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1、第八章 立体几何初步立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直（直线与平面垂直（2）1.直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直的定义：“任意任意”2.点到平面的距离点到平面的距离定义的运用：定义的运用：关键：关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直线面垂直线面垂直 线线垂直线线垂直定义定义3.直线和平面垂直的判定定理直线和平面垂直的判定定理证明证明线线垂直线线垂直方法方法垂线段的长度垂线段的长度线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直证明证明线面垂直线面垂直的方法的方法线线面垂直的定义面垂直的定义线线面垂直的判定定理面垂直的判定定理复习引入
2、：复习引入：如图，解放军两名战士与地面垂直，则他们所在的直线有何位置关系？新课导入新课导入面面垂直的性质探索新知探索新知观察观察（1 1）如图）如图，在长方体，在长方体ABCDABCD-ABCDABCD中，棱中，棱AAAA，BBBB，CCCC，DDDD所在直线都垂直于平面所在直线都垂直于平面ABCDABCD，它们之间具有什么位置关系，它们之间具有什么位置关系?b ba a互相平行互相平行（2 2）如右上图如右上图，已知直线，已知直线a,ba,b和平面和平面，如果，如果 a a,b,b,那么，那么，直线直线a,ba,b一定平行吗？一定平行吗？探索新知探索新知分析：直接证明分析：直接证明a b比较
3、困难，我们考虑采用反证法证明比较困难，我们考虑采用反证法证明.O证明：假设直线b不平行于直线a，且b=O，显然不可能，因此ba.已知：已知：a，b .求证：求证：a b垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线平行平行.线面垂直的性质定理图形语言图形语言符号语言符号语言线面垂直线面垂直线线平行线线平行推出推出baa b a/b 1.1.可用来判断两直线平行的依据可用来判断两直线平行的依据2.2.揭示了揭示了“平行平行”与与“垂直垂直”之间的内在联系之间的内在联系定理作用定理作用概念生成概念生成典型例题典型例题 【例1】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1
4、D都垂直相交求证：EFBD1探索新知探索新知思考思考：能否将性质定理中的能否将性质定理中的平面换成直线平面换成直线，或者将，或者将垂直关系变为平行关系垂直关系变为平行关系，得出一些新的结论吗？得出一些新的结论吗？小结小结直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质性质性质1 1：若若a a，m m，则，则a am.m.性质性质2 2：(直线与平面直线与平面垂直的垂直的性质定理性质定理)性质性质3 3：若若a a，c c ，且，且c ca a，则则c c/.垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一平面的两条直线平行.性质性质4 4：若若/，l l，则则l l.a ab ba a/b b 性质性质5 5
5、：若若l l，l l，则则/典型例题典型例题【例【例2】已知已知PO是平面是平面a的垂线的垂线,PA是平面是平面a的斜线的斜线,直线直线l a.求证求证:(1)若若l PA,则则l OA;(2)若若l OA,则则 l PA.证明证明:(1)PO a,l a.PO l.若若l PA,l 平面平面OPA.OA 平面平面OPA,l OA.(2)PO a,l a.PO l.若若l OA,l 平面平面OPA.PA 平面平面OPA,l PA.a alPOA探索新知探索新知在在平面内平面内的一条的一条直线直线，如果和这个平面的一条斜线的，如果和这个平面的一条斜线的射影射影垂直，那么它也和垂直，那么它也和这条
6、这条斜线斜线垂直垂直.三垂线定理三垂线定理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直定理定理a alPOA逆定理逆定理平面内平面内的一条的一条直线直线和平面的一条和平面的一条斜线斜线垂直，则它也和这条垂直，则它也和这条斜线的斜线的射影射影垂直垂直.三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理:涉及的几何元素：涉及的几何元素：涉及的几何元素：涉及的几何元素：一面；一面；四线四线:平面的斜线平面的斜线;平面的垂线平面的垂线;斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影;平面内的一条直线平面内的一条直线.三垂直三垂直:直线与平面垂直直线与平面垂直;平面内直线与斜线在平面内的平面内直线与斜线在平面内的射影垂直射影垂直;平面内
7、的一条直线与斜线垂直平面内的一条直线与斜线垂直.典型例题典型例题【变式】【变式】如图，四棱锥如图，四棱锥S-ABCD的底面的底面ABCD是正方形，是正方形，SD 平面平面ABCD.追问：追问：AC SB?BDCSA探索新知探索新知已知：l，A,Bl,A1,B1,AA1 ,BB1.求证：AA1BB1探索新知探索新知直线到平面的距离平行平面间的距离线面平行时，线上任意一点到平面的距离为直线到平面的距离.点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都
8、相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.探索新知探索新知转化转化线面距离线面距离面面距离面面距离转化转化点面距离点面距离 前前面面学学习习的的棱棱柱柱、棱棱台台的的体体积积公公式式中中的的高高，就就是是它它们们上上、下下底底面面间间的的距距离离，也也就就是是上上底底面面内内任意一点到下底面的距离任意一点到下底面的距离典型例题典型例题类型二空间中的距离问题方向1：点面距离C方法归纳方法归纳求点到平面的距离的两种方法构造法构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；等体积法等体积法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，利用体积相等建立方程求解.无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都转化为点到平面的距离.典型例题典型例题方向2：线面距离【例2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AD1，A1A1(1)证明：直线BC1平面D1AC；(2)求直线BC1到平面D1AC的距离典型例题典型例题(1)求证：平面BCF平面AEG；(2)求平面BCF与平面AEG间的距离小结小结直线与平面垂直直线与平面垂直定义定义判定定理判定定理空间距离空间距离直线和平面所成角直线和平面所成角性质性质点面距离点面距离线面距离线面距离面面距离面面距离定义定义范围范围步骤步骤