-4x-2y=(x-2)2+(y-1)2+4,当且仅当x=2,y=1时,(|c-xa-yb|2)min=4,所以|c-xa-yb|的最小值为2.【技法点评技法点评】求最值或参数范围的技巧(1)充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组
5、)求解.(2)充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后应用函数知识求解.(3)当问题中出现两数积与这两数和时,应构建一元二次方程,再利用方程知识使问题巧妙解决.(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数.跟踪集训跟踪集训(2017湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积为L2,则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是()A.0B.1C.0D.rLcos45=L,所以0.因此g(x)0,故g(x)在上单调递增,则g(x)g=2-,所以a-=2-,解得a=2.所以a的取值集合为2.【技法点评技法点评】解决不等式问题的方法及注意点(1)在解
6、决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化,一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数.跟踪集训跟踪集训1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)答案答案B设g(x)=f(x)-2x-4,则g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,g(x)=f(x)-20,则g(x)为增函数.解g(x)0,即g(x)g(-1),得x
7、-1,选B.2.若0 x1x2lnx2-lnx1B.-x1D.x2x1答案答案C设f(x)=ex-lnx(0 x1),则f(x)=ex-=,令f(x)=0,得xex-1=0.根据函数y=ex与y=的图象可知两函数图象的交点x0(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确.设g(x)=(0 x1),则g(x)=.又0 x1,g(x)0.函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0 x1x2g(x2),x2x1.故选C.应用四应用四解决与数列有关的问题解决与数列有关的问题例例4已知数列an是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列
8、an的通项公式an;(2)在(1)的条件下,数列an的前n项和为Sn,设bn=+,若对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值.解析解析(1)因为an是正项等差数列,所以d0,由题意知=a2(a4+1),又a1=2,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),所以数列an的通项公式an=2n.(2)易知Sn=n(n+1),则bn=+=+=-+-+-=-=,令f(x)=2x+(x1),则f(x)=2-,当x1时,f(x)0恒成立,所以f(x)在1,+)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=,要使对任意的正整数
9、n,不等式bnk恒成立,则须使k(bn)max=,所以实数k的最小值为.【技法点评】【技法点评】数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型:(1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式组(n2,nN*)求解.(3)数列中前n项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数的单调性或求使an0(an0)成立时最大的n值即可求解.跟踪集训跟踪集训(2017长沙统一模拟考试)已知数列an为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=,设bn的前n项和为Sn.求最小的正整数n,使得
10、Sn.解析解析(1)设等差数列an的公差为d,依题意有解得a1=1,d=2,从而an的通项公式为an=2n-1.(2)因为bn=-,所以Sn=+=1-,令1-,解得n1008,故n=1009.应用五应用五解决与解析几何、立体几何有关的问题解决与解析几何、立体几何有关的问题例例5设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(1)若=6,求k的值;(2)求四边形AEBF面积的最大值.解析解析(1)由题设条件可得,椭圆的方程为+y2=1,直线AB的方程为x+2y-2=0.设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F
11、(x2,kx2),其中x10),即k=时,等号成立.故四边形AEBF面积的最大值为2.【技法点评】【技法点评】解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.跟踪集训跟踪集训1.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为()A.B.C.D.答案答案A原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形的边长为a,长方体的高为h,则0a,0h0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案答案2解析解析如图,不妨令|AB|=3,|BC|=2,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则AB的中点为F1,故|DF1|=,|DF2|=,根据双曲线的定义知2a=1,又2c=2,所以该双曲线的离心率为=2.