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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 3 节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】知识点、方法题号函数奇偶性的判定1,12 函数周期性的应用5,6 利用函数的奇偶性求函数值2,4,7,9 利用函数的奇偶性比较函数值的大小、解函数不等式10,11,13 函数基本性质的综合应用3,8,14,15,16 基础对点练(时间:30 分钟)1.下列函数中,为奇函数的是(D)(A)y=2x+(B)y=x,x0,1(C)y=x sin x(D)y=解析:因为 y=2x+2,所以它的图象不关于原点对称,故 A不是奇函数;选项 B定义域不关于原点对称,故 B不是奇函数;设 f(x)=xsin x
2、,因为 f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),所以 y=xsin x是偶函数.故选 D.2.设 f(x)是定义在R上的奇函数,当 x0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于(A)(A)-3(B)-1(C)1(D)3 解析:因为 f(x)是奇函数,当 x0 时,f(x)=2x2-x,所以 f(1)=-f(-1)=-2(-1)2-(-1)=-3.3.若 y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数y=f(x)(B)(A)既是周期函数,又是奇函数(B)既是周期函数,又是偶函数(C)不是周期函数,但是奇函数(D)不是周期函数,但是偶函数解析:法一因为 y=f(x)是周期
3、函数,设其周期为T,则有f(x+T)=f(x),两边同时求导,得 f(x+T)(x+T)=f (x),即 f(x+T)=f (x),所以导函数为周期函数.因为 y=f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),两边同时求导,得 f(-x)(-x)=-f(x),即-f(-x)=-f(x),所以 f (-x)=f(x),即导函数为偶函数,故选 B.法二由导数的几何意义知导函数与原函数具有相同的周期,且导函数与原函数的奇偶性相反.4.已知函数f(x)=,若 f(a)=,则 f(-a)等于(C)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(A)(B)-(C)(D)-解 析:根 据 题 意
4、,f(x)=1+,而h(x)=是 奇 函 数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-1+h(a)=2-f(a)=2-=.5.已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0 x1 时,f(x)=lg x,设 a=f(),b=f(),c=f(),则(A)(A)cab(B)abc(C)bac(D)cbac.6.定义在 R上的函数f(x)满足 f(x+4)=-,且 f(0)=1,则 f(2 016)等于(A)(A)1(B)-1(C)2(D)-2 解析:f(x+4)=-,所以 f(x+8)=-=f(x),所以 f(2 016)=f(2528)=f(0)=1.故选 A.7.已知定义在R上的奇函数f
5、(x)和偶函数g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a0,且a1).若 g(2)=a,则 f(2)等于(B)(A)2(B)(C)(D)a2解析:因为 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以 f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a,因为 f(2)+g(2)=a2-a-2+2,所以 f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2,由联立得g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2=.8.函数 f(x)在 R上为奇函数,且 x0 时,f(x)=+1,则当 x0 时,f(x)=+1,所以当 x0,f(x)=-f(-x)=-(+1),即 xg(0)g(-1).答案:
6、f(1)g(0)g(-1)11.(2015峨眉山模拟)设 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且 f(x)是奇函数,当 x0时,f(x)=.(1)求当 x0 时,f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)-.解:(1)因为 f(x)是奇函数,所以当 x0,又因为当x0 时,f(x)=,所以当 x0 时,f(x)=-f(-x)=-=.(2)f(x)0 时,即-,所以,所以 3x-18,解得 x2,所以 x(0,2),当 x0 时,即-,所以 3-x32,所以 x-2,所以解集是(-,-2)(0,2).能力提升练(时间:15 分钟)12.函数 y=f(x)(xR)的图象如图所示,下列说法正确的是
7、(C)函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x);函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(-x);函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x);函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x).小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(A)(B)(C)(D)解析:根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数,所以正确;又其图象关于直线 x=1 对称,所以正确.13.(2016济 南一 模)已知 函数y=f(x)是R 上的 偶 函数,当x1,x2(0,+)时,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)f(b)f(c)(B)f(b)f(a)f(c)(C)f(c)f(a)f
8、(b)(D)f(c)f(b)f(a)解析:根据已知条件便知f(x)在(0,+)上是减函数,且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|),而|a|=ln 1,|b|=(ln)2|a|,0|c|=f(a)f(b).故选 C.14.(2015 菏泽模拟)定义在实数集R上的函数f(x)满足 f(x)+f(x+2)=0,且 f(4-x)=f(x)现有以下三种叙述:8 是函数 f(x)的一个周期;f(x)的图象关于直线x=2 对称;f(x)是偶函数.其中正确的序号是.解析:由 f(x)+f(x+2)=0,得 f(x+2)=-f(x),则 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
9、即 4 是 f(x)的一个周期,8 也是 f(x)的一个周期,由 f(4-x)=f(x),得 f(x)的图象关于直线x=2 对称;由 f(4-x)=f(x)与 f(x+4)=f(x),得 f(4-x)=f(-x),f(-x)=f(x),即函数 f(x)为偶函数.答案:15.定义在 R上的函数 f(x)对任意 a,b R都有 f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).(1)判断 k 为何值时,f(x)为奇函数,并证明;(2)设 k=-1,f(x)是 R上的增函数,且 f(4)=5,若不等式 f(mx2-2mx+3)3 对任意 xR恒成立,求实数 m的取值范围.解:(1)若 f(x)在 R
10、上为奇函数,则 f(0)=0,令 a=b=0,则 f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以 k=0.证明:由 f(a+b)=f(a)+f(b),令 a=x,b=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x)对任意 xR成立,所以 f(x)是奇函数.(2)因为 f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以 f(2)=3.所以 f(mx2-2mx+3)3=f(2)对任意 xR恒成立.又 f(x)是 R上的增函数,所以 mx2-2mx+32 对任意 xR恒成立,即 mx2-2mx+10 对任意 x R恒成立,当 m=0时,显
11、然成立;当 m 0 时,由得 0m1.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以实数m的取值范围是0,1).16.设f(x)是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x0,2时,f(x)=2x-x2,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x2,4时,求 f(x)的解析式;(3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016).(1)证明:因为 f(x+2)=-f(x),所以 f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以 f(x)是周期为4 的周期函数.(2)解:由 f(x+2)=-f(x),且 x0,2时,f(x)=2x
12、-x2,所以当 x2,4时,f(x)=-f(x-2)=-2(x-2)-(x-2)2=x2-6x+8.即 f(x)=x2-6x+8,x 2,4.(3)解:因为 f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1,所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)=f(2 016)=f(0)=0.精彩 5 分钟1.(2016岳阳模拟)设函数 f(x)和 g(x)分别为R上的奇函数和偶函数,则下列结论恒成立的是(D)(A)f(x)-|g(x)|为奇函数(B)-|f(x)|-g(x)为奇函数(C)-f(x)+|g(x)|为偶函数(D)|f(x)
13、|-g(x)为偶函数解题关键:利用奇、偶函数的性质逐一判断.解析:因为函数g(x)和 f(x)分别是 R上的偶函数和奇函数,所以|f(x)|也为偶函数,所以 f(x)-|g(x)|是非奇非偶函数,故 A不满足条件;-g(x)-|f(x)|是偶函数,故 B不满足条件;-f(x)+|g(x)|也为非奇非偶函数,|f(x)|-g(x)为偶函数.2.(2015洛阳二模)若函数y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象的对称轴方程是(A)(A)x=1(B)x=-1(C)x=2(D)x=-2 解题关键:利用函数图象的平移、伸缩、对称等变换求解.解析:因为 y=f(2x+1)=f(2(x+),所以
14、函数y=f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得出 y=f(2x),再向左平移个单位得出 y=f(2x+1)=f(2(x+)的图象.因为函数y=f(2x+1)是偶函数,所以函数y=f(2x+1)的对称轴为x=0,所以函数y=f(2x)的对称轴为x=,y=f(x)的对称轴为x=1.3.(2015东莞质检)已知函数 f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 ff()的值是(C)(A)(B)1 (C)0 (D)2 017 解题关键:由恒等式变形后得到=,从而得到是周期函数.解析:原等式等价于=,所以函数y=是 T=1的周期函数,所以=,化简为 f(-)=-f(),又因为 y=f(x)是偶函数,所以 f(-)=f(),所以 f()=0,所以=0,即 f()=0,原式等价于求f(0),又因为 xf(x+1)=(x+1)f(x),所以当 x=0 时,求得 f(0)=0,所以 ff()=0.故选 C.