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1、专题14 立体几何（文科）-2024高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题14 立体几何（文科）考向一 线面夹角【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）A. B. AB与平面所成的角为C. D. 与平面所成的角为【答案】D【试题解析】【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，解得对于A，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，C错误；对于D，与平面所成角为，而，所以D正确 故选：D【命题意图】本题主要考查直线与平面夹角，是一道容
2、易题.【命题方向】这类试题在考查题型上选择题、填空题、解答题形式出现，试题难度不大，多为中低档题，重点考查线面夹角的求法问题.【得分要点】（1） 找斜线在平面中的射影；（2） 求斜线与其射影的夹角；考向二 线面平行、垂直的证明【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】 如图，四面体中，E为AC的中点（1）证明：平面平面ACD；（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积【试题解析】【小问1详解】由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】依题意，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，
3、所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.过作，垂足为，在中，解得，所以，所以.过作，垂足为，则，所以平面，且，所以,所以.【命题意图】本题考查线面平行、垂直的证明.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的必考题型常见的命题角度有：（1）线面平行的证明；（2）线面垂直的证明；（3）面面平行的证明；（4）面面垂直的证明.【得分要点】（1）利用线面、面面平行的判定定理与性质定理；（2）利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理.一、单选题1（2022内蒙古乌兰浩特一中模拟预测（文）已知为空间的两个平面，直线
4、，那么“”是“”的（）条件A必要不充分B充分不必要C充分且必要D不充分也不必要2（2022贵州贵阳一中模拟预测（文）在正方体中，M为的中点，则直线CM与所成的角为（）ABCD3（2022青海模拟预测）已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论错误的是（）A四面体ABCD的棱长均为2B异面直线AC与BD的距离为C异面直线AC与BD所成角为 D四面体ABCD的内切球的体积等于4（2022湖北华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线异面，直线平面D直线与直线相交，直线平面5（202
5、2安徽合肥市第八中学模拟预测）下列四个命题，真命题的个数为（）（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面；（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；（3）平行于同一个平面的两条直线平行；（4）a与b为空间中的两条异面直线，点A不在直线a，b上，则过点A有且仅有一个平面与直线a，b都平行A0B1C2D36（2022河南安阳模拟预测（文）如图，在四面体ABCD中，平面BCD，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（）ABCD7（2022四川成都模拟预测）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，A，B，C，D是该三棱锥表面上四个点，则
6、直线AC和直线BD所成角的余弦为（）A0BCD8（2022山东潍坊三模）我国古代数学名著九章算术中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形则球的表面积为（）ABCD二、填空题9（2022四川成都模拟预测（理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为_.10（2022上海普陀二模）已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为_.11（2022黑龙江佳木斯一中模拟预测（理）如图，在正方体中，点F是棱上的一个动点
7、，平面交棱于点E，则下列正确说法的序号是_.存在点F使得平面；存在点F使得平面；对于任意的点F，都有；对于任意的点F三棱锥的体积均不变.12（2022甘肃武威第六中学模拟预测（文）如图，在长方体中，是棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，给出下列结论：平面；三棱锥的体积为定值；平面；平面平面.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题13（2022四川成都模拟预测（文）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，(1) 求证：； (2)求到平面的距离14（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，是棱上一点(1)若，求证：平面(2)若，求点到平面
8、的距离15（2022贵州贵阳一中模拟预测（文）如图，四棱锥中，平面.M是CD中点，N是PB上一点.(1)若求三棱锥的体积；(2)是否存在点N,使得平面,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.专题14 立体几何（文科）考向一 线面夹角【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）A. B. AB与平面所成的角为C. D. 与平面所成的角为【答案】D【试题解析】【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，解得对于A，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B
9、错误；对于C，C错误；对于D，与平面所成角为，而，所以D正确 故选：D【命题意图】本题主要考查直线与平面夹角，是一道容易题.【命题方向】这类试题在考查题型上选择题、填空题、解答题形式出现，试题难度不大，多为中低档题，重点考查线面夹角的求法问题.【得分要点】（3） 找斜线在平面中的射影；（4） 求斜线与其射影的夹角；考向二 线面平行、垂直的证明【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】 如图，四面体中，E为AC的中点（1）证明：平面平面ACD；（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积【试题解析】【小问1详解】由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平
10、面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】依题意，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.过作，垂足为，在中，解得，所以，所以.过作，垂足为，则，所以平面，且，所以,所以.【命题意图】本题考查线面平行、垂直的证明.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的必考题型常见的命题角度有：（1）线面平行的证明；（2）线面垂直的证明；（3）面面平行的证明；（4）面面垂直的证明.【得分要点】（1）利用线面、面面平行的判定定理与性质定理；（2）利
11、用线面、面面垂直的判定定理与性质定理.一、单选题1（2022内蒙古乌兰浩特一中模拟预测（文）已知为空间的两个平面，直线，那么“”是“”的（）条件A必要不充分B充分不必要C充分且必要D不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.【详解】当直线，则，l与相交，故充分性不成立；当直线，且，时，故必要性成立，“”是“”的的必要不充分条件.故选：A.2（2022贵州贵阳一中模拟预测（文）在正方体中，M为的中点，则直线CM与所成的角为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】，所求角为，利用几何体性质，解即可【详解】设正方体棱长为1，连接与所成角即是与所成角
12、，为，故选：D3（2022青海模拟预测）已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论错误的是（）A四面体ABCD的棱长均为2B异面直线AC与BD的距离为C异面直线AC与BD所成角为 D四面体ABCD的内切球的体积等于【答案】C【解析】【分析】对于A, 设该四面体的棱长为a，表示出高，根据其外接球的体积等于，求得外接球半径，即可求得a,判断A;对于B, 分别取BD,AC的中点为E,F,连接EF,求得EF的长，即可判断；对于C，证明线面垂直即可证明异面直线AC与BD互相垂直，即可判断;对于D，利用等体积法求得内切球半径，即可求得内切球体积，即可判断.【详解】如图示，设该四面体
13、的棱长为a，底面三角形BCD的重心为G,该四面体的外接球球心为O，半径为R，连接AG,GB,OB,AG为四面体的高，O在高AG上，在中，,在中，解得 ，由于外接球的体积等于，即 ,故，故 ，故A正确；分别取BD,AC的中点为E,F,连接EF,正四面体ABCD中，AE=EC,故 ,同理,即EF为AC,BD的公垂线，而 ,则 ,故B正确；由于 , 平面ACE,故平面ACE,又平面ACE,所以，即异面直线AC与BD所成角为 ，故C错误；设四面体内切球的半径为r,而 ,故，故，所以四面体ABCD的内切球的体积等于，故D正确，故选：C4（2022湖北华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下
14、列说法正确的是（）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线异面，直线平面D直线与直线相交，直线平面【答案】A【解析】【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定.【详解】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；由正方体的性质可知，所以平面平面，又平面，所以直线平面，故A正确； 以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，显然直线与直线不平行，故B不正确；直线与直线异面正确，所以直线与平面不垂直，故C不正确；直线与直线异面，不相交，故D不正确；故选：A.5（2022安徽合肥市第八中学模拟预测）下列四个命题，真命题的个数为（）（1）如果一条直线垂直于一个平面内的
15、无数条直线，则这条直线垂直于该平面；（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；（3）平行于同一个平面的两条直线平行；（4）a与b为空间中的两条异面直线，点A不在直线a，b上，则过点A有且仅有一个平面与直线a，b都平行A0B1C2D3【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的定义即可判断命题(1)；根据线面垂直的性质定理即可判断命题(2)；根据空间中线面的位置关系即可判断命题(3)；结合图形即可判断命题(4).【详解】命题(1)：由直线垂直平面的定义可知，若直线垂直于一个平面的任意直线，则该直线垂直于该平面，故命题(1)错误；命题(2)：由直线与平面垂直的性质定理可知，过空间一定点有且只有
16、一条直线与已知平面垂直，故命题(2)正确；命题(3)：平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，故命题(3)错误；命题(4)：如图，当点A在如图上底面时，不存在平面同时平行于直线a、b；点A不在异面直线a、b上，若点A在直线a、b之间，则可以确定一个平面同时平行于直线a、b；若点A在直线a、b的外侧，也可以确定一个平面同时平行于直线a、b，故命题(4)错误.故选：B.6（2022河南安阳模拟预测（文）如图，在四面体ABCD中，平面BCD，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，证明平面即可推理计算作答.【详解】在四面体AB
17、CD中，平面，平面，则，而，即，又，平面，则有平面，而平面，于是得，因P为AC的中点，即，而，平面，则平面，又平面，从而得，所以直线BP与AD所成的角为.故选：D7（2022四川成都模拟预测）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，A，B，C，D是该三棱锥表面上四个点，则直线AC和直线BD所成角的余弦为（）A0BCD【答案】A【解析】【分析】由三视图还原几何体，根据线面垂直的判定有面，线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定和性质得，即可得结果.【详解】由三视图可得如下几何体：，则面，又面，则，而，由，则面，又面，所以，故直线AC和直线BD所成角的余弦为0.故选：A8（
18、2022山东潍坊三模）我国古代数学名著九章算术中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形则球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】作出图形，设在三棱锥中，平面，且，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】如下图所示：在三棱锥中，平面，且，因为平面，、平面，则，平面，平面，所以，三棱锥的四个面都是直角三角形，且，设线段的中点为，则，所以，点为三棱锥的外接球球心，设球的半径为，则，因此，球的表面积为.故
19、选：A.二、填空题9（2022四川成都模拟预测（理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据三视图可知这是一个四面体，根据长度即可根据三角形面积公式求每一个面的面积，进而可得表面积.【详解】该几何体的直观图是正方体中的四面体， 故答案为： .10（2022上海普陀二模）已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为_.【答案】#【解析】【分析】由圆锥侧面积公式求得底面半径，体高为，应用圆锥的体积公式求体积.【详解】由题设，令圆锥底面半径为，则体高为，母线为，所以，则，故圆锥的体积为.故答案为：11（20
20、22黑龙江佳木斯一中模拟预测（理）如图，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列正确说法的序号是_.存在点F使得平面；存在点F使得平面；对于任意的点F，都有；对于任意的点F三棱锥的体积均不变.【答案】【解析】【分析】，找到点F为的中点时，满足平面；，证明出相交，得到不存在点F使得平面；，作出辅助线，证明线面垂直，进而得到线线垂直；，得到三棱锥的体积等于正方体体积的，为定值.【详解】当点F为的中点，此时点E为的中点，此时连接EF，可得：，因为平面，所以平面，正确；连接，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以相交，因为平面，所以不存在点F使得平面，错误连接AC，BD，则ACBD，又
21、平面ABCD，平面ABCD，所以BD，因为，所以BD平面，因为平面，所以BDEF，正确；连接DF，EF，ED，则无论点F在的何处，都有，是定值，为正方形面积的一半，又高等于CD，故体积也为定值，为正方体体积的，正确.故选：12（2022甘肃武威第六中学模拟预测（文）如图，在长方体中，是棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，给出下列结论：平面；三棱锥的体积为定值；平面；平面平面.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题，由棱锥体积公式判断【详解】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，错；，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值
22、，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，正确；平面就是平面，而与平面相交，错；长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，正确故答案为：三、解答题13（2022四川成都模拟预测（文）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，(1)求证：；(2)求到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由题意可证、，则可得面，即可知，又则可得面，即可证.（2）分别计算出与，再利用等体积法即可求出答案.(1)因为在底面内的射影为，所以面面，又因为，面面，面所以面，又因面因此，同理，又,面,面所以面，又面,所以，连接，易得，又，故，又,面,面因此面，又
23、面即；(2)在中.在中.把到平面的距离看作三棱锥的高h，由等体积法得，故，即，故到平面的距离为14（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，是棱上一点(1)若，求证：平面(2)若，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接，记与的交点为，连接，先证明，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）由等体积法，即可求出点到平面的距离.(1)连接，记与的交点为，连接由，得，又，则，又平面，平面，平面(2)由已知易得，所以在等边中，边上的高为，所以的面积为，易知三棱锥的体积为，又因为，所以点到平面的距离为15（2022贵州贵阳一中模拟预测（文）如图，四棱锥中，平面.M是CD中点，N是PB上一点.(1)若求三棱锥的体积；(2)是否存在点N,使得平面,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）证得点到平面的距离是，进而可求出结果；（2）证得，进而可证出平面，从而可求出PN的长.(1)，由面面且交线是，又，面，所以平面，又MD，点到平面的距离是，又，则，三棱锥的体积.(2)存在.，连接并延长至于交于点，在中：，在中：在上取点，使得，而，则，又平面，平面，平面，在中，.