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1、2024中考冲刺：代几综合问题(基础)一、选择题1.（2017河北一模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰RtABC，使BAC=90，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A B CD2. 如图，在半径为1的O中，直径AB把O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CDAB，垂足为E，OCD的平分线交O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（ ）二、填空题3. 将抛物线y12x2向右平移2个单位，得到抛物线的图象如图所示，P是抛物线y2对称轴上
2、的一个动点，直线xt平行于y轴，分别与直线yx、抛物线y2交于点A、B若ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t的值，则t_4. （2017宝山区一模）如图，D为直角ABC的斜边AB上一点，DEAB交AC于E，如果AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC=8，tanA=，那么CF：DF=_三、解答题5. 一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点,第三层每边有三个点依次类推.（1）试写出第n层所对应的点数；（2）试写出n层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？ 6. 如图，RtAB
3、C中，B=90，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止连接PQ设动点运动时间为x秒（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；（2）当x为何值时，PBQ为等腰三角形；（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由 7. 阅读理解：对于任意正实数a、b，结论：在a+b2（a、b均为正实数）中,若ab为定值p，则a+b2,只有当a=b时,a+b有最小值2根据上述内容，回答下列问题：（
4、1）若m0，只有当m=_时，有最小值，最小值为_；（2）探究应用：已知A（-3,0）、B（0，-4），点P为双曲线（）上的任一点，过点P作PC轴于点C，PD轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状 8. （深圳期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点（1）直接写出A、B的坐标；A_，B_；（2）是否存在点P，使得AOP的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）是否存在点P使得ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
5、9.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，)（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设S=PQ2（cm2）求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S=时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R的坐标10
6、已知：抛物线yx22xm-2交y轴于点A（0，2m-7）与直线yx交于点B、C（B在右、C在左）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若PMQ与抛物线yx22xm-2有公共点，求t的取值范围11. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且B
7、DBC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQMA的值最小？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.答案与解析【答案与解析】一、选择题1【答案】A. 【解析】作ADx轴，作CDAD于点D，若右图所示， 由已知可得，OB=x，OA=1，AOB=90，BAC=90，AB=AC，点C的纵坐标是y， ADx轴，DAO+AOD=180，DAO=90， OAB+BAD=BAD+D
8、AC=90，OAB=DAC， 在OAB和DAC中， OABDAC（AAS）， OB=CD，CD=x， 点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1， y=x+1（x0） 故选A2【答案】A 【解析】 解：连接OP， OC=OP， OCP=OPC OCP=DCP，CDAB， OPC=DCP OPCD POAB OA=OP=1， AP=y=（0x1） 故选 A二、填空题3. 【答案】1或3或； 【解析】 解：抛物线y1=2x2向右平移2个单位， 抛物线y2的函数解析式为y=2（x-2）2=2x2-8x+8， 抛物线y2的对称轴为直线x=2， 直线x=t与直线y=x、抛物线y2交于点A
9、、B， 点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2-8t+8）， AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|，AP=|t-2|， APB是以点A或B为直角顶点的等腰三角形， |2t2-9t+8|=|t-2|， 2t2-9t+8=t-2 2t2-9t+8=-（t-2） ， 整理 得，t2-5t+5=0， 解得 整理 得，t2-4t+3=0， 解得 t1=1，t2=3， 综上所述，满足条件的 t值为：1或3或 故答案为： 1或3或4. 【答案】6：5 【解析】DEAB，tanA，DE=AD， RtABC中，AC8，tanA， BC=4，AB=4， 又AED沿DE翻折，A恰好与B重合
10、， AD=BD=2，DE=， RtADE中，AE=5，CE=85=3， RtBCE中，BE=5， 如图，过点C作CGBE于G，作DHBE于H，则 RtBDE中，DH=2， RtBCE中，CG=， CGDH，CFGDFH， = 故答案为：6：5三、解答题5. 【答案与解析】解：（1）第n层上的点数为6（n1）（n2）（2）n层六边形点阵的总点数为1612186(n1)13n(n1)1（3）令3n(n1)1169，得n8.所以，它一共是有8层6. 【答案与解析】解：（1）B=90，AC=10，BC=6， AB=8 BQ=x，PB=8-2x；（2）由题意，得 8-2x=x， x=. 当x=时，PBQ
11、为等腰三角形；（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2， 则， 解得 x1=x2=2 假设成立，所以当 x=2时，四边形APQC面积的面积等于20cm27. 【答案与解析】解：（1）,；（2）探索应用：设P（，），则C（，0），D（0，）， CA，DB=+4, S四边形ABCD=CADB=(x+3) (+4), 化简得：S=2(x+)+12， x0,0,x+2=6，只有当x=时，即x=3，等号成立. S26+12=24, S四边形ABCD有最小值是24. 此时，P(3，4),C(3，0),D(0，4),AB=BC=CD=DA=5， 四边形是菱形.8. 【答案与解析】解：（1
12、）当x=0时，y=3即A 点坐标是（0，3），当y=0时，x+3=0，解得x=4，即B点坐标是（4，0）；（2）存在这样的P，使得AOP周长最小作点O关于直线x=1的对称点M，M点坐标（2，0）连接AM交直线x=1于点P，由勾股定理，得AM=由对称性可知OP=MP，CAOP=AO+OP+AP=AO+MP+AP=AO+AM=3+；（3）设P点坐标为（1，a），当AP=BP时，两边平方得，AP2=BP2，12+（a3）2=（14）2+a2化简，得6a=1解得a=即P1（1，）；当AP=AB=5时，两边平方得，AP2=AB2，12+（a3）2=52化简，得a26a15=0解得a=32，即P2（1，3
13、+2），P3（1，32）；当BP=AB=5时，两边平方得，BP2=AB2，即（14）2+a2=52化简，得a2=16解得a=4，即P4（1，4），P5（1，4）综上所述：P1（1，）；P2（1，3+2），P3（1，32）；P4（1，4），P5（1，4）9. 【答案与解析】解：（1）据题意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0） 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，）， ， ， y=x2+x+2；（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A连接AD，与对称轴的交点即为M A（0，2）、D（4，）， 直线AD的解析式为：y=x+2， 当x=1时，y=， 则M（1，）；（3）由图
14、象知：PB=22t，BQ=t，AP=2t， 在RtPBQ中，B=90， S=PQ2=PB2+BQ2， =（22t）2+t2， 即S=5t28t+4（0t1） 当S=时，=5t28t+4 即20t232t+11=0， 解得：t=，t=1（舍） P（1，2），Q（2，） PB=1 若R点存在，分情况讨论： （i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB， RQPB， 则R的横坐标为3，R的纵坐标为，即R（3，），代入y=x2+x+2，左右两边相等， 故这时存在R（3，）满足题意； （ii）假设R在PB的左边时，这时PR=QB，PRQB， 则R（1，）代入y=x2+x+2，左右两边不相等， 则R
15、不在抛物线上 综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R为顶点的四边形只能是口PQRB 则R（3，） 此时，点R（3，）在抛物线=-x2+x+2上10. 【答案与解析】解：（1）点A（0，2m7）代入y=x2+2x+m2， m2=2m7， 解得：m=5 故抛物线的解析式为y=x2+2x+3；（2）如图1，由， 得， B（，2），C（，2）B（，2）， 关于抛物线对称轴x=1的对称点为B（2，2）， 将B，C代入y=kx+b，得： ， 解得：， 可得直线BC的解析式为：， 由，可得， 故当F（1，6）使得BFE=CFE；（3）如图2，当t秒时，P点横坐标为t，则纵坐标为2t，则M（2t，2t）在抛
16、物线上时， 可得（2t）24t+3=2t，整理得出：4t2+2t3=0， 解得：， 当P（t，2t）在抛物线上时，可得t22t+3=2t，整理得出：t2=3， 解得：，舍去负值， 所以若PMQ与抛物线y=x2+2x+m2有公共点t的取值范围是11【答案与解析】解：（1）抛物线y=ax2+bx+4经过A（3，0），B（4，0）两点， ，解得， 所求抛物线的解析式为：y=x2+x+4；（2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ， A（3，0），B（4，0），C（0，4）， AC=5，BC=4，AB=7 BD=BC， AD=ABBD=74， CD垂直平分PQ， QD=DP，CDQ=CDP BD=BC，
17、 DCB=CDB CDQ=DCB DQBC ADQABC =， =， =， 解得DP=4， AP=AD+DP= 线段PQ被CD垂直平分时，t的值为； （3）如图2，设抛物线y=x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E点A、B关于对称轴x=对称， 连接BQ交该对称轴于点M 则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ， 当BQAC时，BQ最小，此时，EBM=ACO， tanEBM=tanACO=， =， =，解ME= M（，），即在抛物线y=x2+x+4的对称轴上存在一点M（，），使得MQ+MA的值最小中考冲刺：代几综合问题(提高)一、选择题1.（2016鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABC
18、D的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线ABM方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（） A BCD2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ）二、填空题3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为_4.（2016梧州）如图，在坐标轴上取点A1
19、（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是_三、解答题5. 如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动过点P作PEBC交AD于点E，连接EQ设动点运动时间为t秒（t0）（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形
20、吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行为什么？（3）当t为何值时，EDQ为直角三角形6如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OABC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒） （1）求线段AB的长；当t为何值时，MNOC？ （2）设CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有
21、最小值，最小值是多少？7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PA+PB=AB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_；（2）如图2，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR
22、周长的最小值8. 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x236向右平移a（0a10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DEOA交CN于E，设CD的长为m，PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不
23、存在，请说明理由9. 如图，直线y=kx1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tanOCB=（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx1上的一个动点当点A运动过程中，试写出AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：当点A运动到什么位置时，AOB的面积是；在成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由10. （2015成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C
24、，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结
25、论，不必证明或说明理由；（2）如图，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】A.【解析】分两种情况：当0t4时，作OGAB于G，如图1所示：四边形ABCD是正方形，B=90，AD=AB=BC=4cm，O是正方形ABCD的中心，AG=BG=OG=AB=2cm，S=APOG=t2=t（cm2），当t4时，作OGAB于G，如
26、图2所示：S=OAG的面积+梯形OGBP的面积=22+（2+t4）2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A2.【答案】A.三、填空题3.【答案】 （0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4.【答案】（23n1，0）.【解析】点B1、B2、B3、Bn在直线y=2x的图象上，A1B1=4，A2B2=2（2+4）=12，A3B3=2（2+4+12）=36，A4B4=2（2+4+12+36）=108，AnBn=43n1（n为正整数）OAn=AnBn，点An的坐标为（23n1，0）故答案为：（23n1，0）三、解答题5.【答案与解析】解：（1）
27、能，如图1，点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒 AP=1，BQ=1.25， AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3， PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75， PEBC， 解得PE=0.75， PEBC，PE=QD， 四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动， PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t， PQAB；（3）分两种情况讨论： 如图3，当EQD=90时，显然有EQ=PC
28、=4-t， 又EQAC， EDQADC ， BC=5，CD=3， BD=2， DQ=1.25t-2， 解得t=2.5（秒）； 如图4，当QED=90时，作EMBC于M，CNAD于N，则EM=PC=4-t， 在 RtACD中， AC=4，CD=3， AD=， CDA=EDQ，QED=C=90， EDQCDA， t=3.1（秒） 综上所述，当 t=2.5秒或t=3.1秒时，EDQ为直角三角形 6.【答案与解析】解：（1）过点B作BDOA于点D， 则四边形CODB是矩形， BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3 在RtABD中， 当时， ， ， 即（秒）（2）过点作轴于点，交的延长线于点， ， ，
29、 即， 即（） 由，得 当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）四边形ABCD是正方形， AC垂直平分BD， PB=PD， 由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE， 在ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A，连接AC，交OB于P， PA+PC的最小值即为AC的长， AOC=60 AOC=120 作ODAC于D，则AOD=60 OA=OA=2 AD= ；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ， 此时PQR周长的最小值等于MN 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，MOA=POA，NOB=
30、POB， MON=2AOB=245=90， 在RtMON中，MN=10 即PQR周长的最小值等于108.【答案与解析】解：（1）CN=CB=15，OC=9， ON=12，N（12，0）； 又AN=OAON=1512=3， 设AM=x 32+x2=（9x）2，x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（xa）236 则（12a）2=36 a1=6或a2=18（舍去） 抛物线l：y=（x6）236 解法二： x236=0， x1=6，x2=6； y=x236与x轴的交点为（6，0）或（6，0） 由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点， 所以y=x236向右平移6个单位得到抛物线
31、l：y=（x6）236；（3）由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点， 设直线MN的解析式为y=kx+b， 则，解得， y=x16， P（6，8）； DEOA， CDECON， ； S= a=0，开口向下，又m= S有最大值，且S最大= 9.【答案与解析】解：（1）y=kx1与y轴相交于点C， OC=1； tanOCB=，OB=；B点坐标为:； 把B点坐标为：代入y=kx1得：k=2；（2）S=，y=kx1， S=|2x1|；S=|x|；（3）当S=时，x=，x=1，y=2x1=1； A点坐标为（1，1）时，AOB的面积为； 存在 满足条件的所有P点坐标为：P
32、1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax22ax3a=0，解得x1=1，x2=3点A在点B的左侧，A（1，0），如图1，作DFx轴于F，DFOC，=，CD=4AC，=4，OA=1，OF=4，D点的横坐标为4，代入y=ax22ax3a得，y=5a，D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，直线l的函数表达式为y=ax+a（2）设点E（m，a（m+1）（m3），yAE=k1x+b1，则，解得：，yAE=a（m3）x+a（m3），SACE=（m+1）a（m3）a=（m）2a，有最大值a=，a=；（3）令ax22ax3a=ax+
33、a，即ax23ax4a=0，解得x1=1，x2=4，D（4，5a），y=ax22ax3a，抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），若AD是矩形的一条边， 由AQDP知xDxP=xAxQ，可知Q点横坐标为4，将x=4带入抛物线方程得Q（4，21a），m=yD+yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），四边形ADPQ为矩形，ADP=90，AD2+PD2=AP2，AD2=4（1）2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=4（1）2+（5a）2=52+（5a）2，4（1）2+（5a）2+（14）2+（26a5a）2=（11）2+（26a）2，即a2=，a0，a=，P1（1，）若AD是矩形的一条
34、对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，3a），m=5a（3a）=8a，则P（1，8a），四边形ADPQ为矩形，APD=90，AP2+PD2=AD2，AP2=1（1）2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（41）2+（8a5a）2=32+（3a）2，AD2=4（1）2+（5a）2=52+（5a）2，22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，a0，a=，P2（1，4）综上可得，P点的坐标为P1（1，4），P2（1，）11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立 证明：连结DE，DF ABC是等边三角形， AB=AC=BC 又D，E，F是三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线DE=DF=EF，FDE=60 又MDF+FDN=60， NDE+FDN=60， MDF=NDE 在DMF和DNE中，DF=DE，DM=DN， MDF=NDE， DMFDNE MF=NE（3）画出图形（连出线段NE）， MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）