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1、2 2.4 4函数与方程一二三四一、函数的零点【问题思考】1.二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实根的条件是什么?提示:当0,即b2-4ac0时,二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根.2.一次函数y=kx+m(k0)的图象与x轴的交点坐标是什么?这个交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?提示:交点坐标为,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0的根.一二三四3.填空:(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在实数处的值等于零,即f()=0,则叫做这个函数的零点.(2)性质:当函数的图象通过零点且穿过x轴时,函数值变号.两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.一
2、二三四解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)有零点,若不存在,则f(x)无零点.答案:D一二三四二、二次函数的零点与对应二次方程的实根个数之间的关系【问题思考】1.二次函数没有零点的等价说法是什么?提示:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x)的图象与x轴没有交点.2.二次函数的零点最多只有两个吗?所有的二次函数都有零点吗?提示:二次函数的零点最多只有两个,因为二次函数对应的一元二次方程最多只有两个根.并不是所有的二次函数都有零点,这是因为不是所有的一元二次方程都有实数根,如函数y=x2
3、+2x+2就没有零点.一二三四3.填写下表:一二三四一二三四三、零点存在的判断方法及分类【问题思考】1.对于函数f(x),若满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)0一定成立吗?提示:对于函数f(x),若满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内不一定有零点,如图(1)所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有f(a)f(b)0,如图(2)所示.一二三四2.填空:(1)零点存在的判断方法:如果函数y=f(x)在一个区间a,b上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)
4、0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点x0(a,b),使f(x0)=0.(2)分类:一二三四3.做一做:若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)上,则下列命题中正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间2,16)内无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析:由题中条件易知函数f(x)的零点必在(0,2)内.故选C.答案:C一二三四四、求函数零点的近似值的一种计算方法二分法【问题思考】1.填空:(1)二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且
5、f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤:在D内取一个闭区间a0,b0D,使f(a0)与f(b0)异号,即f(a0)f(b0)0,零点位于区间a0,b0中.一二三四计算f(x0)和f(a0),并判断:如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a0)f(x0)0,则零点位于区间x0,b0中,令a1=x0,
6、b1=b0.计算f(x1)和f(a1),并判断:如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a1)f(x1)0,则零点位于区间x1,b1上,令a2=x1,b2=b1;继续实施上述步骤,直到区间an,bn,函数的零点总位于区间an,bn上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间an,bn中的任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.一二三四2.用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?提示:不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一
7、个闭区间a,b内,都不满足f(a)f(b)0,所以无法判定零点的大致区间,即不能用二分法求其零点近似值.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)零点就是函数图象与x轴的交点.()(2)二次函数有可能有三个零点.()(3)用二分法可求所有函数零点的近似值.()(4)二分法无规律可循.()(5)只有在求函数零点时才用二分法.()(6)若函数f(x)在闭区间a,b上的图象是连续曲线,且在区间(a,b)内至少有一个零点,但不一定有f(a)f(b)0.()(7)若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象不是连续曲线,则当f(a)f(b)0时,f(x)在区间(a,b)内
8、一定有零点.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)探究一探究二探究三探究四规范解答求函数的零点求函数的零点【例1】求下列函数的零点:(1)f(x)=-x2-2x+3;(2)f(x)=x4-1.分析:解对应的方程的根,即为函数的零点.解:(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.故函数的零点是-3,1.(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.故函数的零点是-1,1.探究一探究二探究三探究四规范解答反思感悟1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解
9、就是f(x)的零点.解三次以上的高次方程时,一般需要因式分解.2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.探究一探究二探究三探究四规范解答变式训练变式训练1(2017湖南衡阳高一检测)求f(x)=x3-4x的零点.解:令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得x1=0,x2=-2,x3=2.所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.探究一探究二探究三探究四规范解答判断函数的零点个数判断函数的零点个数【例2】(1)函数f(x)=ax2+bx+c满足ac
10、0(因ac0,a0时,设f(x)=ax2-2x+1,方程ax2-2x+1=0的根,即函数f(x)的零点分别在区间(0,1),(1,2)内,探究一探究二探究三探究四规范解答探究一探究二探究三探究四规范解答反思感悟解决根的分布问题的一般步骤1.首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.2.结合草图考虑三个方面:(1)与零的大小关系;(2)对称轴与所给端点值的关系;(3)端点的函数值与零的关系.3.写出由题意得到的不等式(组).4.由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意.探究一探究二探究三探究四规范解答(2017江西吉安调研)求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间
11、(1,2)内.分析:可由函数零点的性质证明5x2-7x-1=0的两根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证明在(-1,0)和(1,2)内分别有一个零点.解:设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)f(0)=11(-1)=-110,f(1)f(2)=(-3)5=-150,f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点解析:由于二次函数f(x)=x2+mx+n中的二次项系数大于0,故该函数的图象大致如下图所示.结合上述图象可知应选C.答案:C123454.下面是连续函数f(x)在1,2上一些点的函数值:由此可判断:方程f(x)
12、=0的一个近似解为.(精确到0.1)解析:由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间1.4065,1.438上,由精确度可知近似解可为1.4.答案:1.4123455.(1)当m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.有且仅有一个零点?有两个不同零点且均比-1大?(2)若函数F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,则等价于=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.1234512345(2)若F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,如下图所示.由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根,则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点,所以0-a4,即-4a0.