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1、专 题 1 4空 间 向 量 与 立 体 几 何（理 科）-备 战 2023年 高 考 数 学 母 题 题 源 解 密（全 国 通 用）考 向 一 线 面 平 行 垂 直【母 题 来 源】2022年 高 考 全 国 乙 卷（理 科）【母 题 题 文】在 正 方 体 4 8 8-A A G。中，E,尸 分 别 为 4 3,8。的 中 点，则（）A.平 面 用 EF J平 面 BOR B.平 面 用 E E J.平 面 A 3。C.平 面 与 7 3/平 面 A AC D.平 面 四 7 3/平 面 AG。【答 案】A囹 题 阑 回【试 题 解 析】【详 解】解：在 正 方 体 A B C Q-4
2、 4 G R中，4。，8。且。2 _ 1 平 面 4 3 8,乂 所 u 平 面 A B C D,所 以 E/7，。一 因 为 E,尸 分 别 为 4 3,8 C 的 中 点，所 以 F|A C,所 以 E F L B D，y.BDQDD,=D,所 以 防，平 面 8。，乂 E F u平 面 4 E/所 以 平 面 耳 后 尸，平 面 3。，故 A正 确;选 项 BCD解 法 一：如 图，以 点。为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 AB=2，则 4（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,2,0）,3（2,2,0）,4（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,C,（0
3、,2,2）,则 方=（-1,1,0）,函=（0,1,2），丽=（2,2,0）,M=（2,0,2）,A4；=（O,O,2）,A C=（-2,2,O），4 q=（-2,2,O）,设 平 面 BEF的 法 向 量 为/n=（_ X，x，z J,则 有 m E F=一%+y=0m-EB-y1+2Z1=0,可 取 有 二（2,2,-1）,同 理 可 得 平 面 B D 的 法 向 量 为)=(1,I)，平 面 A A C的 法 向 量 为 区=(1,1,0),平 面 AC。的 法 向 量 为 W=(1，1，T)，则 说，I=2 2+1=1/0，所 以 平 面 g E F 与 平 面 A/O 不 垂 直，
4、故 B借 误；UU因 为 正 与%不 平 行，所 以 平 面 4 成 与 平 面 A A C不 平 行，故 c 错 误；因 为 正 与 瓦 不 平 行，所 以 平 面 用 成 与 平 面 AG。不 平 行，故 D错 误，故 选：A.解：对 于 选 项 B,如 图 所 示，设 4 8 0 4 石=，所 n 8 O=N,则 M N为 平 面 与 E F 与 平 面 A 3。的 交 线.在 A B M N内，作 B P L M N于 点、P,在 AEMN内，作 G P L M N,交 E N于 点 G,连 结 B G，则 N 8 P G或 其 补 角 为 平 面 BtE F与 平 面 B D 所 成
5、 二 面 角 的 平 面 角，由 勾 股 定 理 可 知：PB2+PN2=BN2-PG2+PN2=GN2.底 面 正 方 形 ABCD中，尸 为 中 点，则 所，班)，由 勾 股 定 理 可 得 NB2+NG2=6G2,从 而 有：NB2+NG2(PB2+PN2)+PG2+PN2)BG2,据 此 可 得+#6 G 2,即 N 8 P G w 9 0,，据 此 可 得 平 面 B.EF 1 平 面 A.BD不 成 立，选 项 B错 误;对 于 选 项 c,取 A 4 的 中 点“，则 由 于 A H 与 平 面 A A C 相 交，故 平 面 4 E/平 面 A A C 不 成 立，选 项 C
6、错 误;对 于 选 项 D,取 A O 的 中 点 M，很 明 显 四 边 形 为 平 行 四 边 形，则 由 于 A”与 平 面 4 G。相 交，故 平 面 片 封 平 面 4 C 0 不 成 立，选 项 D 错 误;【命 题 意 图】本 题 主 要 考 查 线 面 平 行、垂 直 的 证 明.【命 题 方 向】这 类 试 题 在 考 查 题 型 多 以 解 答 题 形 式 出 现，多 为 中 档 题，是 历 年 高 考 的 必 考 题 型.常 见 的 命 题 角 度 有：（1）线 面 平 行 的 证 明；（2）线 面 垂 直 的 证 明；（3）面 面 平 行 的 证 明；（4）面 面 垂
7、直 的 证 明.【得 分 要 点】（1）利 用 线 面、面 面 平 行 的 判 定 定 理 与 性 质 定 理：（2）利 用 线 面、面 面 垂 直 的 判 定 定 理 与 性 质 定 理.考 向 二 线 面 夹 角【母 题 来 源】2022年 高 考 全 国 乙 卷（理 科）【母 题 题 文】如 图，四 面 体 A B C O 中，A D CD,A D=C D,Z A D B-Z B D C,E 为 A C 的 中 点.（1）证 明：平 面 BED_L平 面 AC。；（2）设 A6=BD=2,NACB=6 0,点 尸 在 8 0 上，当 回；在 和 NCBD 中，因 为 AD=CD,ZADB
8、=ZCDB,DB=DB,所 以 AABZ泾 C M,所 以 A3=CB,乂 因 为 E为 A C的 中 点，所 以 AC_LBE：又 因 为 DE,BEu 平 面 BED，DEC BE=E，所 以 A C,平 面 BE。，因 为 A C u平 面 AC。，所 以 平 面 BEDJ_平 面 ACZX【小 问 2详 解】连 接 尸，由（1）知，AC_L平 面 BED，因 为 所 u 平 面 BED，所 以 A C _L E F,所 以 S“FC=；A C E F，当 时，E F最 小,即 AEC的 面 积 最 小.因 为/XABZ注 C 8 D,所 以 CB=AB=2，乂 因 为 NACB=60，
9、所 以 AABC 是 等 边 三 角 形，因 为 E为 A C的 中 点，所 以 AE=EC=1,BE=6因 为 AD，CL,所 以。E=4A C=1,2在 ADEB 中,DE2+BE2B D2 所 以 8，）.以 为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 E-x y z,则 4（1,0,0）,网 0,后 0）,（0,0,1）,所 以 而=（-1,0,1）,丽=卜 1,疯。卜 设 平 面 A%）的 一 个 法 向 量 为 n=（x,y,z）,则 n-AD=-x+z=Qn-AB=-x+=0,取、=百，则=（3,6,3）,乂 因 为 c(h 八(行 n1,0,0)
10、,F 0,-,-,所 以。尸=1,-,-I 4 4J I 4 4J设 C F 与 平 面 AB。所 成 的 角 的 正 弦 值 为。0所 以 C F 与 平 面 曲 所 成 的 角 的 正 弦 值 为.7【命 题 意 图】本 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 夹 角，是 一 道 中 档 题.【命 题 方 向】这 类 试 题 在 考 查 题 型 上 选 择 题、填 空 题、解 答 题 形 式 出 现，试 题 难 度 不 大，多 为 中 低 档 题,重 点 考 查 线 面 夹 角 的 求 法 问 题.【得 分 要 点】（1）找 斜 线 在 平 面 中 的 射 影;（2）求 斜 线 与 其 射
11、 影 的 夹 角:（3）建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 求 夹 角.一、单 选 题 1.（山 东 省 济 南 市 2021-2022学 年 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题）已 知 正 四 面 体 ABC，M 为 8 c 中 点，N 为 中 点，则 直 线 BN 与 直 线 例 所 成 角 的 余 弦 值 为（）A:-I。卑 噜【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 空 间 向 量 的 线 性 运 算 性 质，结 合 空 间 向 量 夹 角 公 式 进 行 求 解 即 可.【详 解】设 该 正 面 体 的 棱 长 为 1,因 为 M 为 8 c 中 点，N
12、为 中 点，所 以 阿|丽 卜 l2-(|x l)2=#,因 为 M 为 BC中 点，N 为 中 点，所 以 有 丽=丽+病=_ 而+，而，2DM=DB+BM=DA+AB+-BC=-AD+A B+-(A C-A B)=-A D+-A B+-A C,2 2 2 2BN DM 1 1 1=(-AB+-AD)(-AD+-A B+-A C)-.1 2 1.1-2 1.1,=AB AD-AB-AB AC-AD+-AB-AD+-AC-AD2 2 2 4 4X1-2-1-2X X X1-2+xlxlx+xlxlx 4 2 4 22COS(B/V,DA7)=BN DM F百 6X2-2237根 据 异 面 直
13、 线 所 成 角 的 定 义 可 知 直 线 BN与 直 线 所 成 角 的 余 弦 值 为：，故 选：B2.（2022 广 东 汕 尾 高 二 期 末）如 图，平 行 六 面 体 ABC。-A g C Q i中，E 为。j 的 中 点.若 BE=xA B+yA D-zA,则(x,y,z)=()A-E d B.(7)C M H)D.【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 向 量 的 加 减 法 公 式，对 向 量 炉 进 行 分 解，进 而 求 出 x,z的 值.【详 解】uur uin uini uuu iiun i uuur UID uuni i uuir i(i AB E B D+D E
14、 A D-A B+-DD,-AB+AD+-AAI,故 x=-l,y=l,z=-,g|J(x,y,z)=l-1,1,-I故 选：A.3.(2022吉 林 市 教 育 学 院 模 拟 预 测(理)己 知“，人 是 两 条 不 同 的 直 线，。，氏/是 三 个 不 同 的 平 面，则 下 列 命 题 错 误 的 是()A.若 a L y Q la,则 4 _LyB.若 a 民?y,a_La,则 a_LyC.若 a A/=a,4,则 c 6D.若 ar_1_7，4_1_/,。口 尸=人，则 6-L7【答 案】C【解 析】【分 析】设 出 a,回/的 法 向 量，利 用 空 间 位 置 关 系 的 向
15、 量 证 明 判 断 A,B,D；举 例 说 明 判 断 C 作 答.【详 解】设 平 面 a R y 的 法 向 量 分 别 为 五 n,p,对 于 A,由 6/a得，m/n m=An(A#0),而 a l y,则,.p=0,有-p=0,即 于 是 得/J-/,A 正 确；对 于 B,因 a/月,/,则 徵/0，令 直 线。的 方 向 向 量 为,又 a_La,于 是 得/说，有 a p,a l/,B 正 确；对 于 C,三 棱 柱 7-4 反 弓 的 三 个 侧 面 4叫 4，尤 6 练 01416 分 别 视 为 平 面,力,/,显 然 平 面 n 平 面 C4AG=M,ficc.B,n
16、 平 面 C M1G=C G,有 例/C G,即 满 足 c 中 命 题 的 条 件，但 平 面 A 8 4 A 与 平 面 8 C G 4 相 交，C 不 正 确;对 于 D,因 则 万 J_加 万，几 因 此，向 量 加 3共 面 于 平 面 人 令 直 线 的 方 向 向 量 为 人 显 然 m-Lb,n Lb 9而 平 面 a n#=6,即 正/不 共 线，于 是 得 B/万，所 以 D 正 确.故 选：C4.（2022.陕 西 交 大 附 中 模 拟 预 测（理）在 矩 形 ABC。中，AB=2,AD=2 G，沿 对 角 线 A C将 矩 形 折 成 一 个 大 小 为。的 二 面
17、角 8-A C-D，若 cos6=；,则 下 列 结 论 中 正 确 结 论 的 个 数 为（）四 面 体 ABC。外 接 球 的 表 面 积 为 16万 点 8 与 点。之 间 的 距 离 为 2石 四 面 体 A B C D 的 体 积 为 逑 3 异 面 直 线 A C与 8 3 所 成 的 角 为 60A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】B【解 析】【分 析】分 析 可 知 线 段 A C 的 中 点 为 四 面 体 A8CD外 接 球 球 心，结 合 球 体 表 面 积 公 式 可 判 断;过 点。在 平 面 A O C内 作 D O L A C,垂 足 为 点。，过 点 O作
18、O E L A C交 B C于 点 E,以 点。为 坐 标 原 点，O E、O C所 在 直 线 分 别 为 x、y 轴，平 面。D E内 过 点。且 垂 直 于 O E的 垂 线 为 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 法 可 判 断 的 正 误.【详 解】对 于，取 4 c 的 中 点 A 7,连 接 MB、M D,则 AC=个 AB。+A Z）：4，因 为 ZA8C=ZAC=90,所 以，M B=M D=-AC=MA=M C=2,2所 以，为 四 面 体 ABC）的 外 接 球 球 心，球 M 的 衣 面 积 为 4T X 22=16%，对；对 于，过 点。
19、在 平 面 A Q C内 作 O O L A C,垂 足 为 点 0,过 点。作 O E L A C交 BC于 点 E,则 二 面 角 8-4。-。的 平 面 角 为 卬 阳=。，在 R tA C。中，AD=23,CD=2,A C=4,则 N G W=30。，ZAC=60,-,-DO1AC,则。=4 4。=6,AO=A）cos30=3,O C=AC-OA=1,2-,-AC1OD,AC1OE,O D c O E=O,，AC_L平 面 OOE,以 点。为 坐 标 原 点，O E、0 C 所 在 百 线 分 别 为 x、y 轴，平 面 O 0 E内 过 点。且 垂 直 于 0 E 的 垂 线 为 z
20、轴 建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，因 为 cos6=g,则 A（0,-3,0）、B（G,2,0）、C（0,l,0）、D 与,0当|叫=,必 等）+（-2-0 f+0一 半）=2应，错，SABC=3 AB.BC=2 6，%-ABC=:x 2后 x 2乎=,对,，3 3 3AC=（O,4,O）,诙=芋,2,半、,I J 3、力 诉 A C B D 8 4一 国.|丽 4、2夜-2 故 异 面 直 线 A C与 5 0 所 成 角 为 45。，错.故 选：B.【点 睛】方 法 点 睛：求 空 间 多 面 体 的 外 接 球 半 径 的 常 用 方 法：补 形 法：侧 面
21、 为 直 角 三 角 形，或 正 四 面 体，或 对 棱 二 面 角 均 相 等 的 模 型，可 以 还 原 到 正 方 体 或 长 方 体 中 去 求 解；利 用 球 的 性 质：几 何 体 中 在 不 同 而 均 对 直 角 的 棱 必 然 是 球 大 圆 直 径，也 即 球 的 直 径；定 义 法：到 各 个 顶 点 距 离 均 相 等 的 点 为 外 接 球 的 球 心，借 助 有 特 殊 性 底 面 的 外 接 圆 圆 心，找 其 垂 线，则 球 心 一 定 在 垂 线 上，再 根 据 带 其 他 顶 点 距 离 也 是 半 径，列 关 系 求 解 即 可；坐 标 法：建 立 空 间
22、 直 角 坐 标 系，设 出 外 接 球 球 心 的 坐 标，根 据 球 心 到 各 顶 点 的 距 离 相 等 建 立 方 程 组，求 出 球 心 坐 标，利 用 空 间 中 两 点 间 的 距 离 公 式 可 求 得 球 的 半 径.5.（2022 浙 江 模 拟 预 测）如 图，四 边 形 A8CZ）中，AB=BD=DA=2,BC=CD=6.现 将 AB。沿 3 0 折 re 57r起，当 二 面 角 A-3 D-C 处 于 过 程 中，直 线 A）与 BC所 成 角 的 余 弦 值 取 值 范 围 是（）O OACA.5 0 0.丁,B.V 2 5 V 2 c.o 48【答 案】D【解
23、 析】【分 析】设 向 量 而 与 起 所 成 角 为 4,二 面 角 A-B D-C 的 平 面 角 大 小 为 打，由 而=而+9+就 平 方 后 求 得|AC|,取 BD中 点 E,连 接 他,C E,则 4 E C=a，AACE中 应 用 余 弦 定 理 求 得 A C,两 者 结 合 和 是 4 与 名 的 关 系，从 而 求 得 结 论.【详 解】设 向 量 而 与 阮 所 成 角 为 仇，二 面 角 A-必-C 的 平 面 角 大 小 为“,-JT因 为 心+”=处，所 以 皿 m 又 BC=CD,所 以 皿 C=B C=A D D B=2x2xcos=-2,BDBC=2xV2x
24、cos=-2,3 4则/=而+而+配，所 以|衣 而+丽+丽 2=访+加+反 1 而.而+2而 反+2方 配=2+4应 cosq，取 BD 中 点 E,连 接 A E,C E,则 AEJ_8RCE_L8，ZAEC=02,AE=6 C E=L在 A A E C 中，AC2=AE2+CE2-2 AE-CE cos(92,即 AC?=4-26cosa,所 以 2+4点 ccsq=4 _ 26cos2,即 cos=-cos02,所 以 cosqO O又 因 为 e_也 还 一 T-F TT因 为 直 线 夹 角 范 围 为 0,y,所 以 直 线 A。与 B C 所 成 角 的 余 弦 值 范 围 是
25、 故 选：D.6.（2022山 东 肥 城 市 教 学 研 究 中 心 模 拟 预 测）在 正 三 棱 锥 A-B C D 中，底 面 B C D 是 边 长 为 2 正 三 角 形，E是 8 c 的 中 点，若 直 线 A E 和 平 面 B C D 所 成 的 角 为 45。，则 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为（、府“3.16）（）A.4兀 C.7 t3D.1671【答 案】C【解 析】【分 析】先 作 出 直 线 A E 和 平 面 B C O 所 成 的 角，求 得 三 棱 锥 的 高 4凡 进 而 得 到 关 于 三 棱 锥 外 接 球 半 径 的 方 程，进 而 求 得
26、 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积【详 解】连 接 DE,AE,过 4 点 作 AF _L平 面 B C D 于 F,则 F 落 在 D E 上,且 为 A B C D 的 重 心，所 以 N A E D 为 直 线 AE和 底 面 B C D 所 成 的 角，B|JZAD=45.1 nr7 V3 73DE=，AF=.3 3 3设 三 棱 锥 A-B C D 外 接 球 的 球 心 为 0,外 接 球 半 径 为 R，则。在 A F 上，连 接 OD.在 MAOFD中,O F=g-R,OF=2 叵，OD=R,由 勾 股 定 理 得，3 3OF2+DF2=OD2,即-R+-=心，I 3 J
27、 I 3 J解 得 R=巫.所 以 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为 S=4兀 2=之 九 6 3故 选：C7.（2022.黑 龙 江 大 庆 实 验 中 学 模 拟 预 测（理）正 方 体 A 8 8-A 8 C R 的 棱 长 为 1,点 E,F,G 分 别 为 BC,CC、网 中 点，现 有 下 列 4 个 命 题：直 线 0 A 与 直 线 A F垂 直；直 线 A G 与 平 面 AE尸 平 行：点 C 与 点 G 到 平 面 AE尸 的 距 离 相 等；平 面 AE尸 截 正 方 体 所 得 的 截 面 面 积 为 9.其 中 正 确 的 是（）8A.B.C.D.【答 案
28、】C【解 析】【分 析】建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 法 判 断 的 正 确 性：画 出 平 面 板 截 正 方 体 所 得 的 截 面，由 此 判 断 的 正 确 性.【详 解】建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系，西=（0,0,1）,4（以）,0）,尸（）,1,|/户=（-1,1，3DDt AF=0,所 以 错 误.叫,1,0），通+“,0）,设 平 面 AEF的 法 向 量 为 n=（x,y,z）,则 n AF=-x+y+z=02 1 八 n-AE=x+y=0故 可 设 3=(2,1,2).TO=CB=（1,0,0）,所 以 G 到 平 面 心 的 距
29、 离 为 23（CF=O,O,-J,所 以 C 到 平 面 A E F 的 距 离 为 n常-C F=1,所 以 错 误.根 据 正 方 体 的 性 质 可 知 EF/8G/A。，A,E,F,R四 点 共 面，EF=,AD.=yf2,D,F=AE=,2 1 1 2所 以 平 面 但 截 正 方 体 所 得 的 截 面 为 等 腰 梯 形 AEFR,根 据 正 方 体 的 性 质 可 知 A G R F,由 于 A G C 平 面 AEF,R F u 平 面 AEF,所 以 A。平 面 A E F,所 以 正 确.等 腰 梯 形 A E F R 的 高 为 3=苑 0+也 所 以 等 腰 梯 形
30、 A E F R 的 面 积 为“Z+2 3=9,正 确.2 2y/28所 以 正 确 的 为.故 选：C8.（2022 河 南 河 南 三 模（理）已 知 正 四 棱 柱 A B C O-A f C Q,AB=2,=a,点 M 为 CC,点 的 中 点，点 P 为 上 底 面 A B C i R 上 的 动 点，下 列 四 个 结 论 中 正 确 的 个 数 为（）257T 当 a=6 且 点 p 位 于 上 底 面 的 中 心 时，四 棱 柱 P-ABCZ）外 接 球 的 表 面 积 为 亍；当 a=2时，存 在 点 P 满 足 P A+P M=4；当 a=2时，存 在 唯 一 的 点 户
31、 满 足 ZAPA/=90。；当 a=2时，满 足 8 P J.A 的 点 尸 的 轨 迹 长 度 为 行.A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 外 接 球 的 概 念，作 图 计 算 出 外 接 球 半 价 R,然 后 求 解，可 判 断；然 后 建 空 间 直 角 坐 标 系，得 到 A(0,0,2),M(2,2,l),8(2,0,2),尸 为 上 底 面 A g C Q 上 的 动 点,可 设 P(，,0),且 O V%W 2,O O M 2,进 而 对 各 个 选 项 进 行 计 算 验 证 即 可 判 断 并 得 到 答 案.【详 解】对 于，如 图，
32、在 ABCD中 找 到 面 的 中 心 点。为 球 心，。在 P H线 段 上，因 为 四 边 形 ABCD为 正 方 形,所 以，BH=，且 尸=a=G，则 设 外 接 球 半 径 为 H，则。尸=OB=R,则 在 R/A8 0”中，可 得 片 _(后 _和=2,解 得 代=1|,所 以，四 棱 柱 P-M C。外 接 球 的 表 面 积 为 4乃 齐=等，正 确；由 于 a=2,如 图，建 系 可 得,A(0,0,2),M(2,2,l),3(2,0,2),P为 上 底 面 A/C Q 上 的 动 点，可 设(八”,0),0/n 2,0 n 2,对 于，点 M 关 于 平 面 的 对 称 点
33、 为“（2,2,1）,A”=历 再 铲=后 4,所 以 不 存 在 点 产 满 足 P 4+P M=4,错 误；对 于，则 而=（，,-2）,M P=（m-2,n-2,-l）,因 为 A P-M P=m2-2 m+n2-2n+2=（m-1）2+（n-1）2,明 显 可 见，=1 时，止 匕 时，Z A P M=90,所 以，当 a=2 时，存 在 唯 一 的 点 尸 满 足 N A P M=9 0。，正 确；对 于，丽=（祖-2,-2）,疝=（2,2,7）,若 切 0 _ L A W,则 有 B P-A M=2 m-4+2 n+2=2 m+2 n-2=Q，化 简 得 机+=1,又 因 为 0
34、M m V 2,0 M M 2,所 以，点 尸 的 轨 迹 长 度 为 彳 弄=夜，正 确:故 正 确 的 有：故 选：C二、填 空 题 9.（2022上 海 位 育 中 学 模 拟 预 测）如 图，从 A（1,0,0）、&（2,0,0）、旦（0,1,0）、为（0,2,0）、C,（0,0,1）,C2（0,0,2）这 6 个 点 中 随 机 选 取 3 个 点，则 这 3 点 与 原 点 0 共 面 的 概 率 为.3【答 案】g#0.6【解 析】【分 析】由 组 合 知 识 和 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 可 得 答 案.【详 解】6 x 5 x 4从 6 个 点 中 随 机 选
35、取 3 个 点，共 有 3=20种,3x2x1在 平 面 Px），上 行 屐=4 种 情 况 与 原 点 0 共 面,在 平 面 Oxz上 有 优=4 种 情 况 与 原 点。共 面，在 平 面 Ozy上 有 优=4 种 情 况 与 原 点。共 面，所 以 3 点 与 原 点 0 共 面 共 有 4+4+4=12种 情 况，所 以 这 3 点 与 原 点。共 面 的 概 率 为 养 12=全 33故 答 案 为：.10.（2022广 东 茂 名 二 模）正 方 体 ABC。-ABC。的 棱 长 为 2.动 点 P 在 对 角 线 3。上.过 点 P 作 垂 直 于 8 0 的 平 面 a.记
36、平 面 a 截 正 方 体 得 到 的 截 面 多 边 形（含 三 角 形）的 周 长 为），=/（），设 8P=x,x w（0,2若）.下 列 说 法 中，正 确 的 编 号 为.截 面 多 边 形 可 能 为 四 边 形；函 数/（x）的 图 象 关 于=石 对 称；当 x=后 时，三 棱 锥 P-A 8 c 的 外 接 球 的 表 面 积 为 9兀.【答 案】【解 析】【分 析】先 找 到 两 个 与 垂 直 的 平 面 作 为 辅 助 平 面，确 定 这 两 个 平 面 之 间 的 截 面 为 六 边 形，从 而 判 断 错 误；由 正 方 体 的 对 称 性 判 断：找 出 该 三
37、棱 锥 外 接 球 的 半 径，由 球 的 表 面 积 公 式 计 算 即 可 判 断.【详 解】连 接 4夕，AC,AD,D C,分 别 以 D4,DD为 x,y,建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系：4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),B(2,2,2),0(0,0,2),AC=(-2,2,0),AB1=(0,2,2),W B=(2,2,-2),，AC D7B=-2 X2+2 X2+0 X(-2)=0,宓 西=0 x2+2x 2+2x(-2)=0,所 以 Z/B_LAC,DBYAB,又 ABnAC=A,所 以 面 ABC,同 理 可 证：。8_1面 4
38、。力，所 以 面 面 A 9 C,如 下 图 所 示,夹 在 而 A C D和 面 4 9 C 之 间 并 且 与 这 两 个 平 面 平 行 的 截 面 为 六 边 形，故 截 面 只 能 为 三 角 形 和 六 边 形，故 错 误：由 正 方 体 的 对 称 性，当 P在 即 中 点 处 时，可 得 函 数/(x)的 图 像 关 于=冬 叵=正 对 称，故 正 确:2当=退 时，此 时 点 P 在 线 段 B。/的 中 点，连 接 A C,如 图，则 PA=PB=PC=PD=6,P H=1,AH=应,则 AP2=A H+PH1,所 以 同 理 可 证：PH LBD,BD,A C c A B
39、 C D,所 以 面 4 8。，取 尸 的 中 点 为。，。8=J g)2+(0)2=!，则 三 棱 锥 尸-A B C的 外 接 球 的 球 心 为。，半 径 为|,则 三 棱 锥 P-A 8 C 的 外 接 球 的 表 面 积 为 4 7 r x e尸=9兀，故 正 确.故 答 案 为：.三、解 答 题 11.(2022 湖 北 天 门 市 教 育 科 学 研 究 院 模 拟 预 测)如 图，在 四 棱 锥 B-A b M 中，四 边 形 ACRW为 直 角 梯 形，FM/A C,Z A C F=90,ACFM ABC,BC=CF=1,AC=A A B C=60.A(1)证 明：BC1AM
40、.(2)若 四 棱 锥 B-A C F M 的 体 积 为 包，求 平 面 M A B 与 平 面 F CB所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值.4【答 案】(1)证 明 见 解 析 219【解 析】【分 析】(1)根 据 余 弦 定 理 证 明 8 C L 4 C,再 利 用 面 面 垂 直 的 性 质 得 到 B C l Y ffi A C F M 即 可 得 到 BC AM；(2)根 据(1)结 合 四 棱 锥 B-A C F M 的 体 积 为 也，可 得 M F=立,再 以 C为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 4 2系，利 用 空 间 向 量 的 方 法 求
41、解 二 面 角 的 余 弦 即 可(1)因 为 在 AABC 中 8 c=1,AC=y/3,ZABC=6Q,AC2=BC2+AB2-2BC-ABcosZABC,所 以 AB2-AB-2=0，解 得 A 3=2,AC2+BC2=AB2,故 BC_L AC.乂 平 面 ACFM J_ 平 面 ABC 且 交 于 AC,故 BC_L 平 面 A C F M,又 A/u 平 面 A C k M,故 BC_LAW(2)由(1)结 合 锥 体 的 体 积 公 式 可 得=；X；（MF+AC）XCF X BC=#,故 g x；（MF+G）=手，解 得 MP=也.又 C 8，C4,CB _ L CF,CF _
42、 L C 4,故 以 C为 坐 标 原 点 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系.2则 A(G,O,O),B(O,1,O),M 亭 0,1,故 罚=卜 6,1,0),前=1-#,0,1,设 平 面 的 一 个 法 向 量 为=（x,y,z）-y/3x+y=0即 G,-x+z=（I 2y=2y/3令=2有,z=V3ri-AB=0故 Z=(2,2 G,G),又 平 面 9C 8的 n-A M=0一 个 法 向 量 为 正=(1,0,0),设 平 面 肱$与 平 面 FCE所 成 的 锐 二 面 角 为 6,则12.(2022四 川 内 江 模 拟 预 测(理)四 棱 锥 尸-A5C。中，底
43、面 ABC。是 边 长 为 2 的 菱 形，侧 面 底 面 ABC。，zecr=60,PA=P D=e，E 是 B C 的 中 点，点。在 侧 棱 P C 上.(1)若。是 P C 的 中 点，求 二 面 角 E-D Q-C 的 余 弦 值；(2)是 否 存 在。，使 PA/平 面 OEQ?若 存 在，求 出 震 的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】(1)叵；7 震=：时，E4 平 面 DEQ.【解 析】【分 析】(1)以。为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 型 利 用 向 量 法 能 求 出 二 面 角 E-D Q-C 的 余 弦 值.2(2)设 用=/斤(
44、膜 肮 1),Q(x,y,z),推 导 出+,利 用 向 量 法 能 求 出 当 2=时，PA 平 面 OEQ.(D解：取 AE中 点。，连 接。P,OB.BD.因 为 24=尸,所 以 POJ.AD.因 为 侧 面 PAO JL底 面 A B C D,且 平 面 PAD D 底 面 ABCD=AD,所 以 PO_L底 面 A B C O.可 知，B O L A D,P O 1 A D,以 O 为 坐 标 原 点，如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系。-个 2.ZByX则(-1,0,0),E(-1,x/3,0),P(0,0,1),C(-2,5,0),因 为。为 P C 中 点，所 以。所
45、 以 应=(o,6,o),而 所 以 平 面 D E Q 的 法 向 量 为 成=(1,0,0).令 x=，则 y=l,z=-Q,即 0=(VI1,-G).所 以 8$女=总 二 广 十 由 图 可 知，二 面 角 E“Q-C 为 锐 角，所 以 余 弦 值 为 争 解：设=2定(旗 睨 1)由 可 知 定=(-2,8.-1),丽=(1,0,-1).设。(X,设 Z),则 而=(x,y,z-l),又 因 为 用=2定=(-22,732,-A),x 22所 以 y=y/3A,，即 2(22,/3A,2+1).z=2+1所 以 在 平 面 3 E Q 中，D=(0,73,0),DQ=(1-22,7
46、32,1-2),所 以 平 面 D E Q 的 法 向 量 为 还(1 T,0,2A-1),又 因 为 R 4/平 面 D E。,所 以 而 不=0,2BP(1-2)+(-1X2/1-1)=0,解 得 儿=.所 以 当 彳=_|时，即 震=：，P A 平 面 O E Q.13.(2022广 西 柳 州 模 拟 预 测(理)如 图，在 三 棱 锥 P-A B C 中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=2&，。为 A C 的 中 点.p(1)证 明：。，平 面 48。；(2)若 点 M 在 棱 8 C上，且 P M与 面 ABC所 成 角 的 正 切 值 为 迷，求 二 面 角 的 平 面
47、角 的 余 弦 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)巫 31【解 析】【分 析】(1)证 明：连 接 O B.法 一：通 过 证 明 APO4=A P 0 5 M A P 0 C,得 到 PO_ L AC,PO_ L OB,即 可 证 明 尸。,平 面 ABC；法 二：通 过 勾 股 定 理 证 明 到 P O L O B,又 因 为 尸。，AC,即 可 证 明 产 平 面 ABC；(2)由(1)知，面 ABC.OM为 P M在 面 A 8C上 的 射 影，则 NPM。为 P M与 面 ABC所 成 角，可 得 出。例=1,M 为 BC的 中 点.法 一：作 M E LA C于 E,.
48、为 O C的 中 点，作 EF_LP4交 布 于 F,连 MF,N M FE即 为 二 面 角 M-%-C 的 平 面 角，求 出 ME,7 代 入 求 出 tan/MEE=的 值，即 可 求 出 cos/M正 EF的 值.法 二：分 别 以 OB,OC,0 P 为 x 轴，y 轴，z轴 建 立 直 角 坐 标 系，分 别 求 出 面 4 M p和 面 APC的 法 向 量，由 二 面 角 的 公 式 即 可 求 出 答 案.(I)证 明：连 接 08.法 一：AB=BC=2,AC=2j2,AB2+BC2=A C2,即 ABC 是 直 角 三 角 形,乂。为 AC的 中 点，A OA=OB=O
49、C又 PA=PB=PC,：.XPOA 三 NPOB 三 XPOC：.NPOA=ZPOB=ZPOC=90.A POLAC,POOB,OBnAC=O,OB、ACu 平 面 48c.P。，平 面 ABC.法 二：连 接。8,.PA=P C,。为 AC的 中 点 二 PO_LAC因 为 AB=8C=2,PA=P8=PC=AC=272A AB 1 BC,BO=/2,PO=y/6：.PO-+OB2=PB2.A POLOB：.POVAC,POVOB,OBACO,OB、A C u平 面 A8c.，PO_L 平 面 ABC 由（1）知，PO L面 ABC；.OM为 PM在 面 ABC上 的 射 影，./P M。
50、为 P M 与 面 ABC所 成 角,tanZPMO=娓,OM=1,OM OM在 OMC中 由 正 弦 定 理 可 得 MC=,：.M 为 BC的 中 点.法 一：作 MELAC于 E,为 OC的 中 点，作 所 _LR4交 力 于 凡 连 M尸 J.MFVPA 即 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角，ME=2EF=-A E=2 y/2 x-x-=-2 4 2 4tanZMFE=ME 四 4 2-E F 2 3 限 3 0 3 噌=返 而 31法 二：分 别 以 08,OC,O P为 x轴，y 轴，z轴 建 立 直 角 坐 标 系M 4,乎，0）.4必=，乎,0）,而=（0,-夜,_6）记