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1、微专题6极化恒等式1.极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则ab(ab)2(ab)2.极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合.2.极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即ab(|2|2).如图(1).3.极化恒等式的三角形模式：在ABC中，若M是BC的中点，则|2|2，或|2|2.如图(2).图(1)图(2)类型一求平面向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤：(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
2、(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式. 例1 (1)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则_.(2)(2022郑州调研)如图，在ABC中，已知AB4，AC6，A60，点D，E分别在边AB，AC上，且2，3，若F为DE的中点，则的值为_.答案(1)(2)4解析(1)连接EG，FH交于点O(图略)，则221，221，因此.(2)取BD的中点N，连接NF，EB，因AB4，A
3、E2，A60，故BE2164242cos 60，故BE2，则BEAE.在DEB中，FNEB，FNBE，故FN.22(22)2(31)4.训练1 (1)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5，若7，则的值是_.(2)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.4，1，则的值为_.答案(1)9(2)解析(1)因为22927216，所以2225169.(2)设BDDCm，AEEFFDn，则AD3n.根据向量的极化恒等式，得229n2m24，22n2m21.联立，解得n2，m2.因此224n2m2.即.类型二求平面向量数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式
4、求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解. 例2 (1)设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆弧上，如图所示，则的取值范围是_.(2)(2022贵阳模拟)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|5，则的最大值是_.答案(1)0，16(2)解析(1)取CD的中点E，由极化恒等式得|2|2|24，由图知2|2，故0，16.(2)法一(极化恒等式法)连接BC，取BC的中点D，22，又|，故22，又
5、因为BCmin312，所以()max.法二(坐标法)以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，如图：则A(0，3)，C(c，0)，B(b，2)，则(b，1)，(c，3)从而(bc)2(4)252，即(bc)29，又bc33，当且仅当bc时，等号成立.训练2 (1)如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值为_.(2)如图，在正方形ABCD中，AB1，A，D分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则的最大值为_.答案(1)(2)2解析(1)取OB的中点D，连接PD，则|2|2|2，于是只要求PD的最小值即可，由图可知，当
6、PDAB时，PD时有最小值，即所求最小值为.(2)如图取BC的中点E，取AD的中点F，222，而|1，当且仅当O，F，E三点共线时取等号，所以的最大值为2.一、基本技能练1.在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则()A.16 B.12 C.4 D.1答案A解析因为M是BC的中点，由极化恒等式得：|2|2910016.2.设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析由极化恒等式得ab(ab)2(ab)2(106)1.3.如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB6，MN4，则()A.13 B.7 C
7、.5 D.3答案C解析连接PO(图略)，|2|2945.4.如图，AOB为直角三角形，OA1，OB2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则()A.1 B. C. D.答案B解析取AO中点Q，连接PQ(图略)，|2|2.5.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则()A. B. C.1 D.2答案C解析取AE的中点为O，设|x(0x1)，|2|21x21.6.(2022宝鸡模拟)已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB8，CD6，则的取值范围是()A.0，9 B.0，3C.3，0 D.9，0答案D解析如图，22216，|，|4，的取值范围是9，0.7.若点O和点F
8、分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8答案C解析如图，由已知OF1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：|2|2|2，|，的最大值为6.8.已知点A，B分别在直线x3，x1上，|4，当|取最小值时，的值是()A.0 B.2 C.3 D.6答案A解析如图，点A，B分别在直线x3，x1上，|4，当|取最小值时，AB的中点在x轴上，22440.9.若平面向量a，b满足|2ab|，则ab的最小值为()A. B. C. D.答案D解析ab(2ab)2(2ab)2|2ab|2|2ab|2.当且仅当|2ab|0，|2ab|3，即|a|，|b|，
9、a，b时，ab取最小值.10.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则()的最小值为()A. B. C. D.1答案C解析2，()2，取OC中点D，由极化恒等式得，|2|2|2，又|0，()的最小值为.11.在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则等于_.答案解析取EF的中点M，连接AM，|，以AB，AC为邻边的平行四边形为矩形，2AM，AM，EM2AM，则|2|2.12.已知AB为圆x2y21的一条直径，点P为直线xy20上任意一点，则的最小值是_.答案1解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直直线时，有最小值，即|2|
10、2()2121.二、创新拓展练13.已知在ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()A.ABC90 B.BAC90C.ABAC D.ACBC答案D解析如图所示，取AB的中点E，因为P0BAB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，则DP0为CEB的中位线，DP0CE.根据向量的极化恒等式，有22，22.又，则|恒成立，必有DP0AB.因此CEAB，又E为AB的中点，所以ACBC.14.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是()A.44 B.22 C.24 D.72答案B解析如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F
11、，|2|2|2162，|3，又3，2，即FAE中，DP为中位线，AF2AD10，AEAB4，FE2PE6，cosAEP，故|240，|2|240(3)222.15.如图，ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的最小值是_.答案1解析取AB中点O，连接PO.|2|2|23，要求最小值，只需求|2的最小值，连接CO交圆C于点D，则当P与D重合时，|有最小值，|min312，故()min431.16.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是_.答案0，2解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为O，则2221.由于P为正方体表面上的动点，故OP1，所以0，2.