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1、微专题31不等式高考定位1.高考时不等式的考查主要是不等式的性质与解法、线性规划问题，基本不等式及其应用等.2.多以选择、填空题的形式呈现，中等或偏下难度.1.(2019全国卷)若ab，则()A.ln(ab)0 B.3a0 D.|a|b|答案C解析法一由函数yln x的图象(图略)知，当0ab1时，ln(ab)b时，3a3b，故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3b30，故C正确；当ba0时，|a|b|，故D不正确.故选C.法二当a0.3，b0.4时，ln(ab)3b，|a|b|，故排除A，B，D.故选C.2.(2020上海卷)下列不等式恒成立的是()A.a2
2、b22ab B.a2b22abC.ab2 D.ab2答案B解析由基本不等式可知a2b22ab，故A不正确；a2b22aba2b22ab0，即(ab)20恒成立，故B正确；当a1，b1时，不等式不成立，故C不正确；当a0，b1时，不等式不成立，故D不正确.故选B.3.(2022全国乙卷)若x，y满足约束条件则z2xy的最大值是()A.2 B.4 C.8 D.12答案C解析法一由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z2xy为y2xz，上下平移直线y2xz，可得当直线过点(4，0)时，直线截距最小，z最大，所以zmax2408.故选C.法二由得此时z2022；由得此时z2204；由得此时z
3、2408.综上所述，z2xy的最大值为8，故选C.4.(2019天津卷)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_.答案解析3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1xb，则下列不等式一定成立的是()A.a2b2 B.bc2 D.3a3b2(2)若不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.2答案(1)D(2)B解析(1)对于A，当a2，b4时不成立，故A错误；对于B，当a，b1时，2，0，即，故B错误；对于C，当c0时不成立，故C错误；对于D，因为ab，所以3a3b0，又3b0，所以3a3b3b3b22(等号成立的条件是b0)，故D
4、正确.(2)当a240时，解得a2或a2，当a2时，不等式可化为4x10，解集不是空集，不符合题意；当a2时，不等式可化为10，此式不成立，解集为空集.当a240时，要使不等式的解集为空集，则有解得2a.综上，实数a的取值范围是.易错提醒求解含参不等式ax2bxc0(a，b，c为参数)的解集为x|2x0(a，b，c为参数)的解集为()A.B.(1，)C.D.(，1)(2)如果ab，cd，则下列不等式恒成立的是()A.acbd B.acbdC. D.acbd答案 (1)D(2)B解析(1)不等式ax2bxc0(a，b，c为参数)的解集为x|2x1，方程ax2bxc0(a，b，c为参数)的两根为2
5、和1，且a0可化为2x2x10，解得x，不等式cx2axb0的解集为(，1).故选D.(2)对于A，若a2，b1，c1，d1，则ac1b，cd，所以acbd，所以B正确；对于C，若a2，b1，c1，d1，则0)，且zx2y2，若z的最大值是其最小值的倍，则a的值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案(1)D(2)A解析(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立方程组解得即B(1，4)，平移直线3x2y0至经过点B时目标函数u3x2y取得最大值，即umax312(4)11.(2)由题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，联立解得A(2，3)，|OA|2223
6、213，所以zx2y2的最大值为13.又点O到直线2xay20的距离为，所以zx2y2的最小值为，所以13(a0)，解得a1，故选A.规律方法(1)作不等式组表示的可行域的原则是：直线定界，注意虚实，特殊点定域，常取原点.(2)确定目标函数的几何意义，运用动态变化的思想方法求目标函数的最值.训练2 (1)已知实数x，y满足约束条件则z4xy的最大值等于_.(2)(2022桂林模拟)已知实数x，y满足约束条件则z的最小值为_.答案(1)(2)解析(1)根据约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z4xy化为y4xz，z表示斜率为4的直线在y轴上的截距，平移直线y4x，当直线过xy
7、2与x3y3的交点A时，z取最大值.(2)由题意，作出不等式组满足的平面区域，易知该区域是以点A(1，1)，B(2，1)，C(1，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图知，当目标函数z经过点B(2，1)时取得最小值.热点三基本不等式及其应用基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为ymBg(x)(AB0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运
8、用基本不等式来求最值. 考向1利用基本不等式求最值例3 (1)(2022银川调研)在下列函数中，最小值为2的是()A.yxB.ylg x(1x1)D.ysin x(2)(2022湖北九师联盟质检)已知a0，b0，且a|b|3，则的最小值为_.答案(1)C(2)32解析(1)对于A，当x0时，y为负数，A不符合题意；对于B，1x10时，0lg x1)，当且仅当x1，即x2时等号成立，C符合题意；对于D，0x时，0sin x0时，1，当b0，x35x24xax2恒成立，则实数a的取值范围是_.答案(，9解析因为对任意x0，x35x24xax2a恒成立，只需满足a，因为x0，所以x5259，当且仅当
9、x，即x2时取等号.故实数a的取值范围是(，9.易错提醒利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件：(1)一正二定三相等，三者缺一不可；(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.训练3 (1)(2022重庆质检)若x0，y0且xyxy，则的最小值为()A.3 B.C.3 D.32(2)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A. B.2 C.4 D.答案(1)D(2)B解析(1)xyxy，(x1)(y1)1，33232，当且仅当时等号成立，故选D.(2)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，m22n2amn，即a
10、恒成立.22，当且仅当，即mn时取等号，a2，故a的最大值为2，故选B.一、基本技能练1.不等式x2的解集是()A.(，0(2，4B.0，2)4，)C.2，4)D.(，2)(4，)答案B解析当x20，即x2时，(x2)24，即x22，x4；当x20，即x2时，(x2)24，即2x20，0x2，综上，0x2或x4.2.若a，b，c为实数，且ab0，则下列说法正确的是()A.ac2bc2 B. D.a2abb2答案D解析当c0时，A不成立；0，B错误；0，C错误；由ababb2，D正确.3.若不等式ax2xc0的解集为，则函数ycx2xa的图象可以为()答案C解析由题意可得1和是方程ax2xc0的
11、两个根，且abc，且abc0，则下列不等式一定成立的是()A.ab2bc2B.ab2b2cC.(abac)(bc)0D.(acbc)(ac)0答案C解析由题意可知a0，cc，a0，所以abac，所以abac0.因为bc，所以bc0，所以(abac)(bc)0，则C一定成立.因为ab，c0，所以acbc，所以acbcc，所以ac0，所以(acbc)(ac)0，b0，且f(a)f(2b)m，|a|2|2b|21，a2b5，2，当且仅当即a(1)，b(3)时取“”，故选B.10.(2022银川模拟)设0ab1，0cln(cb1)；(c1)aaaba；logcalogcb.A.1 B.2 C.3 D.
12、4答案B解析因为0ab1，0c1，可得函数yax，ylogcx均是减函数，可得ablogcb，所以不正确；又由函数yln x是增函数，ycx是减函数，可得cacb，且ca1cb1，所以ln(ca1)ln(cb1)，所以正确；因为0c1，所以函数y(c1)x是增函数，可得(c1)a(c1)b，所以正确.11.(2022连云港二模)函数f(x)9x312x的最小值是_.答案2解析f(x)9x312x9x9x22，当且仅当9x，即x时取等号.所以最小值为2.12.(2022临汾二模)已知正数a，b满足a2b2，则的最小值为_.答案解析因为正数a，b满足a2b2，则(a2b)(1724)，当且仅当即b
13、2a时取等号.故的最小值为.二、创新拓展练13.已知实数x，y满足若不等式xmy10恒成立，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.(，4答案D解析根据不等式组作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，联立解得点A(3，1).易知直线xmy10过定点(1，0)，要使不等式xmy10恒成立，则可行域在直线xmy10的左上方，则3m10，即m4，所以实数m的取值范围是(，4，故选D.14.已知关于x的不等式ax22x3a0在(0，2上有解，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析x(0，2时，不等式可化为ax2；当a0时，不等式为00时，不等式化为x22，当且仅当x时取等号，所以a，即0a；当a恒成立.综上所述，实数a的取值范围是.选A.15.若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_.答案a2aba2b2b解析0ab且ab1，0ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a2，即a2ab1，即a2b2.b1，(a2b2)b(1b)2b2b2b23b1(2b1)(b1)0，即a2b2b.16.若实数x，y满足则(x1)2(y3)2的最小值为_.答案10解析作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，则点(x，y)到点(1，3)的最小距离为点(1，3)到直线x3y0的距离，即d，所以(x1)2(y3)2的最小值为10.