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1、第13讲抽象函数考纲要求考点分布考情风向标1.了解函数模型的实际背景.2.会运用函数的解析式理解和研究函数的性质2014 年新课标第 5 题考查抽象函数的奇偶性从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查主要是与周期性、单调性相结合，求函数值、比较大小等，重点探讨幂函数型、指数函数型、对数函数型抽象函数的解析式及基本性质1.下列四类函数中，有性质“对任意的 x0，y0，函数 f(x)C满足 f(xy)f(x)f(y)”的是(A.幂函数C.指数函数)B.对数函数D.余弦函数解析：假设f(x)ax，则f(x)f(y)axayaxyf(xy).2.已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(x
2、)0，则 f(x)是()A.奇函数BB.偶函数C.非奇非偶函数D.不确定解析：令xy0，则2f(0)2f(0)2，因为f(x)0，所以f(0)1.令 x0，则 f(y)f(y)2f(y)，f(y)f(y)，f(x)为偶函数.故选 B.A0考点 1 正比例函数型抽象函数例 1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问当3x3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由.(1)证明：令xy0，则有f(0)2f(0)f(0)0.令yx，则有f(0)f(x)f(x)，即f(x)
3、f(x).f(x)是奇函数.(2)解：当3x3时，f(x)有最值，理由如下：任取x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2).yf(x)在R上为减函数.因此f(3)为函数的最小值，f(3)为函数的最大值.f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6.函数的最大值为6，最小值为6.【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”.(2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)0f(x)是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性.(3)判断单调性小技巧：设x1
4、0f(x2x1)0f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)1时，f(x)0，f(2)1.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)解不等式f(2x21)1，且对任意的a，bR，有f(ab)f(a)f(b).(1)求证：f(0)1；(2)求证：对任意的xR，恒有f(x)0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围.(1)证明：令 ab0，则 f(0)f(0)2.f(0)0，f(0)1.(2)证明：当 x0 时，x0，f(0)f(x)f(x)1.又当 x0 时，f(x)10.对任意的xR，恒有 f(x)0.
5、(3)证明：设x1x2，则x2x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1).x2x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1).f(x)是R上的增函数.(4)解：由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0).f(x)是R上的增函数，3xx20.0 x3.x的取值范围是(0，3).【规律方法】判断单调性小技巧：设x1x2，x1x20，则f(x1x2)1，f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函数f(x)是增函数.【互动探究】答案：思想与方法利用转化与化归思想解答抽象函数(1)求证：f(x2)f(x)；(2)求证：f(x)f(x)；(3)求证：f(2x)2f 2(x)1.【互动探究】A.2 个C.4 个B.3 个D.5 个答案：C