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1、二、分类讨论思想二、分类讨论思想思想解读思想解读思想解读应用类型分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略,对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.由概念、法则、公式引起的分类讨论;由运算、性质引起的分类讨论;由参数变化引起的分类讨论;由图形位置或形状引起的分类讨论.总纲目录应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论应用二 由运算、性质引起的分类讨论应用三 由参数变化引起的分类讨论应用四 由图形位置或形状引起的
2、分类讨论应用一应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论由概念、法则、公式引起的分类讨论例例1(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=.答案答案32解析解析设等比数列an的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,q1,由题设可得解得a8=a1q7=27=32.【技法点评技法点评】由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致.如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.跟踪集训跟踪集训1.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.
3、-B.-C.-D.-答案答案A由于f(a)=-3,若a1,则2a-1-2=-3,整理得2a-1=-1,无解;若a1,则-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.综上所述,f(6-a)=-.2.一条直线过点(5,2),且在x轴,y轴上截距相等,则这条直线的方程为.答案答案x+y-7=0或2x-5y=0解析解析设该直线在x轴,y轴上的截距均为a,当a=0时,直线过原点,此时直线方程为y=x,即2x-5y=0;当a0时,设直线方程为+=1,直线过点(5,2),+=1,解得a=7,直线方程为x+y-7=0.应用二应用二由运算、性质引起的分类讨论由运算、性
4、质引起的分类讨论例例2(2017太原模拟试题)已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C所对的边,a=2bcosB,bc.(1)求证:A=2B;(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.解析解析(1)证明:a=2bcosB,且=,sinA=2sinBcosB=sin2B,0A,0B0,02B,A=2B或A+2B=.若A+2B=,则B=C,b=c,这与“bc”矛盾,A+2B,A=2B.(2)a2+c2=b2+2acsinC,=sinC,由余弦定理得cosB=sinC,0B,0C0且a1,b1,若logab1,则()A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0答案答案Da,b0且a1
5、,b1,当a1,即a-10时,不等式logab1可化为a1,即ba1,(a-1)(a-b)0,(b-1)(b-a)0.当0a1,即a-11可化为a1,即0ba1,(a-1)(a-b)0,(b-1)(b-a)0.综上可知,选D.应用三应用三由参数变化引起的分类讨论由参数变化引起的分类讨论例例3(2017浙江,17,5分)已知aR,函数f(x)=+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是.答案答案解析解析设g(x)=x+-a,x1,4,g(x)=1-=,易知g(x)在1,2上为减函数,在2,4上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.(1)当a4时,|g(x)|max=5-a
6、,f(x)max=|g(x)|max+a=5.a4符合题意.(2)当4a5时,|g(x)|max=maxa-4,5-a=当a5时,f(x)max=a-4+a=5a=(舍去),当4a时,f(x)max=5-a+a=5,45时,|g(x)|max=a-4,f(x)max=a-4+a=5a=(舍去).综上,实数a的取值范围为.【技法点评技法点评】若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏.跟踪集训跟踪集训(2017课标全国,21改编)
7、已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.讨论f(x)的单调性.解析解析函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=lna.当x(-,lna)时,f(x)0.故f(x)在(-,lna)单调递减,在(lna,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln.当x时,f(x)0.故f(x)在单调递减,在单调递增.应用四应用四由图形位置或形状引起的分类讨论由图形位置或形状引起的分类讨论例例4设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则
8、m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,9,+)C.(0,14,+)D.(0,4,+)答案答案A解析解析当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-,0),B(,0),M(0,1).图(1)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,),B(0,-),M(,0).图(2)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即3,即m9.综上,m(0,19,+),故选A.【技法点评】【技法点评】求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论;相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.跟踪集训跟踪集训1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为()A.B.4C.D.4或答案答案D当正三棱柱的高为4时,体积V=24=4;当正三棱柱的高为6时,体积V=6=.2.已知变量x,y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k=()A.-B.C.0D.-或0答案答案D作出不等式组表示的平面区域,易知当直线y=kx+1与直线x=0或y=2x垂直时平面区域是直角三角形区域.k=0或-.故选D.