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1、专题二专题二 数形结合的思想方法数形结合的思想方法数学第二轮专题复习第一部分数学第二轮专题复习第一部分考题剖析考题剖析 规律总结规律总结 知识概要知识概要 030523数形结合的思想方法数形结合的思想方法 1.1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合. 2.实现数形结合，常与以下内容有关：
2、实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x2)2+(y1)2=4知识概要知识概要数形结合的思想方法数形结合的思想方法 3.3.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”. 4.4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大
3、简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维、视野.知识概要知识概要数形结合的思想方法数形结合的思想方法考考 题题 剖剖 析析1.设命题甲：0 x3，命题乙：|x1|4，则甲是乙成立的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法 解析解法1：由命题乙|x1|4可得：3x5 ,所以命题甲是命题乙的充分不必要条件. 解法2：将两个命题用数轴表示，如图：从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件.所以选A. 点评 对于处理集合的问题，可以用
4、数形结合的方法，如果是含字母参数的，可以画韦恩图；如果是具体的数集，则可以画数轴，都可以使用集合间的关系直观化.2.2.已知函数y=f(x)(0 x1)的图象如右图，若0 x1x20)的 解集为x|mxn，且|mn|=2a，则a的值为（ ） A.1 B.2 C.3D.4ax 解析 画出y= , y=x的图象，依题意，m=a，n=a，从而 =a a=0或2.故选B.axaa 点评本题很好地体现了数形结合的优越性，如果单纯地从数的观点来解题的话，得出m=a与n=a也是有一定的难度的，但从形的角度出发，可以很直观地看出，这也就说明了解小题时，一定要重视这种思想的应用.考题剖析考题剖析数形结合的思想方
5、法数形结合的思想方法5 .5 . 甲 、 乙 两 人 相 约 7 : 0 0 8 : 0 0 在 某 地 会 面 ， 假 定 每 人 在 这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟后便离去，则两人能会面的概率为 . 解析在平面上建立直角坐标系，直线x=60，直线y=60,x轴，y轴围成一个正方形区域G.设甲7时x分到达会面地点，乙7时y分到达会面地点，这个结果与平面上的点（x,y）对应.于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应.考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法 由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，甲乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地
6、点的时间相差不超过20分钟，即 yx20，x20yx+20, 因此，图中的阴影区域g就表示“甲乙能会面”.容易求得g的面积为6024022000，G的面积为3600，由几何概型的概率计算公式，“甲乙能会面”的概率 P(甲乙能会面)g的面积/G的面积 . 点评 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.95考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法6.设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间0,1上的图象为如右图所示的线段AB，则在区间1,2上，f(x)= . 解析 解法1：题目已给出f(x)在区间0,1的图象，可运用数形结合与对
7、称的思想方法. 由y=f(x)是偶函数，由“形”对称变换到“形”，得函数y=f(x)在区间1,0上的图象，如下图的线段CA. 由y=f(x)是最小正周期为2的函数，再由“形”向右平移到“形”，得到函数y=f(x)在区间1，2上的图象，如右图所示的线段BD. 考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法由“形”到“数”，函数y=f(x)在区间1,2上的图象是经过B(1,1)，D(2,2)的直线，由待定系数法，求得f(x)=x(x1,2).考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法 解法2：也可以由“形”到“数”，用待定系数法求得，当x0,1时，f(x)=x+2；由偶函数，当x1
8、,0时，f(x)=f(x)=(x)+2=x+2(0 x1)，由最小正周期为2，得当x1,2时，f(x)=f(x2)=(x2)+2=x. 点评 解法1根据偶函数与周期函数的特征作出在1,2上的图象，再根据图象找出解析式；解法2，先由图形确定在0,1上的解析式，再利用周期性和奇偶性将1，2上的解析式化归到0,1上进行处理.两种解法都恰当利用了“数”与“形”的有机结合.考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法7.函数y= 的最大值为 ，最小值为 .xxcos2sin 解析y= 表示点P(cosx，sinx)与点A(2，0)连线的斜率的取值范围，而点P在单位圆上，如右图，过A作单位圆的切线
9、AB，AC. 易知kAB= ，kAC= 为斜率的最大值和最小值，那么y的最大值为 ，最小值为 .)2(cos0sinxx33333333 点评 对于分式型问题的处理，常可构造斜率模型，利用数形结合的思想方法进行求解.考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法8.解关于x的不等式|x21|0).解析 设分别作出两个函数的图象，由令y1=y2，求出交点横坐标：x1= , x2= ,从图形不难看出当函数y2的图象位于y1的图象的上方时，对应的x值的取值范围即为原不等式的解. x .axyxy221|1|axyxy221|1|242aa242aa242aa242aa考题剖析考题剖析数形结合的
10、思想方法数形结合的思想方法 点评 图象法解不等式与图象法解方程有类似之处，首先求出两函数图象交点的横坐标(即方程的根)，然后根据不等式的方向从图象中判断解的区间.考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法9.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)上，另一根在(1,2)上，求 的取值范围.12ab 分析用二次函数的图象研究根的分布问题，再研究所得不等式和式子的几何意义. 解析由x2+ax+2b=0的二根分别在区间(0,1)与(1,2)上的几何意义为y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两交点的横坐标分别在区间(0,1)，(1,2)内. . 02, 012, 0, 0)
11、2(, 0) 1 (, 0)0(bababfff考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法 在aOb坐标平面内，上面不等式表示的点集为ABC的内部，如图所示. A点由 解得A(3,1);B点由 解得B(2,0)；C点由 解得C(1,0).而 的几何意义是点(a,b)与点D(1,2)连线的斜率. kAD= = ，kCD= =1，由图知kAD kCD， 1. 02, 012baba. 0, 02bba. 0, 012bba12ab311241110212ab4112ab考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法 点评本题是二次方程根的分布、线性规划等的小型综合题，本题解法中两次
12、用到数形结合，一是研究方程根的分布，利用了二次函数的图象，二是在研究 的取值范围 时 ， 根 据 其 几 何 意 义 为 斜 率 ， 累 出 不 等 式 。考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法12ab 10.（2007岳阳质检）已知奇函数f(x)= （1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象； （2）若函数f（x）在区间1，|a|2上单调递增，试确定a的 取值范围.)0()0(0)0(222xmxxxxxx 解析（1）当 x0，f(x)=(x)2+2(x)=x22x，又f（x）为奇函数，f(x)=f(x)=x22x，f（x）x22x，m2 yf（x）的图象
13、如右所示. 考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法 （2）由（1）知 f（x） ，由图象可知，f(x)在1，1上单调递增，要使f(x)在1，|a|2上单调递增，只需 解之得3a1或1a3.)0(2)0(0)0(222xxxxxxx12|12|aa考题剖析考题剖析数形结合的思想方法数形结合的思想方法规规 律律 总总 结结 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭
14、示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概 念 和 运 算 的 几 何 意 义 及 常 见 曲 线 的 代 数 特 征 .规律总结规律总结数形结合的思想方法数形结合的思想方法 数形结合的两个方面：即以形助数、以数解形. （1）以形助数的体现： 利用曲线方程解题； 利用“直线的斜率”； 利用“单位圆”； 利用“点到直线的距离”； 利用“两点间的距离”； 利用“直线的截距”； 利用“平行线间的距离”； 利用“直线的方程”； 利用函数的图象； 利用几何图形解题； 利用向量运算； 利用“三角形三边的关系”； 利用勾股定理构图.规律总结规律总结数形结合的思想方法数形结合的思想方法 （2）以数解形的体现： 向量坐标运算； 立体几何中空间向量坐标运算； 平面解析几何. 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： 集合的运算及韦恩图； 函数及其图象； 数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； 直线的方程及曲线的方程（二元方程）.规律总结规律总结数形结合的思想方法数形结合的思想方法 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助直线的有关概念；借助三角形等.总之，无论是解析几何、立体几何、函数问题，无法入手时尽量与“形”联系.规律总结规律总结数形结合的思想方法数形结合的思想方法