《2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.11 圆章末题型过关卷（人教版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.11 圆章末题型过关卷（人教版）含解析.docx（103页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列第24章 圆章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：_班级：_考号：_考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（2022秋梁平区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标是（3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（1，0）B（0，0）C（1，1）D（1，0）2（2022青羊区校级自主招生）如图，ABC中，
2、BAC60，ABC45，AB22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）A2B2C3D33（2022秋宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EFCD6cm，则球的半径为（）A3cmB134cmC154cmD174cm4（2022武汉模拟）如图，AB为O的直径，AE为O的弦，C为优弧ABE的中点，CDAB，垂足为D若AE8，DB2，则O的半径为（）A6B5C42D435（2022中山市三模）如图，AB是O的直径，若AC2，D60，则BC长等于（）A4B5C3D236（2022株洲）如图所示，等边
3、ABC的顶点A在O上，边AB、AC与O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则DFE的度数为（）A115B118C120D1257（2022阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）ABCD8（2022春江夏区校级月考）如图，在O中，弦AB5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为（）A5B2.5C3D29（2022江汉区模拟）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（）A5B22
4、C52D85410（2022秋孟村县期末）如图，点D是ABC中BC边的中点，DEAC于E，以AB为直径的O经过D，连接AD，有下列结论：ADBC；EDAB；OA=12AC；DE是O的切线其中正确的结论是（）ABCD二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（2022平房区二模）如图，O的半径OD弦AB于点C，连接AO并延长交O于点E，连接EC若AB8，CD2，则EC的长为 12（2022任城区校级三模）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点A、B的读数分别为86、30，则ACB的大小为 13（2022曹县三模）如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（
5、点P不与点D、E重合），则CPD的度数为 14（2022秋梁平区期末）如图四边形ABCD内接于O，BD平分ABC，直径AB6，ADC140，则劣弧BD的长为 15（2022秋梁平区期末）如图，已知扇形ACB中，ACB90，以BC为直径作半圆O，过点O作AC的平行线，分别交半圆O，弧AB于点D、E，若扇形ACB的半径为8，则图中阴影部分的面积是 16（2022秋望城区期末）如图，ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F且AB8，AC15，BC17，则O的半径是 三解答题（共7小题，满分52分）17（2022秋锡山区校级月考）如图，P是O外的一点，PA、PB分别与O相切于点A、B，
6、C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E若PA4，求PED的周长18（2022秋安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，ABAC（1）求证：DE平分CDF；（2）求证：ACDAEB19（2022秋广陵区期末）如图，AB为O的直径，点C在O上，ACB的平分线与AB交于点E，与O交于点D，P为AB延长线上一点，且PCBPAC（1）试判断直线PC与O的位置关系，并说明理由（2）若AC8，BC6，求O的半径及AD的长20（2022宿迁）如图，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任一点，BP的延长线交O于点Q，过点Q的O
7、的切线交OA延长线于点R（）求证：RPRQ；（）若OPPA1，试求PQ的长21（2022天心区二模）如图，BC是O的直径，点A在O上，ADBC，垂足为D，AB=AE，BE分别交AD、AC于点 F、G（1）证明：FAFG；（2）若BDDO2，求弧EC的长度22（2022秋梁平区期末）根据垂直定理解答下列问题：（1）如图，在弓形ABC中，弓形高CD2米，弦AB12米，求弓形所在的圆的半径（2）如图中，作直径AC、BD，使得ACBD，连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD的形状是 ；（3）在途中，作直径ACAB于点E，交CD于点F，作直径BDBC于点G，交AD于H，求证：八边形AABBCCDD
8、是正八边形；（4）在图中，直径AC将弓形AAB分成面积相等的两部分，请你将图中弓形的面积分成相等的四部分，只说作法，不说理由23（2022社旗县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务；阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes，公元前287公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子阿拉伯AlBiruni（973年1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AlBiruni译本出版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德的折弦定理阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BCAB，M是
9、ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CDAB+BD这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CDAB+BD的部分证明过程证明：如图2，过点M作MH射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MCM是ABC的中点，MAMC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于O，D为AC上一点，ABD15，CEBD于点E，CE2，连接AD，则DAB的周长是 专题24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】【人教版】【题型1 圆心角、弧、弦的概念】1【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】4【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求
10、线段长度】6【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】9【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】12【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】16【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】19【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】22【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】25【知识点1 弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧（3
11、）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合【题型1 圆心角、弧、弦的概念】【例1】（2022秋余姚市期中）下列语句中，正确的有（）相等的圆心角所对的弧相等；等弦对等弧；长度相等的两条弧是等弧；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A1个B2个C3个D4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可【解答】解：相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两
12、条，不一定相等长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴正确故选：A【变式1-1】（2022秋长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于O，BACDAC，则下列正确的是（）AABADBBCCDCAB=ADDBCADCA【分析】根据BACDAC，得到BC=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到BCCD【解答】解：BACDAC，BC=CD，BCCD，故选：B【变式1-2】（2022秋凯里市校级期中）如图，在O中，AB=CD，则下列结论中：ABCD；ACBD；AOCBOD；AC=BD，正确的是 （填序号）【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项
13、分析即可【解答】解：在O中，AB=CD，ABCD，故正确；BC为公共弧，AC=BD故正确；ACBD，故正确；AOCBOD，故正确故答案为：【变式1-3】（2022秋武汉期末）如图，O中，弦ABCD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FHAC，垂足为G，以下结论：CF=DF；HCBF：MFFC：DF+AH=BF+AF，其中成立的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可【解答】解：F为CBD的中点，CF=DF，故正确，FCMFAC，ACFACM+MCF，AMEFMCACM+FAC，AME
14、FMCFCGFCM，FCFM，故错误，ABCD，FHAC，AEMCGF90，CFH+FCG90，BAF+AME90，CFHBAF，CH=BF，HCBF，故正确，AGF90，CAF+AFH90，AH的度数+CF的度数180，CH的度数+AF的度数180，AH+CF=AH+DF=CH+AF=AF+BF，故正确，故选：C【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2022资中县一模）如图，AB，CD是O的直径，AE=BD，若AOE32，则COE的度数是（）A32B60C68D64【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AE=BD得到BODAOE32，然后利用对顶角相等得BODAOC32，易得CO
15、E64【解答】解：AE=BD，BODAOE32，BODAOC，AOC32COE32+3264故选：D【变式2-1】（2022灌阳县一模）如图，在O中，AB=CD，145，则2（）A60B30C45D40【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论【解答】解：AB=CD，2145，故选：C【变式2-2】（2022秋天河区期末）如图，在O中，ACBD，若AOC120，则BOD120【分析】证明AC=BD可得结论【解答】解：ACBD，AC=BD，BODAOC120，故答案为：120【变式2-3】（2022秋亭湖区期末）如图，AB是O的直径，BC=CD=DE，COD34，则AEO的
16、度数是51【分析】由BC=CD=DE，可求得BOCEODCOD34，继而可求得AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求AEO的度数【解答】解：如图，BC=CD=DE，COD34，BOCEODCOD34，AOE180EODCODBOC78又OAOE，AEOOAE，AEO=12（18078）51故答案为：51【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2022春永嘉县校级期末）如图，半径为R的O的弦ACBD且ACBD于E，连接AB，AD，若AD22，则半径R的长为（）A1B2C2D22【分析】连接OA，OD，由弦ACBD，可得AC=BD，继而可得BC=AD，然后由
17、圆周角定理，证得ABDBAC，即可判定AEBE，由AEBE，ACBD，可求得ABD45，继而可得AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=2R，由此即可解决问题【解答】解：连接OA，OD，弦ACBD，AC=BD，BC=AD，ABDBAC，AEBE，ACBD，AEBE，ABEBAE45，AOD2ABE90，OAOD，AD=2R，AD22，R2，故选：C【变式3-1】（2022桂平市二模）如图，在RtACB中ACB60，以直角边AB为直径的O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，O的半径是6，则MD的长度为（）A32B32C3D23【分析】根据三角形内角和定理求出A30，根据垂径定理
18、求出ODAE，根据含30角的直角三角形的性质求出OD，再求出MD即可【解答】解：ABC90，ACB60，A30，M为弧AE的中点，OM过圆心O，OMAD，ADO90，OD=12OA=126=3，MDOMOD633，故选：C【变式3-2】（2022渝中区校级模拟）如图，AB是O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DEAB于点E，延长DE交O于点F，若AE2，O的直径为10，则AC长为（）A5B6C7D8【分析】根据垂径定理求出DEEF，AD=AF，求出ADC=DAF，求出ACDF，求出EF的长，再求出DF长，即可求出答案【解答】解：连接OF，如图：DEAB，AB过圆心O，DEEF，AD=AF，D
19、为弧AC的中点，AD=DC，ADC=DAF，ACDF，O的直径为10，OFOA5，AE2，OEOAAE523，在RtOEF中，由勾股定理得：EF=OF2-OE2=52-33=4，DEEF4，ACDFDE+EF4+48，故选：D【变式3-3】（2022秋曾都区期中）如图，在O中，AC=12AB，直径BC25，BD=CD，则AD32【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DEAB于点E，DFAC交AC的延长线于点F证明四边形DEAF是正方形，可得AD=2AF，想办法求出AF，可得结论【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DEAB于点E，DFAC交AC的延长线于点FBC是直径，BAC90，BC25
20、，AB2AC，AC2，AB4，DEAEAFDFA90，四边形DEAF是矩形，AD平分BAC，DEDF，四边形DEAF是正方形，AD=2AF，DABDAC，BD=CD，BDCD，DEBF90，DBDC，DEDF，RtDEBRtDFC（HL），BECF，AB+ACAE+BEAFCF2AF6，AF3，AD=2AF32，故答案为：32【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2022秋龙口市期末）如图，已知O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是O上的两点，且AD=DC=CB，则四边形ABCD的周长等于（）A4cmB5cmC6cmD7cm【分析】如图，连接OD、OC根据圆心角、弧、弦间的关系
21、证得AOD、OCD、COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系【解答】解：如图，连接OD、OCAD=DC=CB（已知），AODDOCCOB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；AB是直径，AOD+DOC+COB180，AODDOCCOB60；OAOD（O的半径），AOD是等边三角形，ADODOA；同理，得OCODCD，OCOBBC，ADCDBCOA，四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB5OA51cm5cm；故选：B【变式4-1】（2022秋海口期末）如图，A、B是半径为3的O上的两点，若AOB120，C是AB的中点，则四边形AOBC的周
22、长等于12【分析】通过等弧所对的圆心角相等和AOB120，得到AOC和BOC都是等边三角形，再求出四边形AOBC的周长【解答】解：C是AB的中点AOCBOC，而AOB120AOCBOC60AOC和BOC都是等边三角形OAOBCACB3所以四边形AOBC的周长等于12故填12【变式4-2】（2022秋西林县期末）如图，在O中，AOB60，弦AB3cm，那么AOB的周长为 9cm【分析】由OAOB，得OAB为等边三角形进行解答【解答】解：OAOB，AOB60，OAB为等边三角形，OAOBABAB3cm，AOB的周长为3+3+39（cm）故答案为：9cm【变式4-3】（2022江北区校级开学）如图，
23、O的弦ACBD，且ACBD于E，连接AD，若AD36，则O的周长为 63【分析】接AB，AO，DO，根据O的弦ACBD求出BC=AD，根据圆周角定理求出BACABD，求出ABDBAC=12（180AEB）45，根据圆周角定理求出AOD2ABD90，解直角三角形求出AO，再求出答案即可【解答】解：连接AB，AO，DO，O的弦ACBD，ABC=BAD，BC=AD，BACABD，ACBD，AEB90，ABDBAC=12（180AEB）45，AOD2ABD90，即AOD是等腰直角三角形，AD36，AO2+OD2AD2，AO33，O的周长是233=63，故答案为63【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面
24、积】【例5】（2022海丰县模拟）如图，A，B是O上的点，AOB120，C是AB的中点，若O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A25B253C2534D2532【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到AOCBOC60，易得OAC和OBC都是等边三角形，即可解决问题【解答】解：连OC，如图，C是AB的中点，AOB120，AOCBOC60，又OAOCOB，OAC和OBC都是等边三角形，S四边形AOBC2125232=2523故选：D【变式5-1】（2022嘉兴二模）如图所示，在1010的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分S甲表示甲的面积，则S甲252【
25、分析】由题意得到ABCD6，ADBC8，求得S弓形ADS弓形BC，S弓形ABS弓形CD，根据三角形的面积公式得到SABE+SDEFSBEF+SCDF，于是得到结论【解答】解：如图，ABCD6，ADBC8，S弓形ADS弓形BC，S弓形ABS弓形CD，SABE+SDEFSBEF+SCDF，S甲S乙=12S圆=252，故答案为：252【变式5-2】（2022秋朝阳区校级期末）如图，在O中，AC=CB，CDOA于点D，CEOB于点E（1）求证：CDCE；（2）若AOB120，OA2，求四边形DOEC的面积【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOCBOC，根据角平分线的性质定理证明结
26、论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案【解答】（1）证明：连接OC，AC=BC，AOCBOC，又CDOA，CEOB，CDCE；（2）解：AOB120，AOCBOC60，CDO90，OCD30，OD=12OC1，CD=OC2-OD2=22-12=3，OCD的面积=12ODCD=32，同理可得，OCE的面积=12OECE=32，四边形DOEC的面积=32+32=3【变式5-3】（2022浙江自主招生）如图，在半径为1的O上任取一点A，连续以1为半径在O上截取ABBCCD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E
27、的距离为半径画弧，交O于F则ACF面积是（）A2B3C3+224D3+34【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AGCF于G点，由ABOAOB1，得到AOB60，弧AB的度数60，而ABBCCD，得弧ABD的度数360180，所以AD为O的直径，CFA60；再由ANAFOE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD弧FA，得到FAD为等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在RtAGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，在RtAGC中，CGAG=62，最后利用三角形的面积公式即可求出ACF面积【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AGCF于G点，连OE交O于N，连AN，如图，ABO
28、AOB1，OAB为等边三角形，AOB60，弧AB的度数60，又ABBCCD，弧AB弧BC弧CD，弧ABD的度数360180，AD为O的直径，CFA60，ANAFOE=2，AD平分NF，EF过O点，弧FD弧FA，FAD为等腰直角三角形，FCAFDA45，FA=22AD=2，在RtAGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，在RtAGC中，CGAG=62，SACF=12CFAG=12（22+62）62=3+34故选：D【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】（2022下城区校级四模）如图，等腰ABC的顶角CAB为50，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的
29、度数为（）A50B25C80D65【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出DOE50，可得结论【解答】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，ODAB是直径，ADB90，ADCB，ABAC，BADDAC=12BAC25，DOE2DAC50，DE的度数为50，故选：A【变式6-1】（2022秋亭湖区校级月考）如图，在RtABC中，C90，A28，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A28B64C56D124【分析】先利用互余计算出B64，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到CDBB64，则根据三角形内角和定理
30、可计算出BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解【解答】解：C90，A28，B62，CBCD，CDBB62，BCD180626256，BD的度数为56故选：C【变式6-2】（2022新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，ACBD，设AC，BD相交于点E，弧AD100，ABED，则弧AB的度数为50【分析】连接BC，如图，由弧AD100得到ACD50，再证明AB=CD得到ABCD，ACBDBC，则CDED，所以DECDCE50，然后计算出ECB的度数，从而得到弧AB的度数【解答】解：连接BC，如图，弧AD100，ACD50，ACBD，AC=BD，即AB+A
31、D=AD+CD，AB=CD，ABCD，ACBDBC，ABED，CDED，DECDCE50，DECEBC+ECB2ECB，ECB=12DEC25，弧AB的度数为50故答案为：50【变式6-3】（2022浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（）A120B135C150D165【分析】直接利用翻折变换的性质得出BOD30，再利用弧度与圆心角的关系得出答案【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OEAB于点E，由题意可得：EO=12BO，ABDC，可得EBO30，故BOD30，则BOC150，故BC的度数是150故选：C【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系
32、比较大小】【例7】（2022秋顺义区期末）如图，在O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）AABACBAB2ACCAB2ACDAB2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2BD，由已知条件AB=2AC，得出AD=BD=AC，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到ADBDAC，又在ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BDAB，即可得到AB2AC【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2BD，AB=2AC，AD=BD=AC，ADBDAC在ABD中，AD+BDAB，AC+ACAB，即AB2AC故选：D【变式7-1】（
33、2022秋西林县期末）如图，AB是O的直径，CD的是O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论【解答】解：连接OC，OD，ABOA+OBOC+OD，OC+ODCD，ABCD【变式7-2】（2022秋余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（）AAB+CDEFBAB+CDEFCAB+CDEFD大小关系不确定【分析】在弧EF上取一点M使弧EM弧CD，推出弧FM弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到ABFM，CDEM，根据三角形的三边关系定理求出F
34、M+EMFE即可【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM弧CD，则弧FM弧AB，ABFM，CDEM，在MEF中，FM+EMEF，AB+CDEF故选：C【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上（1）若BC=3AD，CD=2AD，求DAB和ABC的大小；（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）试比较DAB和ABC的大小【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系【解答】解：（1）BC=3AD，CD=2ADBOC3AOD，COD2AODBOC+C
35、OD+AOD180AOD30，BOC90，COD60DAB=12BOD=12（BOC+COD）75ABC=12AOC=12（AOD+COD）45（2）若ADCB，则DABABC；若AD=CB，则DABABC；若ADCB，则DABABC【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】【例8】（2022秋自贡期末）如图，AB为O的直径，BE=CE，CDAB于点D，交BE于F，连接CB求证：BCCF【分析】证明：连接AE，利用圆心角、弧与弦的关系证明即可【解答】证明：连接AE CE=BEAFBC，AB为直径，E90，A+ABE90，CDAB于D，FDB90，CFB+ABE90，ACFB，FBCCFB，BCCF
36、【变式8-1】（2022秋西林县期末）如图，AB、CD是O的直径，弦CEAB求证：BD=BE（用两种不同的方法证明）【分析】方法一：由CEAB知AC=BE，再由BODAOC知AC=BD，据此可得证；方法二：连接OE，知OCEOEC，根据ABCE知BODOCE，BOEOEC，从而得BODBOE，继而可得证【解答】证明：方法一：CEAB，AC=BE，BODAOC，AC=BD，BD=BE；方法二：连接OE，OCOE，OCEOEC，ABCE，BODOCE，BOEOEC，BODBOE，BD=BE【变式8-2】（2022秋福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD
37、BC，求证：D为AC的中点【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出BC，AODB，CODC，求出AODCOD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可【解答】证明：OBOC，BC，ODBC，AODB，CODC，AODCOD，AD=CD，即D为AC的中点【变式8-3】（2022眉山模拟）如图所示，O中，弦AB与CD相交于点E，ABCD，连接AD，BC，求证：（1）AD=BC；（2）AECE【分析】（1）由ABCD，推出AB=CD，推出AD=CD（2）证明ADECBE可得结论【解答】证明：（1）ABCD，AB=CD，AC+BC=AD+AC，AD=BC（2）AD=BC，ADBC，ADECBE，A
38、EDCEB，ADECBE（AAS），AEEC【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】【例9】（2022原州区期末）在O中，AB是直径，COAB，D是CO的中点，DEAB，则CE与BE之间的等量关系是什么？请证明你的结论【分析】连接OE，证出OD=12CO=12OE，得出DEO30，求出DOE60，BOE30，即可得出结论【解答】解：CE=2BE，理由如下：连接OE，如图所示：COAB，BOC90，DEAB，DECO，ODE90，D是CO的中点，OD=12CO=12OE，DEO30，DOE903060，BOE906030，CE=2BE【变式9-1】（2022铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C
39、在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（）ABC=12ACBBC=13ACCBC=ACD不能确定【分析】连接OC，BC，过O作OEAC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到ACB90，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得COB60，得到AOC120，于是得到结论【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OEAC于D交圆O于E，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，OD=12OE，AB是半圆O的直径，ACB90，ODBC，OAOB，OD=12BC，BCOEOBOC，COB60，AOC120，BC=12AC，故选：A【变式9-2】（20