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1、专题10 空间几何体的表面积与体积-2024高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题10 空间几何体的表面积与体积考向一 空间几何体的体积【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【试题解析】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积. 故选：B.【命题意图】本题考查由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现试题难度不大，多为中档题，主要考查学生的空间想象能力，是历年高
2、考的热点常见的命题角度有：（1）空间几何体的三视图；（2）空间几何体的表面积；（3）空间几何体的体积；【得分要点】（1）根据三视图正确还原立体图形；（2）由空间几何体的表面积、体积公式求解；考向二 空间几何体的表面积【母题来源】2022年高考全国II卷【母题题文】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【试题解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为故选：A【命题意图】本题考查求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再
3、根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现试题难度不大，多为中档题，主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1）空间几何体的外接球表面积；（2）空间几何体的外接球体积；【得分要点】（1）找到空间几何体外接球半径的求法；（2）正确写出球的表面积、体积公式；一、单选题1（2022浙江湖州模拟预测）如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高（）A1BCD2（2022湖北模拟预测）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角
4、形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（）ABCD3（2022浙江三模）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）AB2C3D4（2022内蒙古乌兰浩特一中模拟预测（文）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（）ABCD5（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）ABCD6（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，若四棱锥P-ABCD外接球的
5、表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A3B2CD17（2022全国模拟预测（文）在三棱锥中，两两垂直，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（）ABCD8（2022北京二中模拟预测）如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（）A64B40C84D729（2022四川省内江市第六中学模拟预测（理）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（）ABCD10（2022河南安阳模拟预测（理）已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，若，则（）A2BCD二、填空题11（2022上海奉
6、贤二模）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形，则该圆锥的表面积是_.12（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）已知在三棱锥PABC中，PA4，PBPC3，平面PBC，则三棱锥PABC的外接球的表面积是_.13（2022江西赣州市第三中学模拟预测（理）已知正四面体内接于半径为的球O中，在平面BCD内有一动点P，且满足，则的最小值_14（2022甘肃高台县第一中学模拟预测（理）如图，在矩形ABCD中，AD2AB4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE平面BCE，平面CDE平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为_15（2022辽宁实验中学模拟预测）中国古代
7、的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为_专题10 空间几何体的表面积与体积考向一 空间几何体的体积【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面
8、体的体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【试题解析】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积. 故选：B.【命题意图】本题考查由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现试题难度不大，多为中档题，主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1）空间几何体的三视图；（2）空间几何体的表面积；（3）空间几何体的体积；【得分要点】（1）根据三视图正确还原立体图形；（2）由空间几何体的表面积、体积公式求解；考向二 空间几何体的表面积【母题来源】2022年高考全国II卷【母题题文】已知正
9、三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【试题解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为故选：A【命题意图】本题考查求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现试题难度不大，多为中档题，主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1）空间几何体的外接球表面积；（
10、2）空间几何体的外接球体积；【得分要点】（1）找到空间几何体外接球半径的求法；（2）正确写出球的表面积、体积公式；一、单选题1（2022浙江湖州模拟预测）如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高（）A1BCD【答案】B【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，然后根据体积公式计算可得【详解】由三视图还原出原几何体为三棱锥，如图所示，结合三视图得该三棱锥体积为：，所以.故选：B.2（2022湖北模拟预测）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆
11、锥侧面积和球表面积之比（）ABCD【答案】A【解析】【分析】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，再求出顶点到底面的距离，分析出球心，进而得到外接球半径，再利用公式求解即可【详解】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，所以顶点到底面圆圆心的距离为：，所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，所以.故选：A.3（2022浙江三模）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）AB2C3D【答案】C【解析】【分析】从三视图可以得到直观图为直六棱柱，分别求出直六棱柱的底面积和高，由体积公式即可得出答案.【详解】从三视图可以得到直观图为直六棱柱，如图所示，在俯视图中，可以求出底
12、面积为，从正视图和侧视图可知直六棱柱的高为1，所以该几何体的体积是.故选：C.4（2022内蒙古乌兰浩特一中模拟预测（文）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（）ABCD【答案】B【解析】【分析】直接利用外接球和三棱锥的关系求出球的半径，计算即可.【详解】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，如图所示：取BC的中点D，点H为底面的中心，所以设外接球的半径为R，所以，利用勾股定理可得，解得则球的表面积为故选：B.5（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）ABCD【答案】B【解
13、析】【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，求得圆锥的侧面积和底面积，即可得出母线长和半径的关系，然后利用勾股定理即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意得，解得，又，则，故选：B.6（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A3B2CD1【答案】D【解析】【分析】若外接球的半径为R，由外接球体积可得，补全四棱锥为长方体，结合长方体外接球直径与体对角线关系及已知各棱的数量关系求棱长，最后由棱锥体积公式求体积.【详解】设四棱锥P-A
14、BCD外接球的半径为R，则，即由题意，易知，得，设，得，解得，所以四棱锥P-ABCD的体积为故选：D7（2022全国模拟预测（文）在三棱锥中，两两垂直，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.用坐标法求出球心和半径，即可求出球的表面积.【详解】如图示，以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，.设与三棱锥各棱均相切的球的球心为，半径为r，过O作OO1面ABD于O1，则.在底面ABD中，即平面xoy内，直线BD方程为：，所以，所以，即.过O作OEAB于E，过O作OFAC于F，过O作OG
15、AD于G，过O1作O1HDB于H.由得：.同理可得：，.联立可得.把与联立，解得：.所以该球的表面积为.故选：D8（2022北京二中模拟预测）如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（）A64B40C84D72【答案】D【解析】【分析】设母线与底面的夹角，底面半径，内切球半径，圆锥的高用表示，求出圆锥的体积的表达式，利用基本不等式求出【详解】解：设母线与底面的夹角，底面半径，内切球半径，圆锥的高，则：，圆锥的体积，而，所以， 又因为：定值所以，当且仅当，即时，所以故选：D9（2022四川省内江市第六中学模拟预测（理）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，
16、则该四棱锥的内切球的体积为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】求得四棱锥的高和斜高，利用等体积法求得内切球的半径，即可求得其体积.【详解】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，因为,故 ,则 ，设该四棱锥的内切球的半径为r，则 ，即 ，解得 ，故内切球的体积为 ,故选：B10（2022河南安阳模拟预测（理）已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，若，则（）A2BCD【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半
17、径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.【详解】球O半径为R，由得，平面截球O所得截面小圆半径，由得，因此，球心O到平面的距离，而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为，因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为，于是得圆锥底面圆半径，令平面截圆锥所得截面为等腰，线段AB为圆锥底面圆的弦，点C为弦AB中点，如图，依题意，弦，所以.故选：C【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.二、填空题11（2022上海奉贤二模）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形，则该圆锥的表面积是_.【答案】【解析】【
18、分析】根据给定的主视图求出圆锥底面圆半径，再利用圆锥表面积公式计算作答.【详解】依题意，如图，圆锥母线长，底面圆半径，所以圆锥表面积.故答案为：12（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）已知在三棱锥PABC中，PA4，PBPC3，平面PBC，则三棱锥PABC的外接球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径.【详解】在等腰中，易知，所以，的外接圆的半径为，所以三棱锥PABC的外接球的半径为.所以其表面积为.故答案为：13（2022江西赣州市第三中学模拟预测（理）已知正四面体内接于半径为的球O中，在平面BCD内有一动点P，且满足，则
19、的最小值_【答案】【解析】【分析】先根据外接球的半径为求得正四面体的棱长，再由，得到点P的轨迹为平面BCD内以E为圆心，以为半径的圆求解.【详解】解：如图所示：点A在面BCD上的投影为E，设正四面体的棱长为x，设外接球的半径为R，球心为O，由题意知，点O在AE上，则，又，解得，所以，则，所以点P的轨迹为平面BCD内以E为圆心，以为半径的圆，当B，P，E三点共线，且P在BE之间时，最小，最小值为，故答案为：14（2022甘肃高台县第一中学模拟预测（理）如图，在矩形ABCD中，AD2AB4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE平面BCE，平面CDE平面BCE，则所得几何体ABCD
20、E的外接球的体积为_【答案】【解析】【分析】作出图形，确定几何体的外接球的球心的位置，结合球的体积公式即可求解【详解】由题可得均为等腰直角三角形，如图，设的中点为，连接，则，因为平面平面，平面平面，所以平面平面，易得，则几何体的外接球的球心为，半径，所以几何体的外接球的体积为故答案为：15（2022辽宁实验中学模拟预测）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）现将三个直径为4的圆柱放于同
21、一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为_【答案】#【解析】【分析】由题设求出中间截面三角形的面积，再类比体积公式求解即可【详解】根据题意，图2立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同底等高正三棱锥之后的体积，因为该几何体中间截面三角形边长为，所以该底面积，因为圆柱的直径为4，所以该几何体一半的高为2，所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2，所以对应正三棱柱的体积，正三棱锥的体积，所以该几何体的体积为.故答案为：【点睛】本题主要考查了结合题干信息类比解决问题的能力，需要根据题意分析所给新情景的意义，结合题干中的信息求解，属于中档题