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1、2024中考冲刺：代数综合问题(基础)一、选择题1. 如图所示，已知函数和ykx(k0)的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是( )A B C D2.（2016河北模拟）如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EFy轴，分别交反比例函数和的图象于点E、F，且，连接OE、OF，有下列结论：这两个函数的图象关于x轴对称；EOF的面积为（k1k2）；当EOF=90时，其中正确的是（）A B C D3下列说法中若式子有意义，则x1.已知=27，则的补角是153.已知x=2 是方程x2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8.在反比例函数中，若x0 时，y 随x 的增大而增大
2、，则k 的取值范围是k2. 其中正确的命题有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个二、填空题4如图所示，是二次函数(a0)和一次函数(n0)的图象，观察图象写出y2y1时，x的取值范围_ 5已知二次函数若此函数图象的顶点在直线y-4上,则此函数解析式为_6. （2016历下区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；4a+2b+c0；b24ac0；ba+c；a+2b+c0，其中正确的结论有_三、解答题7（北京校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2（m+1）x+1=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数
3、，求m的整数值；（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx2（m+1）x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=x上有一个动点P求使PA+PB取得最小值时的点P的坐标，并求PA+PB的最小值8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好某一天小迪有20分钟时间可用于学习假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反
4、思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?9. 已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值10. 已知：关于x的一元二次方程，其中（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,若点D的坐标为（0，-2）,且ADBD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E（a，）、F（2a，y
5、）、G（3a，y）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系2.【答案】B；【解析】点E在反比例函数的图象上，点F在反比例函数的图象上，且，k1=OAEA，k2=OAFA，这两个函数的图象不关于x轴对称，即错误；点E在反比例函数y1=的图象上，点F在反比例函数y2=的图象上，SOAE=k1，SOAF=k2，SOEF=SOAE+SOAF=（k1k2），即正确；由可知，错误；设EA=5a，OA=b，则FA=3a，
6、由勾股定理可知：OE=，OF=EOF=90，OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，b2=15a2，=，正确综上可知：正确的结论有3.【答案】B；【解析】若式子有意义，则x1，错误；由=27得的补角是=180-27=153，正确.把x=2 代入方程x2-6x+c=0得4-62+c=0，解得c=8，正确；反比例函数中，若x0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-20，k2，错误.故选B.二、填空题4.【答案】-2x1；【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系5.【答案】，；【解析】顶点在直线y-4上，m1此函数解析式为：，6.【答案】；【解析】抛物线开口朝下，
7、a0，对称轴x=1，b0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c0，abc0，故正确；根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c0，故正确；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，故错误；根据图象知道当x=1时，y=ab+c0，a+cb，故正确；对称轴x=1，b=2a，a+2b+c=3a+c，a0，c0，a+2b+c=3a+c0，故正确故答案为：三、解答题7.【答案与解析】（1）证明：由题意得m0， =（m+1）24m1=（m1）20， 此方程总有两个实数根；（2）解：方程的两个实数根为x=， x1=1，x2=， 方程的两个实数根都是整数，且m为整数， m=1；（3）由（2）知，m=1
8、抛物线y=mx2（m+1）x+1的开口向上， m=1， 则该抛物线的解析式为：y=x22x+1=（x1）2 易求得A（1，0），B（0，1） 如图，点B关于直线y=x的对称点C的坐标为（1，0），连接AC，与直线y=x的交点即为符合条件的点P此时点P与原点重合，则P（0，0）所以PA+PB=AC=28.【答案与解析】（1）设ykx，当x1时，y2，解得k2，y2x(0x20)（2）当0x4时，设ya(x-4)2+16 由题意，a-1，y-(x-4)2+16， 即当0x4时，当4x10时，y16（3）设小迪用于回顾反思的时间为x(0x10)分钟，学习收益总量为y，则她用于解题的时间为(20-x)
9、分钟 当0x4时，当x3时， 当4x10时，y16+2(20-x)56-2xy随x的增大而减小，因此当x4时， 综上，当x3时，此时20-x17 答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大9.【答案与解析】解：（1）因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等 所以抛物线对称轴，所以（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0 因为，=16-8=80 所以，方程有两个不同的实数根，分别是，（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式 为 若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可 由=0，
10、得 又是正整数，所以的最小值为210.【答案与解析】解：（1）将原方程整理，得， =0 或（2）由（1）知，抛物线与轴的交点分别为（m，0）、（4,0）， A在B的左侧，. A（m，0），B（4,0）. 则， ADBD=10， AD2BD2=100. . 解得. ， . ，. 抛物线的解析式为.（3）答：存在含有、y、y，且与a无关的等式， 如：（答案不唯一）. 证明：由题意可得，. 左边=. 右边=4 =. 左边=右边. 成立.中考冲刺：代数综合问题(提高)一、选择题1. 如图，已知在直角梯形AOBC中，ACOB，CBOB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F
11、、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（ ）A点G B点E C点D D点F2已知函数y=，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）A0 B1 C2 D33.（2016秋重庆校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（1，0），下列结论：abc0；4acb2=0；a2；4a2b+c0其中正确的个数是（）A1 B2 C3 D4二、填空题4若a+b-2-4=3-c-5，则a+b+c的值为_.5已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1x2内有一实数根，则实数k的取值
12、范围是_6. （和平区校级期中）关于x的方程，2kx2-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k的的取值范围是_.三、解答题7（2016梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2（1）求实数k的取值范围（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=x1x2，求k的值8. 已知关于的一元二次方程（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解（3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时
13、，求点的坐标 9. 抛物线，a0，c0，（1）求证：；（2）抛物线经过点，Q 判断的符号； 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），请说明，10. 已知：二次函数y=（1）求证：此二次函数与x轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数与的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与、的图象分别交于点C、D，若CD=6，求点C、D的坐标.答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】在直角梯形AOBC中ACOB，CBOB，OB=18，BC=12，AC=9点A的坐标为（
14、9，12）点G是BC的中点点G的坐标是（18，6）912=186=108点G与点A在同一反比例函数图象上，故选A2.【答案】D；【解析】函数y=的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，k=3故选D3.【答案】B；【解析】抛物线开口朝上，a0抛物线的对称轴为x=1，b=2a0当x=0时，y=c+22，c0abc0，错误；抛物线与x轴只有一个交点，b24a（c+2）=b24ac8a=0，b24ac=8a0，错误；抛物线的顶点为（1，0），抛物线解析式为y=a（x+1）2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2，a=c+22，正确；b=2a，c0，4a2b+c=c0，正确故选
15、B二、填空题4.【答案】20；【解析】整理得：（a-1-2+1）+（b-2-4+4）+（c-3-6+9）=0（-1）2+（-2）2+（-3）2=0，=1，=2，=3，a1，b2，c3，a=2，b=6，c=12，a+b+c=20故答案为： 205.【答案】【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y= x2+（k-5）x+9图象开口向上，与x轴的一个交点的横坐标在1x2内，故有两种情况，分析得出结论.6.【答案】k0或k-2.【解析】设y=2kx2-2x-3k,方程2kx2-2x-3k=0d的两根一个大于1，一个小于1，当k0，抛物线开口向上，x=1时，y0，即2k-2-3k0，解得k-2，
16、k0当k0，抛物线开口向下，x=1时，y0，即2k-2-3k0，解得k-2. k-2k的取值范围为：k0或k-2.三、解答题7.【答案与解析】解：（1）原方程有两个不相等的实数根，=（2k+1）24（k2+1）0，解得：k，即实数k的取值范围是k；（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=（2k+1），x1x2=k2+1，又方程两实根x1、x2满足x1+x2=x1x2，（2k+1）=（k2+1），解得：k1=0，k2=2，k，k只能是28.【答案与解析】（1）证明： 不论取何值时，即不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根（2）将代入方程，得 再将代入，原方程化为，解得（3）将代入得抛物线：，将
17、抛物线绕原点旋转得到的图象的解析式 为： 设，则， 当时，的长度最小， 此时点的坐标为9.【答案与解析】（1）证明：， a0，c0， ， （2）解： 抛物线经过点P，点Q， ，a0，c0， ， 0 0 由a0知抛物线开口向上 ， 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方 点A，B的坐标分别为A，B（点A在点B左侧）， 由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标满足 （如图所示） 抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知， ，即10.【答案与解析】（1）证明：令，则有 = ，0 二次函数y=与x轴有交点（2）解：解法一：由，方程可化为 解得： 方程有一个实数根为1 解法二：由，方程可
18、化为 当x=1时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0 方程右边=0 左边=右边 方程有一个实数根为1（3）解：方程的根是： 当=2时， 设点C（）则点D（） CD=6 ， C、D两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）冲刺：几何综合问题(基础)一、选择题1.（2016天水）如图，边长为2的等边ABC和边长为1的等边ABC，它们的边BC，BC位于同一条直线l上，开始时，点C与B重合，ABC固定不动，然后把ABC自左向右沿直线l平移，移出ABC外（点B与C重合）停止，设ABC平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）A B C
19、D2. 如图，将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）直角边DE交BC于点G如果BG=4，EF=12，BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 28二、填空题3.（2016海淀区二模）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为_ m4. 如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC
20、、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形（AMC和CNB），则当BC=_cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小三、解答题5. 有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45的直角三角形纸板，它的斜边长12cm如图，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合；将直尺沿AB方向平移（如图），设平移的长度为xcm（0x10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2（1）当x=0时（如图），S=_；（2）当0x4时（如图），求S关于x的函数关系式；（3）当4x6时，求S关于x的函数关系式；（4）直接写出S的最大值6. 问题情境：如图，在ABD与C
21、AE中，BD=AE,DBA=EAC,AB=AC,易证：ABDCAE.（不需要证明）特例探究：如图,在等边ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE,AD与CE交于点F.求证：ABDCAE归纳证明：如图，在等边ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AEABD与CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由拓展应用：如图，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上若BD=AE，BAC=50，AEC=32，求BAD的度数7. 如图正三角形ABC的边长为6cm,O的半径为rcm，当圆心O从点A出发，沿着线路
22、ABBCCA运动，回到点A时，O随着点O的运动而移动.若r=cm,求O首次与BC边相切时，AO的长；在O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数；设O在整个移动过程中，在ABC内部，O未经过的部分面积为S，在S0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围. 8. （2015德州）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPC=A=B=90，求证：ADBC=APBP（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验
23、解决问题：如图3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足DPC=A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值9. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=12 cm，BC=9 cm，DC=13 cm，点P是线段AB上一个动点.设BP为x cm，PCD的面积为y cm2（1）求AD 的长；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）在线段AB上是否存在点P，使得PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由. 10. 如图，
24、平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，A=60，点P从点A出发沿边线ABBC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当P与C重合时停下运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式. 答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】如图1所示：当0x1时，过点D作DEBCABC和ABC均为等边三角形，DBC为等边三角形DE=BC=xy=BCDE=x2当x=1时，y=，且抛物线的开口向上如图2所示：1x2时，过点A作AEBC，垂足为Ey=BCAE=1=函数图象是一条平行与x轴的线段如图3所示：2x3时，
25、过点D作DEBC，垂足为Ey=BCDE=（x3）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上故选：B2.【答案】B.二、填空题3.【答案】134.4.【答案】4.三、解答题5.【答案与解析】（1）由题意可知： 当x=0时， ABC是等腰直角三角形， AE=EF=2， 则阴影部分的面积为：S=22=2； 故答案为：2；（2）在RtADG中，A=45， DG=AD=x，同理EF=AE=x+2， S梯形DEFG=（x+x+2）2=2x+2 S=2x+2；（3）当4x6时（图1）， GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x， 则SADG=AD.DG=x2， SBEF=（10-x）2，
26、而SABC=126=36， SBEF=（10-x）2， S=36-x2-（10-x）2=-x2+10x-14， S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11， 当x=5，（4x6）时，S最大值=11（4）S最大值=116.【答案与解析】特例探究：证明：ABC是等边三角形，AB=AC，DBA=EAC=60，在ABD与CAE中，ABDCAE（SAS）；归纳证明：ABD与CAE全等理由如下：在等边ABC中，AB=AC，ABC=BAC=60，DBA=EAC=120在ABD与CAE中，ABDCAE（SAS）；拓展应用：点O在AB的垂直平分线上，OA=OB，OBA=BAC=50，EAC=DBC在ABD与
27、CAE中，ABDCAE（SAS），BDA=AEC=32，BAD=OBA-BDA=187.【答案与解析】（1）设O首次与BC相切于点D，则有ODBC 且OD=r= 在直角三角形BDO中， OBD=60， OB=2 AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；（2）由正三角形的边长为6厘米可得出它的一边上的高为3厘米 当O的半径r=3厘米时，O在移动中与ABC的边共相切三次，即切点个数为3； 当0r3时，O在移动中与ABC的边相切六次，即切点个数为6； 当r3时，O与ABC不能相切，即切点个数为0（3）如图，易知在S0时，O在移动中，在ABC内部为经过的部分为正三角形 记作ABC，这个正三角形的三边分别
28、于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r 连接AA，并延长AA，分别交BC，BC于E，F两点 则AFBC，AEBC，且EF=r 又过点A作AGAB于G，则AG=r GAA=30， AA=2x ABC的高AE=AF-3r=9-3r， BC= AE=2（3-r） ABC的面积S=BC.AE=3（3-r）2 所求的解析式为S=3（3-r）2（0r3）8.【答案与解析】解：（1）如图1， DPC=A=B=90， ADP+APD=90， BPC+APD=90， ADP=BPC， ADPBPC， =， ADBC=APBP； （2）结论ADBC=APBP仍然成立 理由：如图2， BPD=DPC+BPC，
29、BPD=A+ADP， DPC+BPC=A+ADP DPC=A=B=， BPC=ADP， ADPBPC， =， ADBC=APBP； （3）如图3， 过点D作DEAB于点E AD=BD=5，AB=6， AE=BE=3 由勾股定理可得DE=4 以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切， DC=DE=4， BC=54=1 又AD=BD， A=B， DPC=A=B 由（1）、（2）的经验可知ADBC=APBP， 51=t（6t）， 解得：t1=1，t2=5， t的值为1秒或5秒9.【答案与解析】BC于点E 据题意知，四边形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE. 在RtDEC中，DEC=90，DE=12
30、，CD=13， EC=5 AD=BE=BC-EC=4（2）若BP为x，则AP=12-x. SBPC=BPBC=x. SAPD=APAD=24-2x. SPCD=S梯形ABCD-SBPC-SAPD=78-x-24+2x=-x+54. 即 y=-x+54，0x12. 当x=0时，y取得最大值为54 cm2.（3）若PCD是直角三角形，BCP90，PCD90 分两种情况讨论，如图2. 当DPC=90时 APD+BPC=90，BPC+PCB=90， APD=PCB. APDBCP. .即.解得x=6. APD=BPC=45的情况不存在，不考虑. 当P1DC=90时， 在 RtP1BC中，P1C2=BP
31、12+BC2=x2+92， 在 RtP1AD中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42， P1DC=90，CD2+P1D2=P1C2. 即132+(12-x)2+42=x2+92.解得. 综上，当x=6或，PCD是直角三角形.10.【答案与解析】当Q点与D点重合时，AQ=AD=6，此时AP=AQ=3=t当P与B点重合时，t=10，当 P点运动到C时，t=16，分三类情况讨论（1）当0t3时，如图： AP=t，PQ=t， S=APPQ=t2（2）当3t10时，示意图： 过D作DHAB于H，AD=t， 则 DH=ADsinA=6=3，AH=ADcosA=3 DQ=PH=AP-AH=t-3
32、 S=(AP+DQ)DH =(t+t-3)3=3t-（3）当10t16时，如图： AB+BP=t CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t CQ=CP=8- QP=CQ=8-t S=SABCD-SCPQ =ABh-CQPQ =103-(8-)(8-) =30-(64-8t+) = 综上，.中考冲刺：几何综合问题(提高)一、选择题1. （2015春江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，OAC=90，ACOB，OA=4，AC=5，OB=6M、N分别在线段AC、线段BC上运动，当MON的面积达到最大时，存在一种使得MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为（）A（0，4
33、） B（3，4） C（，4） D（，3）2. 如图，ABC和DEF是等腰直角三角形，C=F=90，AB=2，DE=4点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止设点B，D之间的距离为x，ABC与DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（ ） A B C D二、填空题3. （2016绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DAB=CDB=90，ABD=45，DCA=30，AB=，则AE=_（提示：可过点A作BD的垂线）4. 如图，一块直角三角形木板ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动到ABC的位置，若BC=1cm，AC=cm，则顶点A运动到A时，点A所经过的路径是_cm三、解答题5.（2017莒县模拟）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于