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1、本章整合第二章 数列专题一专题二专题三专题一数列通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一,下面介绍几种常用的求法.1.观察归纳法观察归纳法就是观察数列的特征,找出各项共同的构成规律,横向看各项之间的关系,纵向看各项与项数n的内在联系,从而归纳出数列的通项公式.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三2.利用an与Sn的关系求通项an与前n项和Sn关系式有两种形式:一种是Sn与n的关系式,记为Sn=f(n),可由
2、公式 直接求出通项an,但要注意n=1与n2两种情况能否统一;另一种是Sn与an的关系式,记为f(an,Sn)=0,此时,利用an与Sn的关系将已知关系式转化为关于an的关系式或关于Sn的关系式,再求an或Sn.若求出的是Sn,需再一次利用an与Sn的关系求an.应用2已知数列an中,an0,Sn是数列an的前n项和,且将an=Sn-Sn-1(n2)代入并化简,得由已知可求得S1=a1=1.数列 是等差数列,公差为1,首项为1.=1+(n-1)1=n.an0,Sn0.Sn=n2时,而n=1时,a1=1也适合上式.数列an的通项公式为 ,nN*.专题一专题二专题三专题一专题二专题三3.已知递推关
3、系求通项公式(一)累加法对于由形如an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式,(1)当f(n)=d为常数时,an为等差数列,则an=a1+(n-1)d;(2)当f(n)为关于n的函数时,用累加法.方法如下,由an+1-an=f(n)得当n2时,an-an-1=f(n-1),an-1-an-2=f(n-2),a3-a2=f(2),a2-a1=f(1).专题一专题二专题三以上n-1个等式累加得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1),为了书写方便,也可以用横式来写:当n2时,an-an-1=f(n-1),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=
4、f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+a1.专题一专题二专题三(3)已知a1=a,an+1-an=f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项an.若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和.专题一专题二专题三应用3已知数列an中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列an的通项公式.分析:由于本例给出了数列an中连续两项的差,故可考虑用累加法求解,解:由an+1-an=3n
5、-n,得an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.当n2时,以上n-1个等式两端分别相加,得(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=3n-1+3n-2+3-(n-1)+(n-2)+1,专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三(2)an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1).又a1+1=20,数列an+1是首项为2,公比为3的等比数列.an+1=23n-1.an=23n-1-1.方法总结若所给递推公式形如an+1=kan+
6、m,则可构造an+1+p=k(an+p),即构造等比数列an+p,通过求an+p求出an.专题一专题二专题三(四)奇偶分析法(1)如果数列的递推公式为an+1+an=c(c为常数),-得an+1=an-1,数列隔项相等.它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项讨论.即a1=a3=a5=;a2=a4=a6=.a2n=c-a1;a2n+1=a1(n=1,2,).专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三应用6数列an满足an=2an-1+2n-1(n2),且a4=81.(1)求:a1,a2,a3.(2)是否存在一个实数,使数列 为等差数列?若存在,求出的值及an;若不存在,说
7、明理由.解:(1)由a4=2a3+24-1=81,得a3=33.由a3=2a2+23-1=33,得a2=13.由a2=2a1+22-1=13,得a1=5.专题一专题二专题三专题一专题二专题三应用7已知数列an,a1=2,an+1+an=2n-1,求通项公式an.解:由已知a2+a1=2-1=1,a1=2,a2=-1.an+1+an=2n-1,an+2+an+1=2(n+1)-1,-得an+2-an=2.数列an的奇数项和偶数项分别成公差为2的等差数列.专题一专题二专题三专题二以数阵为背景的数列问题所谓数阵是指将某些数按一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵不仅有正方形、三角形,
8、还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形,甚至几种图形的组合,变幻多样、对称性强,很能吸引人.在我们平常解题中最常见的是前两种.数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列,比较多见的是排成等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列.解决此类问题的关键是找出其中的规律,这就要求考生具有较强的观察分析、归纳猜想的能力以及对数列知识融合迁移的能力.下面具体讨论一下它的几种题型.专题一专题二专题三应用8如图所示的数阵,第n行最右边的数是.解析:设第n行左边第一个数为an,则a1=1,a2=3=a1+21,a3=7=a2+22,an=an-1+2(n-1),把
9、这些式子左右两边分别相加,得an=n2-n+1.又每一行都是公差为2的等差数列,且第n行有n个数,则第n行最右边的数是(n2-n+1)+(n-1)2=n2+n-1.答案:n2+n-1专题一专题二专题三应用9德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是分子为1、分母为正整数的分数)称为莱布尼兹三角形.根据前5行的规律,写出第6行的数从左到右依次是.专题一专题二专题三应用10给定81个数排成数阵如图所示,若每一行、每一列都构成等差数列,且正中间一个数a55=5,则此数阵中所有数之和为.专题一专题二专题三解析:由于每一行都成等差数列,同理可得,a21+a22+a29=9a25,a91
10、+a92+a99=9a95.又每一列都成等差数列,则此数阵中所有数之和S=(a11+a12+a19)+(a21+a22+a29)+(a91+a92+a99)=9(a15+a25+a95)=9(9a55)=81a55=815=405.答案:405专题一专题二专题三专题三数学思想方法的应用1.函数思想数列是特殊的函数,用函数的观点认识数列和处理数列问题,既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质,又有利于解决问题,比如求等差数列前n项和Sn的最值时,常转化为求关于n的二次函数的最值,或用数形结合或利用函数图象来求值.专题一专题二专题三应用11已知函数f(x)=,且数列f(an)是首项为2,公差为2的等
11、差数列.(1)求证:数列an是等比数列;(2)设bn=anf(an),求数列bn的前n项和Sn的最小值.(1)证明:由题意知f(an)=2+(n-1)2=2n,数列an是以2为首项,2为公比的等比数列.专题一专题二专题三(2)解:由(1)知,bn=anf(an)=n2n+1,Sn=122+223+324+425+n2n+1,2Sn=123+224+325+n2n+2.-,得Sn=-22-23-24-2n+1+n2n+2Sn=(n-1)2n+2+4.Sn是递增数列,Sn的最小值等于S1=4.专题一专题二专题三2.方程思想等差(比)数列的通项公式与前n项和公式中含有a1,n,d(q),an,Sn这
12、五个基本量,已知其中任意三个,通过解方程可以求出其余两个.应用12等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则an的公比q为.解析:等比数列an的前n项和为Sn,由S1,2S2,3S3成等差数列,an=a1qn-1,得4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),专题一专题二专题三3.分类讨论思想当数列问题所给的对象不宜进行统一研究或推理时,需通过分类来解决,如运用等比数列求和公式时,需对q分q=1和q1两种情况进行讨论;an与Sn的关系需分n=1和n2两种情况讨论;等差数列的单调性需分d0,d=0和d0(或a11,q=1,0q1,q0
13、四种情况讨论.专题一专题二专题三应用13数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*).(1)求数列an的通项an;(2)求数列nan的前n项和Tn.解:(1)an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn.又S1=a1=1,数列Sn是首项为1,公比为3的等比数列,Sn=3n-1(nN*).当n2时,an=2Sn-1=23n-2(n2),专题一专题二专题三(2)Tn=a1+2a2+3a3+nan.当n=1时,T1=1;当n2时,Tn=1+430+631+2n3n-2,3Tn=3+431+632+2n3n-1,-,得-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3n-1又T1=a1=1也满足上式,