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1、第16讲导数在函数中的应用考纲要求考点分布考情风向标1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2013年新课标第20题考查导数的几何意义、单调性、极大值等；2014年新课标第3题考查函数极值的充要条件；2014年大纲第21题考查函数的单调性及分类讨论；2014年新课标第21题利用单调性讨论参数的取值范围；2014年新课标第12题以函数零点为背景，考查导数
2、的应用；2015年新课标第21题构造函数利用其单调性解不等式；2016年新课标第12题考查函数单调性本节复习时，应理顺导数与函数的关系，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用本节知识往往与其他知识结合命题，如不等式知识等，还应注意分类讨论思想的应用1.函数的单调性单调递减若函数 yf(x)在(a，b)内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内_.2.函数的极值f(x)0f(x)0(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极
3、大值；如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左右两边导函数值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.极小值3.函数的最值(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；极值若函数 f(x
4、)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各_与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.如图 2-16-1 是函数 f(x)的导函数 f(x)的图象，则下列判断中正确的是()AA.函数 f(x)在区间(3,0)上是减函数B.函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数C.函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数D.函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数图 2-16-1解析：当 x(3,0)时，f(x)0，则 f(x)在(3，0)上是减
5、函数.其他判断均不正确.DA2.函数f(x)(4x)ex的单调递减区间是()A.(，4)B.(，3)C.(4，)D.(3，)解析：f(x)ex(4x)exex(3x)，令f(x)0，3x3.3.已知e为自然对数的底数，则函数yxex的单调递增区间是()A.1，)C.1，)B.(，1D.(，1A4.函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()B.(1，)A.(0,1)C.(，1)D.(1,1)时，f(x)0，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数.考点 1 利用导数研究函数的单调性例 1：(1)(2017 年浙江)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图)象如图 2-
6、16-2，则函数 yf(x)的图象可能是(图 2-16-2ABCD解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点的横坐标大于 0.故选 D.答案：D(2)已知函数f(x)(x22x)ex，xR，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为_.解析：因为f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0.(3)(2015 年陕西)设 f(x)xsin x，则 f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数解析：因为 f(x)1cos x0，所以函数为增函数，排除选
7、项 A 和 C.又因为 f(0)0sin 00，所以函数存在零点，排除选项D.故选 B.答案：B【规律方法】求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.考点 2 含参数函数的单调性例2：已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在区间(1，)上为增函数，求 a 的取值范围；(4)若 f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围；(5)
8、若 f(x)的单调递减区间为(1,1)，求 a 的值；(6)若 f(x)在区间(1,1)上不单调，求 a 的取值范围.(2)因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)3x2a0在R上恒成立，即a3x2对xR恒成立.因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即a的取值范围为(，0.(3)因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立.所以a3x2在(1，)上恒成立.所以a3.即a的取值范围为(，3.【规律方法】若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，
9、求参数取值范围问题，一是可转化为 f(x)0或 f(x)0恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到；二是利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.【互动探究】1.若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，)则实数 m 的取值范围为(答案：D答案：C思想与方法运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题：(2016年新课标)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).设 a0，则当 x(
10、，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.设 a0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.故 f(x)在(1，)上至多有一个零点，在(，1)上至多有一个零点.由于 f(2)a0，f(1)e0，则 f(2)f(1)0.根据零点存在定理，f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.而当x1时，exe，x21e(x2)a(x1)2a(x1)2e(x1)e.因此，当x1且x0.又 f(1)e0，根据零点存在定理，f(x)在(，1)上有且只有一个零点.所以 f(x)有两个零点.设a0，则f(x)(x2)ex，所以f(x)有一个零点.(1，)上单调递增.又当x1时，f(x)fln(2a)aln(2a)2210，故 f(x)不存在两个零点；(，1)，(ln(2a)，)上单调递增.又当 x1 时，f(x)f(1)e0，f(x)0，此时函数 f(x)单调递减；当 x(1，)时，g(x)0，此时函数 f(x)单调递增.