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1、专题05 古典概型与几何概型（理科）-2024年高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题05 古典概型与几何概型考向一 古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_【答案】.【试题解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率故答案为：【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）列表法求古典概型的概率；（3）树
2、状图法求古典概型的概率【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.考向二 几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）ABCD【答案】B【试题解析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出【详解】如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以【命题意图】
3、本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1） 由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率.【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.一、单选题1（2022河南许昌高二期末（理）若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）ABCD2（2022广东茂名二模）甲、乙
4、、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）ABCD3（2022辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）ABCD4（2022河南安阳模拟预测（文）为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目现安排甲、乙两所高校与3家
5、用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）ABCD5（2022全国模拟预测（理）2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、
6、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）ABCD6（2022北京北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“”的概率为（）ABCD7（2022湖北省仙桃中学模拟预测）定义： ，当 时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）ABCD8（2022河南省杞县高中模拟预测（理）在区间上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于的概率为（）ABCD9（2022全国哈师大附中模拟预测）若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点
7、的概率为（）ABCD10（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.ABCD二、填空题11（2022上海青浦二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_.（结果用最简分数表示）12（2022黑龙江哈尔滨三中一模（理）关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请12
8、0名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对的个数m，最后再根据m来估计的值假如统计结果是，那么的估计值为_13（2022河南模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n则点在第二象限的概率为_14（2021江西新余市第一中学模拟预测（理）寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：008：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的
9、人先进去则两人能够在图书馆门口会合的概率是_专题05 古典概型与几何概型考向一 古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_【答案】.【试题解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率故答案为：【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(
10、2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.考向二 几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）ABCD【答案】B【试题解析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出【详解】如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在
11、考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点常见的命题角度有：（2） 由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率.【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.一、单选题1（2022河南许昌高二期末（理）若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分
12、配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算.【详解】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有种方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有种方法；其中甲乙分配到同一社区的方法有种，则乙与甲分配到不同社区的方法有种，所以乙与甲分配到不同社区的概率是故选：B2（2022广东茂名二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概
13、率为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，29.乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，30.丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9，29.在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29三人同一天工作的概率为故选：B3（2022辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）ABCD【答案
14、】D【解析】【分析】由对立事件的概率公式计算【详解】没有买到中国疫苗的概率为，所以买到中国疫苗的概率为故选：D4（2022河南安阳模拟预测（文）为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有种选择，所以甲、乙两所高校共有种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位
15、的情况有种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为，故选：D5（2022全国模拟预测（理）2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签
16、，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）ABCD【答案】B【解析】【分析】先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有种 ,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为 ，故选：B6（2022北京北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或
17、“”的概率为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“”的概率为，故选：C.7（2022湖北省仙桃中学模拟预测）定义： ，当 时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】先判断出由组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有个，即可求出波动数的概率.【详解】由组成的没有重复数字的五位数一共有种.而构成波动数，需满足，有：31425，31524，41325，41523，51324
18、，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个.所以波动数的概率为.故选：B.8（2022河南省杞县高中模拟预测（理）在区间上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于的概率为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】设在上取的两数为x，y，满足，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.【详解】设在上取的两数为x，y，则，即，或画出可行域，如图所示，则，或所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为，故所求概率；故选：C.9（2022全国哈师大附中模拟预测）若在区间内随机取一个实数，则
19、直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】双曲线的渐近线斜率为，则，即，故所求概率为，故选：B.10（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.ABCD【答案】B【解析】【分析】从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，可得、满足的不等式线组对应的平面区域为如图的
20、正方形，而甲乙能够见面，、满足的平面区域是图中的四边形分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，则、满足，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形，若甲乙能够见面，则、满足，该不等式对应的平面区域是图中的四边形，因此，甲乙能见面的概率故选：B二、填空题11（2022上海青浦二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_.（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数
21、量，即可得答案.【详解】解：四个志愿者总的选择共种，要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共种，所以，所以.故答案为：.12（2022黑龙江哈尔滨三中一模（理）关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对的个数m，最后再根据m来估计的值假如统计结果是，那么的估计值为_【答案】3.2【解析】【
22、分析】表示的点构成一个正方形区域，x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得【详解】表示的点构成一个正方形区域，如图正方形（不含边界），x、y两数能与1构成钝角三角形满足条件，表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），因此所求概率为，估计故答案为：3.213（2022河南模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n则点在第二象限的概率为_【答案】【解析】【分析】列出所有可能的情况，根据古典概型的方
23、法求解即可【详解】由题，点所有可能的情况为，共12种情况，其中在第二象限的为，故点在第二象限的概率为故答案为：14（2021江西新余市第一中学模拟预测（理）寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：008：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去则两人能够在图书馆门口会合的概率是_【答案】【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x分，小强到达的时刻为8时y分，其中，则当|x-y|10时，两人能够在图书馆门口会合.如图示：两人到达时刻（x，y）构成正方形区域，记面积为S,而事件A：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S1所以.故答案为：.【点睛】（1）几何概型的两个特征无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比