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1、参考答案与评分建议第 1 页（共 10页）2024 届高三第三次调研测试数学参考答案与评分建议一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合1|2Mx xkkZ，|12kNx xkZ，则AMNBNMCMNDMN【答案】A2 已知三个单位向量，a b c满足abc，则向量，b c的夹角为A6B3C23D56【答案】C3 某同学测得连续 7 天的最低气温分别为 1，2，2，m，6，2，8（单位），若这组数据的平均数是中位数的 2 倍，则m A2B3C6D7【答案】D4 已知z为复数，则“zz”是“22zz=”的A充分非必
2、要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件【答案】A5 已知cos3cos44，则sin2A35B45C35D45【答案】B6 设数列na的前n项和为nS，若2nnSna，则7a A65B127C129D255【答案】B参考答案与评分建议第 2 页（共 10页）7 已知函数()f x的定义域为R，且(1)f x 为偶函数，(2)1f x 为奇函数若(1)0f，则261()kf kA23B24C25D26【答案】C8 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为 2，8，侧棱长为3 5，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为A12B27C649D643【答案】D二、选择题：本题共 3 小题，每小
3、题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9 已知()2sin 24f xx，则A()()fxf xB3()()8fxf xC(0)4x，()1f x D(0)4x，()0fx【答案】AC10在正方体1111ABCDABC D中，P为1DD的中点，M是底面ABCD上一点，则AM为AC中点时，1PMACBM为AD中点时，PM 平面11ABCC满足123PMDD的点M在圆上D满足直线PM与直线AD成30角的点M在双曲线上【答案】BCD11已知12212loglog()2abab，则A22abab-+=+B22b
4、aab-+=+C121eba+D112 eab-【答案】AD参考答案与评分建议第 3 页（共 10页）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12若函数321()13f xxax在4x 处取得极大值，则实数a【答案】213已知随机变量2(4 4)XN，若(3)0.3P X，则(35)PX，若21YX，则Y的方差为【答案】0.46414已知12FF，是椭圆222:1xCya的左、右焦点，P是C上一点过点1F作直线1PF的垂线1l，过点2F作直线2PF的垂线2l若1l，2l的交点Q在C上（P Q，均在x轴上方），且8 55PQ，则C的离心率为【答案】32四、解答题：本题共 5
5、小题，共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）在ABC中，角ABC，的对边分别为abc，(2)coscosbcAaC（1）求A；（2）若ABC的面积为3，BC边上的高为 1，求ABC的周长【解】（1）因为(2)coscosbcAaC，由正弦定理，得(2sinsin)cossincosBCAAC，2 分即2sincossincossincosBAACCA，即2sincossinBAB 4 分因为在ABC中，sin0B，所以1cos2A又因为0A，所以3A 6 分（2）因为ABC的面积为3，所以1132a，得2 3a 8 分参考答案与评分建议第 4 页（共 10页）
6、由1sin32bcA，即31322bc，所以4bc 10 分由余弦定理，得2222cosabcbcA，即2212bcbc，化简得2()312bcbc，所以2()24bc，即2 6bc，所以ABC的周长为2 62 3abc13 分16（15 分）如图，在直三棱柱1 1 1ABCABC中，2ABBC，ABBC，12 3CC，1BEBB (01)（1）当13时，求证：CE 平面1ABC；（2）设二面角BAEC的大小为，求sin的取值范围（1）【证】（法一）因为在直棱柱1 1 1ABCABC中，1CCBC，1B BBC，所以在直角1C CB中，112 3tan32CCC BCBC，所以160C BC在
7、直角EBC中，12 333tan23BEECBBC，所以30BCE又因为190C BCBCE，所以1BCCE 3 分在直棱柱1 1 1ABCABC中，1BB 平面ABC，因为AB 平面ABC，所以1B BAB又ABBC，1B BBCB，BC平面11BCC B，1BB平面11BCC B，所以AB 平面11BCC BABCE1A1B1C参考答案与评分建议第 5 页（共 10页）又CE 平面11BCC B，所以ABCE 5 分又1ABBCB，AB 平面1ABC，1BC平面1ABC，所以CE 平面1ABC 7 分（法二）以BC，BA，1BB为基底建立如图所示空间直角坐标系，则(000)B，(200)C
8、，(020)A，1(2 02 3)C，(002 3)E，当13时，2 3(00)3E，所以(02 0)AB ，1(2 0 2 3)BC ，2 3(20)3CE ，3 分所以0AB CE ，10BCCE ，所以CEAB，1CEBC 5 分又1ABBCB，AB 平面1ABC，1BC平面1ABC，所以CE 平面1ABC 7 分（2）【解】(220)AC，(022 3)AE，设平面AEC的一个法向量为1()xyz，n，则1100ACAE，nn即22022 30 xyyz，不妨取1(331)，n10 分因为BC 平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为2(200)，n 11 分所以12212|3cos|
9、61nnnn，所以2222311sin1 cos12612(61)13 分又因为01，所以2sin(7 1)7，15 分ABCE1A1B1Czxy参考答案与评分建议第 6 页（共 10页）17（15 分）已知函数()(1)1kf xxkx（1k）（1）若1x，求()f x的最小值；（2）设数列na前n项和nS，若1(1)2nnna，求证：222nnnSn【解】（1）11()(1)(1)1kkf xkxkkx 2 分因为1x，1k，令()0fx，则1(1)10kx，所以0 x 3 分当10 x 时，1(1)1kx，所以()0fx，所以()f x在(1 0)，上单调递减；当0 x时，1(1)1kx
10、，所以()0fx，所以()f x在(0)，上单调递增 5 分所以()f x的最小值为(0)0f所以，1k 时，()f x在(1)，上的最小值为 0 7 分（2）当1n 时，1132aS，此时222nnnSn=当2n时，因为102n，由（1）知，1(1)122nnnnna，所以231232222nnnSn10 分设231232222nnnT=，则234111231222222nnnnnT=，两式相减，得23111111222222nnnnT=12 分11111()222112212nnnnn=，所以222nnnT=参考答案与评分建议第 7 页（共 10页）所以222nnnSn（2n）综上，对任意
11、nN，222nnnSn15 分18（17 分）已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为F，直线l过点F交C于A B，两点，C在A B，两点的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E当l的斜率为1时，8AB（1）求C的方程；（2）若点P的横坐标为2，求QE；（3）设C在点E处的切线与PA PB，分别交于点MN，求四边形ABNM面积的最小值【解】（1）由题意，直线 l 的斜率必存在设直线 l 的方程为2pykx，11()A xy，22()B xy，联立222pykxxpy，得2220 xpkxp，（*），所以1221202.xxpkx xp ，当1k 时，122xxp，3 分此时121
12、212()()()2822ppAByypxxpxxp，所以48p，即2p（另法：2212121212()4ABkxxxxx x222(2)4()48ppp，即2p）所以C的方程为24xy 5 分（2）由（1）知，AB 中点2(221)Qkk，7 分因为24xy,所以2xy，则直线 PA 方程为111()2xyyxx，即2111124yx xx，参考答案与评分建议第 8 页（共 10页）同理，直线 PB 方程为2221124yx xx，所以221212121144212()2Pxxxxxkxx，2112112()1444Px xxxx xy，所以(21)Pk，9 分因为2Px，22k=，即1k=
13、，此时(2 3)Q，(21)P，所以直线 PQ 的方程为2x，代入24xy，得1y，所以(2 1)E，所以2QE 11 分（3）由（2）知2(221)Qkk，(21)Pk，所以直线 PQ 方程为2xk，代入24xy，得22yk，所以2(22)Ekk，所以 E 为 PQ 的中点因为C在 E 处的切线斜率122ykk，所以C在 E 处的切线平行于 AB，又因为 E 为 PQ 的中点，所以34ABPABNMSS四边形13 分由（1）中（*）式得2440 xkx，所以124xxk，因为直线 AB 方程为1ykx,所以2121212(1)(1)2()444AByypkxkxk xxk又(21)Pk，到直
14、线 AB 的距离22222211khkk，15 分所以3222211(44)214(1)422ABPSAB hkkk，（当且仅当0k 时取“=”）所以334ABPABNMSS四边形，所以四边形 ABNM 的面积的最小值为 317 分参考答案与评分建议第 9 页（共 10页）19（17 分）“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显定义：随机变量X对应取值1x的概率为()iipP Xx，其单位为bit的熵为21()logniiiH Xpp，且11niip（当0ip，规定2log0iipp）（1）若抛掷一枚硬币 1 次，
15、正面向上的概率为(01)mm，正面向上的次数为X，分别比较12m 与14m 时对应()H X的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；（2）若抛掷一枚质地均匀的硬币n次，设X表示正面向上的总次数，Y表示第n次反面向上的次数（0 或 1）.11()p xy，表示正面向上1x次且第n次反面向上1y次的概率，如3n 时，1(0 1)8p，对于两个离散的随机变量XY，其单位为bit的联合熵记为2211()(0)log(0)(1)log(1)nniiiiiiH X Yp xp xp xp x，且11(0)(1)1nniiiip xp x，（i）当3n时，求()H XY，的值；（ii）求证：11()(3)
16、2nH X Ynn，【解】（1）12m 时，222211111()log1log1log12222iiiH Xpp （-）（-）+，14m 时，22222111113()log1log1log2log 344444iiiH Xpp （-）（-）+4 分因为3432，所以24log 33，所以232log 314 5 分说明硬币质地均匀时，抛掷正面向上的不确定性更大 6 分（2）（i）当3n时，()XY，的分布列：()X Y，(1 0)，(2 0)，(3 0)，(0 1)，(1 1)，(2 1)，p31()21321C()231()231()21321C()231()23313132222111
17、15()4()log()2 C()log(C()22222H X Y，+10 分参考答案与评分建议第 10 页（共 10页）（ii）当 Y=0 时，第 n 次正面向上，前1n 次中有1ix 次正面向上，所以111(0)C()2ixninp x，所以1122111111(0)log(0)C()log(C()22iiinnxxnniinnixp xp x，1211011C()log(C()22iiinxxnnnnx当 Y=1 时，第 n 次反面向上，前1n次中有ix次正面向上，所以11(1)C()2ixninp x，所以122111011(1)log(1)C()log(C()22iiinnxxnn
18、iinnixp xp x，13 分所以2211()(0)log(0)(1)log(1)nniiiiiiH X Yp xp xp xp x，1211011C()log(C()222iiinxxnnnnx 12110112C()log(C()22iiinxxnnnnx（）1121110012()Clog CC2iiiiinnxxxnnnnxxn（）11121101()Clog C22iiinxxnnnnxn 1121101()Clog C2iiinxxnnnxn15 分由3n，12222121110Clog C0(1)log(1)Clog C1iiinxxnnnnxnn，所以112111011()()Clog C(3)22iiinxxnnnnxH X Ynnn，17 分