大一上学期高数期末考试题.pdf

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1、20102010 级高等数学级高等数学(上上)A)A 解答解答一、填空题：一、填空题：(每题每题 3 3 分，共分，共 1818 分分)()(请将正确答案填入下表，否则不给分请将正确答案填入下表，否则不给分)x x2 2 1 1已知极限已知极限limlim axax b b 0 0，则常数，则常数a a,b b的值分别是的值分别是(空空 1)1)。x x x x 1 1 1 1 x x2 2b b x x 解：解：limlim axax b b limlim a a 0 0 x x x x 1 1x x x x x x 1 1x x 1-a=01-a=0a=1a=1 x x2 2 x x2 2

2、 b b limlim axax limlim x x x x x x 1 1x x x x 1 1 x x2 2 x x2 2 x x x x1 1 limlim limlim limlim 1 1 x x x x 1 1x x x x 1 1x x 1 1 1 1 x x或：或：x x2 2 (1 1 a a)x x2 2(a a b b)x x b b limlim axax b b 0 0 limlim x x x x 1 1x x x x 1 1 所以所以 1-a=0,a+b=01-a=0,a+b=0a=1,b=-1a=1,b=-1。或：或：x x2 2 x x2 2 1 11 1

3、limlim axax b b limlim axax b b x x x x 1 1 x x x x 1 1x x 1 1 1 1 1 1 limlim x x 1 1 axax b b limlim(1 1 a a)x x (1 1 b b)0 0 x x x x x x 1 1x x 1 1 所以所以 1-a=0,1+b=01-a=0,1+b=0a=1,b=-1a=1,b=-1。2 2函数函数f f(x x)x x 3 3的第一类间断点是的第一类间断点是(空空 2)2)。x x3 3 2 2x x2 2 3 3x x解：解：f(x)f(x)在在 x=3,0,-1x=3,0,-1 处无定义

4、，是间断点。处无定义，是间断点。limlimf f(x x)limlimx x3 3x x 3 3x x 3 31 1 limlim，x x3 3x x3 3 2 2x x2 2 3 3x xx x3 3x x(x x 1 1)()(x x 3 3)1212x=3x=3 是第一类间断点。是第一类间断点。x x 1 1limlimf f(x x)limlimx x 3 3 x x 1 1x x3 3 2 2x x2 2 3 3x xx=-1x=-1 是第二类间断点。是第二类间断点。limlimf f(x x)limlimx x0 0 x x 3 3 x x0 0 x x3 3 2 2x x2 2

5、 3 3x xx=0 x=0 是第二类间断点。是第二类间断点。1 1 f f2 2(x x)，则，则g g(x x)(空空 3)3)。1 1f f(x x)f f(x x)解：解：g g(x x)2 2f f(x x)f f(x x)2 22 22 2 1 1 f f(x x)1 1 f f(x x)3 3设函数设函数f f(x x)可导，可导，g g(x x)3 32 24 4设函数设函数y y 2 2x x axax 3 3在在x x 1 1处取得极值，则处取得极值，则a a (空空 4)4)。解：解：y y 6 6x x 2 2axax在在 x=1x=1 处取极值，则处取极值，则y y

6、2 22 2x x 1 1 0 0，即，即 6+2a=06+2a=0，解得，解得a a 3 3x x5 5设设e e是函数是函数f f(x x)的一个原函数，则不定积分的一个原函数，则不定积分 f f (x x)dxdx (空空 5)5)。word 文档 可自由复制编辑x x2 22 2解：解：f f(x x)dxdx e e C C2 2求导得求导得f f(x x)2 2xexex xx x则则 f f(x x)dxdx f f(x x)C C 2 2xexe C C6 6定积分定积分解：解：1 1 1 1 dxdx (空空 6)6)。x x 1 1 x x dxdx x x 2 2x x

7、1 1 x x 1 1 1 1 x x 1 1 x x2 22 22 22 21 12 22 2 1 1 1 1 x x2 2dxdx dxdx=2=2 1 1 1 1二、选择题：二、选择题：(每题每题 3 3 分分,共共 1515 分分)()(请将正确选项填入下表，否则不给分请将正确选项填入下表，否则不给分)1 1 2 2 x x sinsin,1 1设函数设函数f f(x x)x x 0 0,x x 0 0 x x 0 0，则，则f f(x x)在在x x 0 0处处(D D)。A.A.不连续也不可导不连续也不可导B.B.连续，但不可导连续，但不可导C.C.不连续，但可导不连续，但可导D.

8、D.连续且可导连续且可导解：解：limlimf f(x x)limlimx x sinsinx x0 0 x x0 02 21 1 0 0 f f(0 0)x xf f(x x)在在 x=0 x=0 处连续。处连续。1 1x x2 2sinsin 0 0f f(x x)f f(0 0)1 1x xf f(0 0)limlim limlim limlimx xsinsin 0 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0 x x 0 0 x x 0 0 x xf(x)f(x)在在 x=0 x=0 处可导。处可导。2 2设设f f(x x)可导，函数可导，函数y y f f(sin(sin x x

9、)，则微分，则微分dydy()。A.A.2 2sinsin x xf f (sin(sin x x)dxdxB.B.sinsin2 2x xf f (sin(sin x x)C.C.sinsin2 2x xf f (sin(sin x x)dxdxD.D.f f (sin(sin x x)dxdx解：解：d dy y d df f(sin(sin x x)f f(sin(sin x x)d dsinsin x x2 22 22 22 22 22 22 22 2 f f(sin(sin2 2x x)()(2 2sinsinxdxdsinsinx x)2 2sinsinx xf f(sin(sin

10、2 2x x)()(coxdcoxdx x)sinsin2 2x xf f(sin(sin2 2x x)dxdx3 3若函数若函数f f(x x)(x x 1 1)()(x x 2 2)()(x x 3 3)，则方程，则方程f f (x x)0 0的实根个数是的实根个数是()。A A3 3B.2B.2C.1C.1D.0D.0解：解：函数在函数在(-(-,+,+)上连续，上连续，且可导，且可导，又因为又因为 f(1)=f(2)=f(3)f(1)=f(2)=f(3)，由罗尔定理知在由罗尔定理知在(1,2),(2,3)(1,2),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即各区间之间至少各有一个根，即f

11、f(x x)=0=0 至少有至少有 2 2 个根。个根。但但f f(x x)是是 2 2 次多项式，至多有次多项式，至多有 2 2 个根。个根。所以所以f f(x x)=0=0 有有 2 2 个根。个根。f f (ln(ln x x)x xdxdx ()。1 11 1A.A.c cB.B.lnln x x c cC.C.c cD.D.lnln x x c cx xx xf f(ln(lnx x)1 1dxdx f f(ln(lnx x)d dlnlnx x f f(ln(lnx x)C C e e lnlnx x C C C C解：解：x xx x4 4设函数设函数f f(x x)e e x

12、x，则不定积分，则不定积分5 5在下列反常积分中收敛的是在下列反常积分中收敛的是()。A.A.C.C.0 0 1 1lnln x xdxdxdxdxB.B.2 2e ex xx x(ln(ln x x)e e 1 11 1dxdxdxdxD.D.1 1/2 2e ex xlnln x xx x(ln(ln x x)word 文档 可自由复制编辑解：解：A.A.B.B.C.C.1 1lnlnx xdxdx x x 1 1lnlnxdxdlnlnx x 1 12 2lnln x x2 2 1 1 e e 1 11 1 1 1 dxdx d dlnlnx x e e(ln(lnx x)2 2 lnl

13、nx x 1 1x x(ln(lnx x)2 2 e e e e e e 1 11 1 d dlnlnx x lnlnlnlnx x e e dxdx e elnlnx xx xlnlnx xD.D.1 1dxdx 1 1/2 2e ex x(ln(lnx x)x x0 0 1 1 1 12 2d dlnlnx x 2 2(ln(lnx x)1 1/2 2(ln(lnx x)e e3 3x x 三、三、(6(6 分分)求极限求极限limlim 2 2x x e e解：解：limlim 2 2x x e ex x0 0 1 1x x1 13 3x x 1 13 3x xx x limlim 1

14、1(2 2x x e ex x0 0 1 1)2 2x x e e3 3x x 1 1(2 2x x e e3 3x x 1 1)1 1x x.3 3 分分2 2x x e e3 3x x 1 1e e3 3x x 1 13 3x x 2 2 limlim 2 2 limlim 5 5由于由于limlim.2 2 分分x x0 0 x x0 0 x x0 0 x xx xx x所以所以limlim 2 2x x e ex x0 01 13 3x xx x1 1 limlim 1 1(2 2x x e ex x0 03 3x x 1 1)2 2x x e e3 3x x 1 1(2 2x x e

15、 e3 3x x 1 1)1 1x x=e e.1 1 分分5 5或或设设y y 2 2x x e e 1 13 3x xx x，则，则.1 1 分分1 11 1 分分lnln 2 2x x e e3 3x x.x x2 2 3 3e e3 3x x3 3x xln(ln(2 2x x e e3 3x x)2 2x x e elimlimlnlny y limlim limlim 5 5.2 2 分分x x0 0 x x0 0 x x0 0 x x1 1lnlny y 所以所以limlim 2 2x x e ex x0 0 1 13 3x xx x e ex x0 0limlim lnlny

16、y.2 2 分分 e e5 5 x x t tsinsinu u2 2dudu2 2d d y y 0 0确定函数确定函数 y y y y(x x),),求求2 2四、四、(6(6 分分)设设 dxdx2 2 y y coscost tdxdxdydy sinsint t2 2,2 2t tsinsint t2 2.解：解：2 2 分分dtdtdtdtdydydydydtdt 2 2t tsinsint t2 22 2 分分 2 2t t.2 2dxdxdxdxsinsint tdtdtd d dydy d d2 2y ydtdt dxdx 2 2 .2 2 分分2 22 2dxdxdxdxs

17、insint tdtdt五、计算下列不定积分：五、计算下列不定积分：(每题每题 5 5 分，共计分，共计 1010 分分)1 1 coscos2 2x xdxdx1 1 1 1 coscos2 2x xword 文档 可自由复制编辑1 1 coscos2 2x x1 1 coscos2 2x x1 11 1 coscos2 2x xdxdx dxdx dxdx解：解：.2 2 分分2 22 21 1 coscos2 2x x2 21 1 2 2coscos x x 1 1coscos x x1 1 (sec(sec2 2x x 1 1)dxdx.2 2 分分2 21 1.1 1 分分(tan(

18、tanx x x x)C C2 22 2 x xln(ln(x x x x2 2 1 1)x x 1 12 2dxdxdxdx ln(ln(x x x x2 2 1 1)2 2 x x2 2 1 11 1x x 1 12 2解：解：2 2x xln(ln(x x x x2 2 1 1)x x2 2 1 12 22 2.1 1 分分d d(x x2 2 1 1)=ln(ln(x x x x 1 1)d d x x 1 1.1 1 分分=x x 1 1ln(ln(x x x x 1 1)2 22 2 2 2 x x2 2 1 1 dxdx.1 1 分分=x x 1 1ln(ln(x x x x 1

19、 1)d dx x.1 1 分分.1 1 分分 x x2 2 1 1ln(ln(x x x x2 2 1 1)x x C C六、六、(12(12 分分)求函数求函数 f(x)=xef(x)=xe 的单调区间、凹凸区间、极值及拐点。的单调区间、凹凸区间、极值及拐点。解：解：f f(x x)e e(1 1 x x),),x x-x-x f f (x x)e e x x(x x 2 2).2 2 分分令令f f(x x)0 0，得，得 x=1x=1；.1 1 分分x x(-(-,1),1)1 1(1,+(1,+)f f(x x)+0 0-增增极大值极大值 e e减减.1 1 分分令令f f (x x

20、)0 0，得，得 x=2x=2；.1 1 分分x x(-(-,2),2)2 2(2,+(2,+)f f (x x)-0 0+-2-2f f(x x)凸凸拐点拐点 2e2e凹凹.1 1 分分函数函数 f(x)f(x)单调增区间是单调增区间是(-(-,1),1)；.1 1 分分函数函数 f(x)f(x)单调减区间是单调减区间是(1,+(1,+)。.1 1 分分-1-1当当 x=1x=1 时取极大值时取极大值 f(1)=ef(1)=e.1 1 分分函数函数 f(x)f(x)的图像在的图像在(-(-,2),2)是凸的；是凸的；.1 1 分分函数函数 f(x)f(x)的图像在的图像在(2,+(2,+)是

21、凹的。是凹的。.1 1 分分-2-2拐点是拐点是(2,2e(2,2e).1 1 分分七、计算下列定积分：七、计算下列定积分：(每题每题 5 5 分，共计分，共计 1010 分分)f f(x x)-1-11 1 2 2 2 2 2 20 02 22 21 1 coscos2 2x xdxdx1 1 coscos2 2x xdxdx.1 1 分分1 1(1 1 2 2sinsin2 2x x)dxdx.1 1 分分2 2sinsinx xdxdx.1 1 分分 2 2 2 2 2 2 0 00 0word 文档 可自由复制编辑 2 20 01 1 分分 2 2 2 2 coscosx x.=2 2

22、 2 2.1 1 分分 1 11 11 12 2dxdx 2.2.2 2 分分 0 01 1 secsec2 2x x coscos2 2x xdxdx1 1 coscos2 2x x 1 1 2 2d dtantanx x.1 1 分分0 02 2 tantan2 2x x 2 20 0 1 1 tantanx x 1 1 分分arctanarctan .2 2 2 2 0 01 1 .1 1 分分2 22 22 2 2 2 2 2八、八、(10(10 分分)设平面图形由曲线设平面图形由曲线y y sinsin x x(0 0 x x 2 20 0 2 20 0 2 2)和直线和直线x x

23、2 2及及y y 0 0围成。求：围成。求：此平面图形的面积；此平面图形绕此平面图形的面积；此平面图形绕x x轴旋转一周而成的旋转体的体积。轴旋转一周而成的旋转体的体积。解：解：S S 2 20 0 sinsinxdxxdx coscosx x 1 1.4 4 分分2 21 1 2 2V Vx x sinsin x xdxdx .6 6 分分4 42 2 2 21 13 3九、九、(8(8 分分)证明：当证明：当x x 0 0时，时，sinsin x x x x x x。6 61 13 3证明：当证明：当 x=0 x=0 时，时，sinsinx x x x x x。.1 1 分分6 61 13

24、 3当当 x0 x0 时，设时，设f f(x x)sinsinx x x x x x，.1 1 分分6 6则则 f(x)f(x)在在0,+0,+)上连续，在上连续，在(0,+(0,+)内可导，内可导，.1 1 分分且且 f(0)=0,f(0)=0,f f(x x)coscosx x 1 1 1 12 2x x。.1 1 分分2 2f f(x x)在在0,+0,+)上连续，在上连续，在(0,+(0,+)内可导，且内可导，且f f(0 0)0 0;f f (x x)sinsinx x x x。f f (x x)在在0,+0,+)上连续，在上连续，在(0,+(0,+)内可导，且内可导，且f f (0

25、 0)=0=0，f f (x x)coscosx x 1 1 0 0，因为在任意有限的区间内，因为在任意有限的区间内，f f (x x)只有有限个零点，所以只有有限个零点，所以f f (x x)在在0,+0,+)上单调递增，上单调递增，.1 1 分分当当 x0 x0 时，时，f f (x x)f f (0 0)0 0，所以，所以f f(x x)在在0,+0,+)上单调递增，从而上单调递增，从而f f(x x)f f(0 0)0 0，所以所以 f(x)f(x)在在0,+0,+)单调递增，单调递增，f(x)f(0)=0f(x)f(0)=0.1 1 分分1 13 3x x。.1 1 分分6 61 1

26、3 3总之，当总之，当x x 0 0时，时，sinsinx x x x x x。.1 1 分分6 6十十、(5(5 分分)设设 函函 数数f f(x x)，g g(x x)在在 a a,b b 上上 存存 在在 二二 阶阶 导导 数数，且且g g (x x)0 0，f f()f f ()f f(a a)f f(b b)g g(a a)g g(b b)0 0。证明：存在。证明：存在 (a a,b b)使得使得。g g()g g ()证：令证：令F F(x x)f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)，.2 2 分分即即sinsinx x x x word 文档 可自由复制

27、编辑因为因为f f(x x)，g g(x x)在在 a a,b b 上存在二阶导数，所以上存在二阶导数，所以F F(x x)在在a,ba,b上连续且可导，上连续且可导，.1 1 分分F F(x x)f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g (x x)f f (x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g (x x)f f (x x)g g(x x)又因为又因为f f(a a)f f(b b)g g(a a)g g(b b)0 0；故故F F(a a)f f(a a)g g(a a)f f(a a)g g(a a)0 0；F F(b b)f f(b

28、 b)g g(b b)f f(b b)g g(b b)0 0.1 1 分分所以由罗尔定理知存在所以由罗尔定理知存在 (a a,b b)使得使得F F()0 0，即，即f f()g g ()g g()f f ()0 0所以所以f f()f f ().1 1 分分g g()g g ()20102010 高等数学高等数学(上上)B)B 解答解答一、填空题：一、填空题：(每题每题 3 3 分，共分，共 1818 分分)2 2 sinsinx x x xsinsin=-2=-2。x x x x x x2 2 sinsin 2 2 1 1 sinsinx xx x=-2=-2 x xsinsin liml

29、im sinsinx x 2 2 解：解：limlim x x 2 2 x x x x x x x x x x x x2 2 2 2x x 3 32 2、函数、函数f f(x x)的间断点为的间断点为 x=3 x=3。x x 3 32 22 22 22 23 3、设函数、设函数y y sinsinx x，则，则 y y 2 2coscosx x 4 4x x sinsinx x。1 1、极限、极限limlim 解：解：y y (cos(cosx x)2 2x x 2 2x xcoscosx x2 22 2y y 2 2coscosx x2 2 2 2x x(sinsinx x2 2)2 2x

30、x 2 2coscosx x2 2 4 4x x2 2sinsinx x2 24 4、设函数、设函数y y 2 2x x axax 3 3在在 x=1x=1 处取得极值，则处取得极值，则 a=-3a=-3。解：解：y y 6 6x x 2 2axax，y y x x 1 1 0 0即即 6+2a=06+2a=0，解得，解得 a=-3a=-3x xx x5 5、设、设e e是函数是函数 f(x)f(x)的一个原函数，则不定积分的一个原函数，则不定积分 f f(x x)dxdx 2 2xexe C C。2 22 23 32 22 2解：解：f f(x x)e e e ex x2 2 x x2 2

31、2 2x x 2 2xexex x2 22 2x x f f(x x)dxdx f f(x x)C C 2 2xexe C C 6 6、定积分、定积分 2 2 2 2 2 20 0 x x x x coscosxdxxdx=2 2。2 20 0 2 2 2 2解：解：x x x x coscosxdxxdx 2 2 2 20 0 x xcoscosxdxxdx 2 20 0 2 2 xdxdsinsinx x 2 2 x xsinsinx x 2 2 sinsinxdxxdx 2 2 2 2 2 2 coscosx x 0 0 2 22 2二、选择题：二、选择题：(每题每题 3 3 分，共分，

32、共 1515 分分)word 文档 可自由复制编辑1 1 x xsinsin,x x 0 01 1、设函数、设函数f f(x x)在在(-(-,+,+)上连续，则上连续，则 a=Aa=A。x x ln(ln(a a x x2 2),x x 0 0 1 1A.1A.1B.eB.eC.2C.2D.D.e e1 1 解：解：f f(0 0)limlim f f(x x)limlim x xsinsin 0 0 x x0 0 x x0 0 x x2 2f f(0 0)limlim f f(x x)limlim ln(ln(a a x x)lnlna a x x0 0f f(x x)在在 x=0 x=0

33、 连续，连续，f f(0 0)f f(0 0)f f(0 0)lna=0lna=0，即，即 a=1a=12 22 2、设函数、设函数 f(x)f(x)可导，可导，y=f(xy=f(x)，则微分，则微分 dy=dy=。A.A.f f(x x)dxdxB.B.f f(x x)dxdxC.C.2 2x xf f(x x)dxdxD.D.2 2x x(f f(x x)dxdx解：解：dydy dfdf(x x)f f(x x)dxdx f f(x x)2 2xdxxdx=2 2x xf f(x x)dxdx3 3、设函数、设函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)f(x)=x(x-1)(x-2

34、)(x-3)，则方程，则方程f f(x x)0 0的实根个数是的实根个数是 B B。A.4A.4B.3B.3C.2C.2D.1D.1解：函数在解：函数在(-(-,+,+)上连续，且可导，又因为上连续，且可导，又因为 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)f(0)=f(1)=f(2)=f(3)，由罗尔定理知，由罗尔定理知在在(0,1),(1,2),(2,3)(0,1),(1,2),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即各区间之间至少各有一个根，即f f(x x)=0=0 至少有至少有 3 3 个根。个根。但但f f(x x)是是 3 3 次多项式，至多有次多项式，至多有 3 3 个是实根。个是实

35、根。所以所以f f(x x)=0=0 有有 3 3 个实根。个实根。4 4、不定积分、不定积分xexe dxdx=。A.A.(x x 1 1)e eC.C.(1 1 x x)e e x x x x2 22 22 22 22 22 22 22 22 2x x0 0 x x C CB.B.(x x 1 1)e e x x C C C CD.D.xexe x x C C解：解：xexe dxdx xdexde x x x x xexe x x e e x xdxdx xexe x x dede x x xexe x x e e x x C C (x x 1 1)e e x x C C5 5、在下列反

36、常积分中收敛的是、在下列反常积分中收敛的是 B B。1 1lnlnx xdxdxB.B.e ex x(ln(lnx x)2 2dxdx 0 0 x x 1 11 1dxdxD.D.C.C.dxdx1 1e ee ex xlnlnx xx x(ln(lnx x)2 2 lnlnx x 1 1dxdx lnlnxdxdlnlnx x (ln(lnx x)2 20 0 解：解：A.A.0 00 0 x x2 2A.A.d dlnlnx x1 1 1 1 dxdx 1 1B.B.2 22 2 e ee ex x(ln(lnx x)(ln(lnx x)lnlnx x e e d dlnlnx x1 1

37、dxdx lnlnlnlnx x e e C.C.e ee ex xlnlnx xlnlnx x d dlnlnx x 1 1D.D.dxdx 2 2 lnlnx x e e1 11 1 e ee ex x(ln(lnx x)2 2(ln(lnx x)2 2 word 文档 可自由复制编辑1 1x x。三、三、(6(6 分分)求极限求极限limlimx x0 0(1 1 coscosx x)ln(ln(1 1 x x)1 13 3sinsinx x x x2 2coscosx x解：解：limlimx x0 0(1 1 coscosx x)ln(ln(1 1 x x)1 12 23 3sins

38、inx x x x coscos1 1x x2 2 分分 limlim limlim3 3sinsinx x x x2 2coscosx x0 0(1 1 coscosx x)x x0 0 x x 1 1 sinsinx x1 1 3 32 2limlimx x0 0 3 3 x x x xcoscosx x 2 2 四、四、(6(6 分分)设函数设函数 y=y(x)y=y(x)由参数方程由参数方程 x x t t0 0sinsinu u2 2dudu确定，求二阶导数确定，求二阶导数d d2 2y y y y coscost t2 2dxdx2 2解：解：dxdx sinsint t2 2，d

39、ydydtdt (sinsint t2 2)2 2t t 2 2t tsinsint t2 2dtdtdydydydydtdtsinsint t2 21 1dxdx dxdx 2 2t tsinsint t2 2 2 2t tdtdtd d d d2 2y ydtdt dydy 1 1 dxdx 2 22 21 1dxdx2 2 dxdx t tsinsint t2 2 2 2t t2 2sinsint t2 2dtdt五、计算下列不定积分：五、计算下列不定积分：(每题每题 5 5 分，共计分，共计 1010 分分)1 1、1 1 coscos2 2x x1 1 coscos2 2x xdxd

40、x解：解：1 1 coscos2 2x x1 1 coscos2 2x x1 1 coscos2 2x xdxdx 1 1 2 2coscos2 2x x 1 1dxdx 1 12 2(sec(sec2 2x x 1 1)dxdx 1 12 2(tan(tanx x x x)C C2 2、x xtantan2 2xdxxdx解：解：x xtantan2 2xdxxdx x x(sec(sec2 2x x 1 1)dxdx x xsecsec2 2xdxxdx xdxxdx xdxdtantanx x 1 12 2x x2 2 x xtantanx x tantanxdxxdx 1 12 2x

41、x2 2 x xtantanx x lnln|coscosx x|1 12 2x x2 2 C Cword 文档 可自由复制编辑4 4 分分2 2 分分2 2 分分2 2 分分2 2 分分1 1 分分2 2 分分1 1 分分1 1 分分1 1 分分1 1 分分1 1 分分六、六、(12(12 分分)求函数求函数f f(x x)xexe解：解：f f(x x)e e2 2 x x2 2 x x的单调区间、函数曲线的凹凸区间、极值及拐点。的单调区间、函数曲线的凹凸区间、极值及拐点。xexe2 2 x x(1 1)(1 1 x x)e e2 2 x x1 1 分分x x令令f f(x x)0 0得得

42、 x=1x=1 1 1 分分(-(-,1,1(1,+(1,+1 1)f f(x x)+0 0-f(x)f(x)增增极大值极大值 e e减减2 2 分分在在 x=1x=1 处取得极大值处取得极大值 f(1)=ef(1)=e；1 1 分分所以函数在所以函数在(-(-,1,1上单调增加；在上单调增加；在1,+1,+)上单调减小；上单调减小；1 1 分分f f (x x)e e2 2 x x(1 1 x x)e e2 2 x x(1 1)(x x 2 2)e e2 2 x x1 1 分分令令f f (x x)0 0得得 x=2x=2 1 1 分分(-(-,2,2(2,+(2,+2 2)f f (x x

43、)-0 0+f(x)f(x)凸凸拐点拐点 2 2凹凹2 2 分分函数图像在函数图像在(-(-,2,2上是凸的；在上是凸的；在2,+2,+)上是凹的；上是凹的；1 1 分分拐点是拐点是(2,2)(2,2)。1 1 分分七、计算下列定积分：七、计算下列定积分：（每题（每题 5 5 分，共计分，共计 1010 分）分）x x1 1、2 20 0 2 20 01 1 sinsin2 2x xdxdx 2 20 01 1 2 2sinsinx xcoscosx xdxdx1 1 分分 sinsinx x coscosx xdxdx1 1 分分 (sin(sinx x coscosx x)dxdx (co

44、s(cosx x sinsinx x)dxdx1 1 分分 2 2 4 4 4 40 0 coscosx x sinsinx x sinsinx x coscosx x 1 1 分分 2 2 1 1 2 20 0 2 2 4 4 4 40 02 2 1 1 2 2(2 2 1 1)1 1 分分 1 11 12 2dxdx dxdx1 1 分分2 2、2 22 22 2 0 01 1 sinsin x xcoscos x x 2 2sinsin x x 1 1 2 2d dtantanx x2 2 分分0 01 1 2 2tantan2 2x x 1 12 2 arctanarctan2 2ta

45、ntanx x0 01 1 分分2 21 1 1 1 分分2 22 22 2 2 2 八、八、（1010 分）求由曲线分）求由曲线 y=sinxcosx,y=1,x=0y=sinxcosx,y=1,x=0 和和x x 所围成的平面图形的面积，并求由此所围成的平面图形的面积，并求由此2 2 图形绕图形绕 x x 轴旋转体的体积。轴旋转体的体积。解：解：A A 1 1 sinsinx xcoscosx x dxdx 2 20 0 1 1 1 11 1 5 5 分分 x x sinsin2 2x x 2 22 2 0 02 22 2 2 2word 文档 可自由复制编辑 2 2 2 2(sin(si

46、n2 2x x sinsin4 4x x)dxdxV Vx x 1 1(sin(sinx xcoscosx x)dxdx 0 02 2 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 (8 8 1 1)5 5 分分 2 2 2 2 2 24 4 2 2 2 2 2 216161616 2 20 0 2 2 九、证明：当九、证明：当 x0 x0 时，时，1 1 x xln(ln(x x 1 1 x x2 2)1 1 x x2 2。证：设证：设f f(x x)1 1 x xln(ln(x x 1 1 x x2 2)1 1 x x2 2，则，则 f(x)f(x)在在0,+0,+)上连续，在上连续，在(0,+

47、(0,+)内可内可导，且导，且 f(0)=0,f(0)=0,f f(x x)ln(ln(x x 1 1 x x2 2)x x 2 2x x 2 2x x 1 1 2 2 2 2 2 2x x 1 1 x x 2 2 1 1 x x 2 2 1 1 x x 1 1 x x2 2 x x 1 1x x2 2 ln(ln(x x 1 1 x x)x x2 2 2 22 2 x x 1 1 x x 1 1 x x 1 1 x x1 1 ln(ln(x x 1 1 x x2 2)0 0所以所以 f(x)f(x)在在00，+)上单调递增，当上单调递增，当 x0 x0 时，时，f(x)f(0)=0f(x)f

48、(0)=0，即，即1 1 x xln(ln(x x 1 1 x x2 2)1 1 x x2 2十、十、设设 f(x)f(x)在在0,10,1上连续，上连续，在在(0,1)(0,1)内可导，内可导，且且 f(0)=f(1)=0,f(0)=f(1)=0,f f()1 1。试证：试证：存在存在(0,1)(0,1)使得使得f f()=1)=1。证证：设设 F(x)=f(x)-xF(x)=f(x)-x，则则 F(x)F(x)在在0,10,1上上连连续，续，在在(0,1)(0,1)内内可可导，导，且且F F()1 12 21 12 21 1 0 0，2 2F(1)=f(1)-1=-10F(1)=f(1)-

49、1=-100B.B.f f(x x)在在 a a,b b 上单增且上单增且f f(b b)00C.C.f f(x x)在在 a a,b b 上单减且上单减且f f(b b)00D.D.f f(x x)在在 a a,b b 上单增，但上单增，但f f(b b)的符号无法确定的符号无法确定解：因为解：因为f f(x x)0 0，所以，所以f f(x x)单调减少单调减少;又因为又因为 abab，f(b)f(a)0f(b)f(a)0(0)=10所以所以 F(x)F(x)在在 x=0 x=0 处取得极小值，处取得极小值，F(0)=0F(0)=0。2 22 22 2 x x2 2 1 1 1 1 x x

50、 0 0 0 0 x x 1 1的间断点是的间断点是_。5 5函数函数f f(x x)x x 2 2 x x1 1 x x 2 2 f f(x x)limlim x x 1 1 1 1 f(0),x=0f(0),x=0 处间断处间断解：解：f f(0 0)limlim x x0 0 x x0 0 2 2 f f(1 1)limlimf f(x x)limlimx x 1 1 x x1 1x x1 1f f(1 1)limlimf f(x x)limlim(2 2 x x)1 1 x x1 1+x x1 1f(1f(1)=f(1)=f(1)=f(1),)=f(1),在在 x=1x=1 处连续处连