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1、第第2 2讲椭圆、双曲线、抛物线讲椭圆、双曲线、抛物线考情分析考情分析总纲目录考点一圆锥曲线的定义及标准方程考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点)考点三 直线与圆锥曲线1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|);(2)双曲线:|PF1|-|PF2|=2a(2ab0;(2)双曲线的标准方程为-=1,其中a0,b0;(3)抛物线的标准方程为x2=2py,y2=2px,其中p0.典型例题典型例题(1)(2017河南郑州质量预测(三)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当FMN的周长最大时,FMN的面积是()A.B.C.D.(2)(2017课标全
2、国,5,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.B.C.D.解析解析(1)设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义知FMN的周长为L=|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+(2-|ME|)+(2-|NE|).因为|ME|+|NE|MN|,所以|MN|-|ME|-|NE|0,当直线MN过点E时取等号,所以L=4+|MN|-|ME|-|NE|4,即直线x=a过椭圆的右焦点E时,FMN的周长最大,此时SFMN=|MN|EF|=2=,故选C.(2)易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.(3)已知F是抛物线C:y2=8
3、x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案答案(1)C(2)D(3)6PFx轴,P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),|AP|=1,APPF,SAPF=31=.故选D.(3)如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.方法归纳方法归纳求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.(1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而
4、设出标准方程.(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m0,n0,且mn),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0).跟踪集训跟踪集训1.(2017辽宁沈阳质量检测(二)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|-|BN|=12,则a=()A.3B.4C.5D.6答案答案A如图,设MN的中点为P.F1为MA的中点,F2为MB的中点,|AN|=2
5、|PF1|,|BN|=2|PF2|,又|AN|-|BN|=12,|PF1|-|PF2|=6=2a,a=3.故选A.2.(2017课标全国,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.3答案答案C因为直线MF的斜率为,所以直线MF的倾斜角为60,则FMN=60.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以MNF为等边三角形.过F作FHMN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d
6、=|FH|=|MF|sin60=4=2.故选C.考点二圆锥曲线的几何性质(高频考点)命题点1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围;2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程;3.求双曲线的渐近线方程.1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e=;(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e=.2.双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x.典型例题典型例题(1)(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,9,+)C.(0,14,+)D.
7、(0,4,+)(2)(2017四川成都第二次诊断性检测)设双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.答案答案(1)A(2)D解析解析(1)当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-,0),B(,0),M(0,1).图(1)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,),B(0,-),M(,0),图(2)当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时A
8、MB120,则|OA|3,即3,即m9.综上,m(0,19,+),故选A.(2)如图,在圆O中,F1F2为直径,P是圆O上一点,所以PF1PF2,设以OF1为直径的圆的圆心为M,且圆M与直线PF2相切于点Q,则M,MQPF2,所以PF1MQ,所以=,即=,可得|PF1|=,所以|PF2|=+2a,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以+=4c2,即7e2-6e-9=0,解得e=或e=(舍去).故选D.圆锥曲线几何性质的应用(1)分析圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是建立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(
9、组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案答案B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc=a,所以e=.故选B.2.(2017湖南长沙模拟)A是抛物线y2=2px(p0)上一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,OFA=120,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.y=-1C
10、.x=-2D.y=-2答案答案A过A向准线作垂线,设垂足为B,准线与x轴的交点为D.连接BF.因为OFA=120,所以ABF为等边三角形,DBF=30,从而p=|DF|=2,因此抛物线的准线方程为x=-1,选A.3.(2017湖南五市十校联考)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M,N,已知MF2N是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是()A.B.2C.1+D.2+答案答案C由已知得=2c,则c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-1=0,解得e=1,又e1,所以e=1+,故选C.考点三直线与圆锥曲线1.判断直线与圆锥曲线公
11、共点的个数或求交点问题的两种常用方法:(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标;(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线,根据图形判断公共点个数.2.弦长公式斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2).则|PQ|=|x1-x2|=.或|PQ|=|y1-y2|=(k0).3.弦的中点圆锥曲线C:f(x,y)=0的弦为PQ.若P(x1,y1),Q(x2,y2),中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.典型例题典型例题(2016课标全国,20,12分
12、)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解析(1)由已知得M(0,t),P.又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,
13、所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零);(3)应用根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于()A.B.C.D.答案答案B设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减并整理得=-.把已知条件代入上式得,-=-,=,故椭圆的离心率e=.2.(2017课
14、标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.解析解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=1.(2)由y=,得y=,设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22.从而|AB|=|x1-
15、x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.1.(2017江西南昌第二次模拟)若双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为30,则其离心率为()A.2B.2C.D.随堂检测随堂检测答案答案C依题意可得双曲线的渐近线方程为y=x,=tan30=,故=,离心率e=,选C.2.已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案答案A由e=得=,由AF1B的周长为4,及椭圆定义,得4a=4,得a=,代
16、入得c=1,所以b2=a2-c2=2,故C的方程为+=1.3.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点.O为坐标原点.若OAB的面积为1,则p的值为.答案答案解析解析双曲线的两条渐近线方程为y=2x,抛物线的准线方程为x=-,故A,B两点的坐标为,则|AB|=2p,所以SOAB=2p=1,解得p=.4.(2017山西太原模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若|AB|=6,则AOB的面积为.答案答案解析解析由题意知焦点F的坐标为(1,0),当直线AB垂直于x轴时,|AB|=4,不满足题意,所以直线AB的斜率存在且不为零,设为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4,所以|y1-y2|=,因为|AB|=|y1-y2|=6,所以4=6,解得k=,所以|y1-y2|=2,所以AOB的面积为12=.