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1、第第2 2讲讲 概率概率考情分析考情分析总纲目录考点一 古典概率考点二 几何概型考点三 概率与统计的综合问题考点一古典概型1.古典概型的概率公式:P(A)=.2.古典概型的两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.典型例题典型例题(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析解析(1)由题意知,从6个国家中任选两个国
2、家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3个,则所求事件的概率P=.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B
3、3,共2个,则所求事件的概率P=.求古典概型概率的方法正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.(1)对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分类时应不重不漏.(2)当直接求解有困难时,可考虑求出所求事件的对立事件的概率.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.(2017课标全国,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.B.C.D.答案答案D画出树状图如图:可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P=.故选D.2.定义“上升数”是一个数中右边的数字比左
4、边的数字大的自然数(如123,568,2479等),任取一个两位数,这个两位数为“上升数”的概率为()A.B.C.D.答案答案B两位数10,11,12,99共90个,其中十位数为1的“上升数”为12,13,19共8个,十位数为2的“上升数”为23,24,29共7个,十位数为8的“上升数”为89,只有1个,则所有两位数中的“上升数”共8+7+6+1=36个,则这个两位数为“上升数”的概率P=,选B.考点二几何概型1.几何概型的概率公式:P(A)=.2.几何概型应满足两个条件:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.典型例题典型例题(1)(2017
5、课标全国,4,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.(2)(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.(3)已知长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB的中点,则在此长方形内随机取一点P,P与M的距离小于1的概率为.解析解析(1)设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的
6、概率P=,故选B.(2)由6+x-x20,得-2x3,即D=-2,3,P(xD)=.(3)如图,点P位于以M为圆心,1为半径的半圆内部,由几何概型的概率公式可得所求概率为=.答案答案(1)B(2)(3)求解几何概型的概率应把握两点(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型的概率公式求解.(2)寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.(2017甘肃张掖第一次诊断)在区间0,上随机取一个数,则使sin+cos2成立的概率为.答案答案解析解析由sin+cos2,得sin1,
7、结合0,得,使sin+cos2成立的概率为=.2.(2017云南第一次统考)若在区间-4,4内随机取一个数m,在区间-2,3内随机取一个数n,则使得方程x2+2mx-n2+4=0有两个不相等的实数根的概率为.答案答案1-解析解析方程x2+2mx-n2+4=0有两个不相等的实数根,0,即(2m)2-4(-n2+4)0,m2+n24,总的事件的集合=(m,n)|-4m4,-2n3,所表示的平面区域(如图中矩形)的面积S=85=40,而满足条件的事件的集合是(m,n)|m2+n24,-4m4,-2n3,图中阴影部分的面积S=40-22=40-4,由几何概型的概率计算公式得所求事件的概率P=1-.考点
8、三概率与统计的综合问题在统计与概率的综合问题中,将对总体的估计与概率进行综合,是一类常见的方式,将样本进行汇总,制成频率分布直方图与概率知识进行综合命题也是一种经常考查的方式.典型例题典型例题(2017北京,17,13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数;(3)已知样本
9、中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解析解析(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分数在区间40,50)内的人数为100-1000.9-5=5.所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400=20.(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数
10、为(0.02+0.04)10100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60=30.所以样本中的男生人数为302=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为6040=32.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为32.解答概率与统计综合问题的两点注意(1)明确频率与概率的关系,频率可近似替代概率.(2)此类问题中的概率模型多是古典概型,在求解时,要明确基本事件的构成.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训(2017课标全国,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完
11、.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所
12、有可能值,并估计Y大于零的概率.解析解析(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的
13、频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.1.(2017天津,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.B.C.D.随堂检测随堂检测答案答案C从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色彩笔的有4种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),所以所求事件的概率P=,故选C.2.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯
14、持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.B.C.D.答案答案B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=,故选B.3.(2017广西三市联考)已知函数f(x)=logax+lo8(a0,且a1),在集合中任取一个数a,则f(3a+1)f(2a)0的概率为()A.B.C.D.答案答案B3a+12a,f(3a+1)f(2a),f(x)=logax-loga8,a1,又f(2a)0,2a8,即a4,故所求概率为.4.(2017湖北七市(州)联考)在数字1,2,3,4,5中任取两个数相加,和是偶数的概率为.答案答案解析解析在1,2,3,4,5中任取两个数,其结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种情况,其中两个数相加,和为偶数的有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4种情况,所以所求概率P=.