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1、2 2.1 1.3 3函数的单调性函数的单调性一二一二3.若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为“存在x1,x2”可以吗?提示:不可以,如图:虽然x=2-(-1)0,y=f(2)-f(-1)0,但f(x)在-1,2上并不是单调函数.因此“任意”两字不能忽视,更不能用“特殊”取代.为了方便也可将定义改为:如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,总有,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.一二4.填空.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA.如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量x=x2-x10,则当y=f(x2)-f(x1)0
2、时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图(1)所示.当y=f(x2)-f(x1)0;(2)作差:y=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断y的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)探究一探究二探究三思想方法用定义法证明用定义法证明(判断判断)函数的单调性函数的单调性【例1】利用单调性的定义证明函数在(-,0)内是增函数.分析:解题的关键是对y=f(x2)-f(x
3、1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.证明设x1,x2是(-,0)内的任意两个值,且x10,探究一探究二探究三思想方法反思感悟证明函数的单调性的步骤1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1g(1-2t),求t的取值范围.分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,寻找对称轴与区间的位置关系求解;(2)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.探究一探究二探究三思想方法解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2,该二次函数图象的对称轴为x=1-a.f(x)的单调减区间为(-,1-a.f(x)在(-,4
4、上是减函数,对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.1-a4,解得a-3.(2)g(x)在R上为增函数,且g(t)g(1-2t),探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.已知函数的单调性求参数范围,要注意数形结合,画出图象,往往解题很方便,同时要采取逆向思维求解;2.充分利用了函数的单调性,在单调区间内,变量与函数值之间的关系,将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t.探究一探究二探究三思想方法已知f(x)=-x3+ax在(0,1)内是增函数,求实数a的取值范围.探究一探究二探究三思想方法分类讨论思想在函数单调性中的应用【典例】讨论函数f(x
5、)=(-1x1,a0)的单调性.思路点拨:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.探究一探究二探究三思想方法解:设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x10,选项A中,y=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x20,所以该函数在区间(-,0)内为减函数;同理可判断选项B中和选项C中函数在区间(-,0)内为减函数,选项D中函数在区间(-,0)内为增函数.答案:D1234562.下列命题正确的是()A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2(a,b),使得当x1x2时有f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,则f(x)在I1I2上为增函数D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),则x1g(1-3t),求t的取值范围.