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1、第第2 2讲三角恒等变换与解三角形讲三角恒等变换与解三角形考情分析考情分析总纲目录考点一 三角恒等变换及求值考点二 正、余弦定理在解三角形中的应用(高频考点)考点三 正、余弦定理的实际应用考点四 与解三角形有关的创新交汇问题考点一三角恒等变换及求值1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()=sincoscossin;(2)cos()=coscossinsin;(3)tan()=.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2=2sincos;(2)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(3)tan2=.3.辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+).典型
2、例题典型例题(1)(2017课标全国理,15,5分)已知,tan=2,则cos=.(2)(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan=.(3)(2017安徽合肥第一次教学质量检测)已知sin2-2=2cos2,则sin2+sin2=.答案答案(1)(2)(3)1或解析解析(1)因为,且tan=2,所以sin=2cos,又sin2+cos2=1,所以sin=,cos=,则cos=coscos+sinsin=+=.(2)因为tan=,所以tan=tan=.(3)由sin2-2=2cos2得sin2=2+2cos2,即2sincos=4cos2,即cos=0或tan=2.当cos=0时,sin2+
3、sin2=1;当tan=2时,sin2+sin2=.综上,sin2+sin2=1或.方法归纳方法归纳三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2+cos2=tan45等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦.跟踪集训跟踪集训1.(2017河南洛阳第一次统考)若sin=,则cos=.答案答案-解析解析依题意得cos=-cos=-cos=2sin2-1=2-1=-.2.(2017云南第一次统一检测)计算=(用数字作答).
4、答案答案解析解析=.考点二正、余弦定理在解三角形中的应用(高频考点)命题点1.利用正、余弦定理求三角形的角;2.利用正、余弦定理求三角形的边长或周长;3.利用正、余弦定理求三角形的面积.1.正弦定理及其变形在ABC中,=2R(R为ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,sinA=,abc=sinAsinBsinC等.2.余弦定理及其变形在ABC中,a2=b2+c2-2bccosA;变形:cosA=.3.三角形面积公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB.典型例题典型例题(1)(2017课标全国,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=aco
5、sC+ccosA,则B=.(2)(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.求c;设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解析解析(1)解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=,又0B180,所以B=60.(2)由已知可得tanA=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+
6、2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.答案答案(1)60故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.方法归纳方法归纳解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A、B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.
7、(4)已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.跟踪集训跟踪集训1.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.解析解析AB=AC=4,BC=2,cosABC=,ABC为三角形的内角,sinABC=,sinCBD=,故SCBD=22=.BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=,2cos2BDC-1=,得cos2BDC=,又BDC为锐角,cosBDC=.答案答案;2.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
8、(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解析解析(1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故SABC=acsinB=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.考点三正、余弦定理的实际应用解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定
9、理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.典型例题典型例题(2017福建福州综合质量检测)如图,小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45,且BAC=135.若山高AD=100m,汽车从B点到C点历时14s,则这辆汽车的速度约为m/s(精确到0.1).参考数据:1.414,2.236.解析解析因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45
10、,所以BAD=60,CAD=45.设这辆汽车的速度为vm/s,则BC=14v,在RtADB中,AB=200.在RtADC中,AC=100.在ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC,所以(14v)2=(100)2+2002-2100200cos135,所以v=22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.答案答案22.6方法归纳方法归纳解三角形中的实际问题的四个步骤(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角
11、形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.跟踪集训跟踪集训(2017广东惠州第三次调研)如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的A处测得DAC=15,沿山坡前进50m到达B处,又测得DBC=45,根据以上数据可得cos=.答案答案-1解析解析由DAC=15,DBC=45可得BDA=30,DBA=135,BDC=90-(15+)-30=45-,由三角形内角和定理可得DCB=180-(45-)-45=90+,根据正弦定理可得=,即DB=100s
12、in15=100sin(45-30)=25(-1),又=,即=,得cos=-1.考点四与解三角形有关的创新交汇问题正、余弦定理作为解题工具,常与三角函数、向量、不等式等知识交汇命题,题型有选择题、填空题,也有解答题.典型例题典型例题(2017山东,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解析解析因为=-6,所以bccosA=-6,又SABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0A0知0ABC=10.cos60=(AB+AC)2-100=3ABAC,而ABAC,所以,解得AB+AC20,故AB+AC的取值范围为(10
13、,20.1.(2017广东惠州第三次调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,则ABC的面积为.随堂检测随堂检测答案答案+1解析解析由=sinB=,又cb,且B(0,),所以B=,所以A=,所以S=bcsinA=22sin=22=+1.2.(2017贵州贵阳检测)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120,a=2b,则tanA=.答案答案解析解析由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-22bb=7b2,c=b,cosA=,sinA=,tanA=.3.(2017河北石家庄质量检测(二)在ABC中,角A,B,C的对边分别
14、为a,b,c,若a=,b=2,B=45,tanAtanC1,则角C的大小为.答案答案75解析解析由正弦定理,知=,即=,解得sinA=,又tanAtanC1,故A为锐角,所以A=60,所以C=180-A-B=75.4.(2017四川成都第一次诊断性检测)已知ABC中,AC=,BC=,ABC的面积为.若线段BA的延长线上存在点D,使BDC=,则CD=.答案答案解析解析因为SABC=ACBCsinBCA,即=sinBCA,所以sinBCA=.因为BACBDC=,所以BCA=,所以cosBCA=.在ABC中,AB2=AC2+BC2-2ACBCcosBCA=2+6-2=2,所以AB=,所以ABC=,在BCD中,=,即=,解得CD=.