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1、第14讲函数模型及其应用考纲要求考点分布考情风向标1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2013年上海春季考查相似三角形与二次函数型；2013年陕西考查相似三角形与二次函数型；2014年湖南考查指数函数型；2014年北京考查二次函数型；2015年上海考查二次函数型；2015年北京考查平均变化率；2015年四川考查指数函数型；2016年四川考查指数函数型及对数运算由于概率统计应用题及线性规划应用题的存在，函数模型应用题很少在全国卷中
2、出现，但在其他省份屡见不鲜复习时应重点关注：(1)考查二次函数模型的建立及最值问题(2)考查分段函数模型的建立及最值问题(3)考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题常见函数模型一次函数模型yaxb(a0)反比例函数模型二次函数模型yax2bxc(a0)指数函数模型yN(1p)x(x0，p1)(增长率问题)对数函数模型yblogax(x0，a0，且a1)幂函数模型yaxnb(a，b，n为常数，a0)对勾函数模型分段函数模型略1.常见的几种函数模型函数yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调_单调递增单调递增增长速度越来越快越来越_相对平稳图象的
3、变化随 x 值增大，图象与 y 轴接近平行随 x 值增大，图象与_轴接近平行随 n 值变化而不同2.三种函数模型性质比较递增慢x1.某一种商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价()A.10%B.9%C.11%D.1009%D加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2015 年 5 月 1 日1235 0002015 年 5 月 15 日4835 6002.(2015 年北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为()A.6 升C.10 升B.8 升D.12 升解析：因为第
4、一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 V48 升.而这段时间内行驶的里程数 s35 60035 000600(千米).所以这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为486001008(升).故选 B.答案：B2x(6x)2(x3)218，3.若用长度为 24 的材料围一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()AA.3B.4C.6D.12解析：设隔墙的长为 x(0 x6)，矩形面积为 y，yx244x2当 x3 时，y 最大.4.某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为3 km(不超过 3 km 按起步价收费)；超过 3 km 但
5、不超过 8 km 时，超过部分按 2.15 元/km 收费；超过 8 km 时，超过部分按 2.85元/km 收费，另外每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_km.解析：设出租车行驶了 x km，付费 y 元，由题意，得当 x8 时，y19.7522.6，因此由 82.1552.85(x8)122.6，得 x9.答案：9考点 1 正比例、反比例和一次函数类的实际问题例 1：(1)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(单位：分钟)与打出电话费 s(单位：元)的函
6、数关系如图)2-14-1，当打出电话 150 分钟时，这两种方式电话费相差(图 2-14-1A.10 元B.20 元C.30 元D.40 元答案：A(2)(2017 年湖北荆州沙市中学统测)成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1，y2 分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最)小，仓库应建在离车站(A.5 千米处C.3 千米处B.4 千米处D.2 千米处两项费
7、用之和：仓库应建在离车站 5 千米处，可使这两项费用之和最小，最小为 8 万元.答案：A函数的综合题型，解决这类问题首先考虑基本不等式，当基本不等式中等号不成立时要利用函数的单调性求最值，当然也可以利用导数求最值.考点 2 二次函数类的实际问题例 2：某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图 2-14-2(1)；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2-14-2(2).(注：利润和投资单位：万元)(1)(2)图 2-14-2(1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部
8、投入 A，B两种产品的生产.若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？此时 x16,18x2.所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，为 8.5 万元.【规律方法】二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值在区间的
9、端点处取得.另外，在实际的问题中，还要考虑自变量为整数的问题.【互动探究】1.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图 2-14-3，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x，y 应为()A.x15，y12B.x12，y15C.x14，y10D.x10，y14图 2-14-3答案：A考点 3 分段函数类的实际问题例 3：国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000 元的按超过部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全稿酬的 11.2%纳税，若某人共纳税 420 元，)则这
10、个人的稿费为(A.3000 元C.3818 元B.3800 元D.5600 元解析：由题意可建立纳税额 y 关于稿费 x 的函数解析式为显然由 0.14(x800)420，可得 x3800.故选 B.答案：B【规律方法】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值的取舍，构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.月份用气量/m3煤气费/元一月份44二月份2514三月份3519【互动探究】2.(2017 年北京西城区二模)某市家庭煤气的使用量 x(单位：已知某家庭 2016
11、 年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气，则其煤气费为()A.11.5 元B.11 元C.10.5 元D.10 元解析：根据题意可知 f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，答案：A难点突破指数函数、对数函数模型例题：某公司为了实现 2018 年 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额 y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过 5 万元，同时奖金数额不超过利润的 25%，现有三个奖励模型：y0.025x，问其中是否有模
12、型能完全符合公司的要求？说明理由.(参考数据：1.0036006，e2.718 28，e82981)解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当 x10,1000时，函数为增函数；函数的最大值不超过 5；yx25%.对于 y0.025x，易知满足；但当 x200，y5；不满足公司的要求；对于y1.003x，易知满足；但当x600时，y6,不满足公司的要求；【互动探究】3.(2015 年四川)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是()A.16 小时C.24 小时B.20 小时D.21 小时答案：C4.(2014 年湖南)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()D解析：设年平均增长率为 x，则(1x)2(1p)(1q)，