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1、2016 届江苏省南通市、扬州市、泰州市高三第三次调研考试数学试题 数学 一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1,2,1,1,2 UA，则UC A .2.已知复数22zi（i为虚数单位），则z的共轭复数为 .3.如图是甲、乙两位同学在 5 次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .4.如图是一个算法流程图，则输出的S的值为 .5.已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则33:ab的值为 .6.将一颗骰子连续抛掷 2 次，向上
2、的点数分别为,m n，则点,P m n在直线12yx下方的概率为 .7.函数 12lgfxx的定义域为 .8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2221xya与抛物线212yx 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .9.已知两曲线)2,0(,sin3)(,cos)(xxxgxxf相交于点 A.若两曲线在点 A 处的切线与 x 轴分别相 交于 B，C 两点，则线段 BC 的长为_.10.如图，已知ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若3,5ABAC，则APAQABAC的值为 .11.设数列 na满足111,111nnaaanN，则10011kkka a的值为 .12.已知
3、函数 2,0,0f xxf xxax aRg xfxx（fx为 f x的导函数）.若方程 0g f x有四个不等的实根，则a的取值范围是 .13.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，顶点,C D在函数10yxxx的图像上.记,ABm BCn，则2mn的最大值为 .14.在平面直角坐标系xOy中，圆221:12Cxy，圆2221:Cxmymm，若圆2C上存在点P满足：过点P向圆1C作两条切线,PA PB切点为,A B，ABP的面积为 1，则正数m的取值范围是 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分 14 分）18.（本小题满分
4、 14 分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9 个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口ABCD为正方形，且面积大于214m（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值.19.（本小题满分 16 分）已知数列 na，nb均为各项都不相等的数列，nS为 na的前n项和，11nnnabSnN.（1）若11,2nnab，求4a的值；（2）若 na是公比为q的等比数列，求证：存在实数，使得nb为等比数列；（3）若 na的各
5、项都不为零，nb是公差为d的等差数列，求证：23,na aa成等差数列的充要条件是12d.20.（本小题满分 16 分）设函数 sin cosxf xxeaxx（aR，其中e是自然对数的底数）.（1）当0a 时，求 f x的极值；（2）若对于任意的0,2x，0f x 恒成立，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数 f x在区间0,2上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.南通市 2016 届高三第三次调研测试 数学 II（附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文
6、字说明，证明过程或演算步骤.A.【选修 4-1】几何证明选讲（本小题满分 10 分）在ABC中，2,ABC 的平分线交AB于点D，A的平分线交CD于点E.求证：AD BCBD AC.B.【选修 4-2：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线20 xy在矩阵1 1 2aA对应的变换作用下得到直线0,xyba bR，求ab的值.C.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos32sinxy（为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为6.若直线l与曲线C交于,A B，求线段A
7、B的长.D.【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知0,0,0 xyz，且1xyz，求证：333xyzxyyzxz.【必做题】第 22,23 题，每小题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.22.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线220ypx p上一点3,4Pm到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F.（1）求抛物线的方程；（2）若A为抛物线上一点（异于原点O），点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论.23.（本小题满分 10
8、 分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛2n nN局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 P n.（1）求 2P与 3P的值；（2）试比较 P n与1P n的大小，并证明你的结论.南通市 2016 届高三第三次调研测试 数学学科参考答案 一、填空题 1.0 2.34i 3.2 4.3 5.:3 6.16 7.1,10 因为MNMOM，MN 平面BMN，MO平面BMN,所以PA 平面BMN，因为PA 平面PAC，所以平面PAC平面BMN.17.（1）由条件，2222422acaabc，解得22ab，所以椭
9、圆的方程为22142xy，圆的方程为224xy.（方法一）直线l的方程为122yx，由2212224yxxy得：23440 xx.解得22,3Apxx，所以2 4,3 3P.所以22244 52333AP，又因为原点O到直线l的距离25d,所以48 52 455AQ，所以4 55368 55APAQ.（方法二）由222224xyxy得2340yy，所以85Py.所以455386APAQ;（2）（方法一）若PQAP，则1AQAP.设直线:2l yk x，由22242xyyk x得，22221840kxk.即22221420 xkxk，所以22242,21APkxxk，得222244,21 21k
10、kPkk.所以22222222224416 162212121kkkAPkkk，即224121kAPk，同理241AQk.所以，由题意：02k，所以10.（方法二）由方法一知，由题意：20k，所以01.18.（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为222 142xx m.因为14ABCDS四边形，所以2144x，即152x.又因为四根木条将圆分成 9 个区域，所以2x.所以4 22 15x;（2）（方法一）设AB所在木条长为am，则BC所在木条长为3a m.因为0,2,30,2aa，所以1,2a.222243234 114436242044ABCDaaSaaaaaa矩形.设 4326242
11、0f aaaaa，3241822421 234faaaaaaa.令 0fa，得32a，或1a （舍去），或4a（舍去）.列表如下：a 31,2 32 3,22 fa+0-f a 极大值 所以当32a 时，max349216fxf，即max74S（方法二）设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm.由条件，2+26ab，即3ab.因为,0,2a b，所以30,2ba，从而,1,2a b.由于222 1,2 144baABBD，22224 114444ABCDbaSba矩形.因为22222887244224ababba，当且仅当31,22ab时，74ABCDS矩形.答：窗口ABCD面积的最大值为
12、274m.19.（1）由11,2nnab，知2344,6,8aaa.（2）（方法一）因为11nnnabS，所以11111nnnaqa q bq.所以11111nnnqq bqaq，即1111111nnbqaqq，所以存在实数11 q，使得11111nnbqaq，又因为0nb（否则 nb为常数数列与题意不符），所以当2n，11nnbbq，此时nb为等比数列，所以存在实数11 q，使nb为等比数列.（方法二）因为11nnnabS，所以当2n时，111nnna bS，-得，当2n时，11nnnnnaba ba，由得，当2n时，111111nnnnnnnaabbbaaqq，所以111111nnbbqq
13、q，又因为101nbq（否则 nb为常数数列与题意不符），所以存在实数11 q，使nb为等比数列.（3）因为 nb为公差为d的等差数列，所以由得，当2n时，1nnnnnababda,即11nnnnaabd a，因为 na，nb各项均不相等，所以10,10nnaad,所以当2n时，11nnnnbadaa,当3n 时，1111nnnnbadaa,由-，得当3n 时111111nnnnnnnnaabbdaaaadd,先证充分性：即由12d 证明23,na aa成等差数列,因为12d，由得1111nnnnnnaaaaaa,所以当3n 时，1111nnnnnnaaaaaa,又0na，所以11nnnnaa
14、aa 即23,na aa成等差数列.再证必要性：即由23,na aa成等差数列证明12d.因为23,na aa成等差数列，所以当3n 时，11nnnnaaaa,所以由得，11111111nnnnnnnnnnnnaaaadaaaaaaaad 所以12d，所以23,na aa成等差数列的充要条件是12d.20.（1）当0a 时，,1xxf xxefxex,令 0fx，得1x .列表如下：x,1 -1 1,fx+0-f x 极小值 所以函数 f x的极小值为 11fe，无极大值.（2）当0a 时，由于对于任意0,2x，有sin cos0 xx,所以 0f x 恒成立，当0a 时，符合题意；当01a时
15、，因为 01cos20 1cos010 xfxexaxeaa,所以函数 f x在0,2上为增函数，所以 00f xf，即当01a，符合题意；当1a 时，010fa，41044fe,所以存在0,4，使得 0f，且在0,内，0fx,所以 f x在0,上为减函数，所以 00f xf,即当1a 时，不符合题意.综上所述，a的取值范围是,1.（3）不存在实数a，使得函数 f x在区间0,2上有两个零点，由（2）知，当1a 时，f x在0,2上是增函数，且 00f，故函数 f x在区间0,2上无零点.当1a 时，1cos2xfxexax,令 1cos2xg xexax，22 sin2xgxexax,当0,
16、2x时，恒有 0gx，所以 g x在0,2上是增函数,由 2010,1022gagea,故 g x在0,2上存在唯一的零点0 x，即方程 0fx 在0,2上存在唯一解0 x,且当00,xx时，0fx，当0,2xx，0fx,即函数 f x在00,x上单调递减，在0,2x上单调递增，当00,xx时，00f xf，即 f x在00,x无零点；当0,2xx时，200,022f xffe,所以 f x在0,2x上有唯一零点，所以，当1a 时，f x在0,2上有一个零点.综上所述，不存在实数a，使得函数 f x在区间0,2上有两个零点.数学 II（附加题）21.A.因为2,CABB AE 为CAB的平分线
17、，所以CAEB.又因为CD是C的平分线，所以ECADCB.所以ACDBCD，所以AEACBDBC，即AE BCBD AC.又因为,AEDCAEECAADEBDCB ,所以AEDADE，所以ADAE.所以AD BCBD AC.B.设,P x y是直线20 x 上一点，由1 1 22axxayyxy ，得20 xayxyb.故四边形AEBF为平行四边形，再由抛物线的定义，得AFAE，所以四边形AEBF为菱形.23.（1）若甲、乙比赛 4 局甲获胜，则甲在 4 局比赛中至少胜 3 局，所以 44344411522216PCC，同理 6664566661115322216PCCC.（2）在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n局，故 222122222111222nnnnnnnnnP nCCC 22122222222211112122222nnnnnnnnnnnnnnCCCCC，所以1222211122nnnCP n.又因为2222112222222!441214!2122!22212121!1!nnnnnnnnnnnCnnCn nnCCnnnnn，所以122222222nnnnnnCC，所以 1P nP n.