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1、摘要 本论文主要研究闭链五杆机构四足机器人的步态问题，现市面上所有足式机器人基本为膝式或肘式腿部结构的机器人，闭链五杆机构的足式机器人很少。但以闭链五杆机构为腿部结构的四足机器人却有着很好的运动潜力，与表现最好的四足动物相匹配且制作成本相对较低。本论文对步态的研究是基于Adams和MATLAB的联合仿真进行的，在Adams中完成对虚拟样机的设置，然后通过MATLAB控制该样机的运动，达到模拟实物运动的目的。经过不断地仿真和改进，主要研究出了四足机器人的踏步和行走步态。关键词：闭链五杆机构、四足机器人、步态AbstractThis paper mainly studies the gait pr
2、oblem of four-legged robot with closed chain five-bar mechanism. Currently, all foot robots on the market are basically knee or elbow type robots with leg structure, and few foot robots with closed chain five-bar mechanism. However, the four-legged robot with closed chain five-bar mechanism as the l
3、eg structure has a good potential for movement, which is matched with the best-performing four-legged animal and relatively low production cost.This paper on gait research is based on the joint simulation of Adams and MATLAB, in Adams to complete the virtual prototype setup, and then through MATLAB
4、control of the prototype movement, to achieve the purpose of simulating physical motion. Through continuous simulation and improvement, the step and gait of four-legged robot are mainly studied.Keywords: closed chain five-bar mechanism, Quadruped robot, locomotor gait目录第一章 绪论11.1 课题研究背景及意义11.2 国内外研究
5、现状11.2.1 国外研究现状11.2.2 国内研究现状51.3 论文主要研究难点6第二章 四足机器人运动学研究72.1 四足机器人腿部模型72.2 闭链五杆机构运动学逆解82.3 本章小结13第三章 四足机器人踏步步态的联合仿真143.1 虚拟样机技术143.2 MATLAB/Simulink 简介143.3 四足机器人踏步步态仿真流程153.4 四足机器人三维模型绘制及虚拟样机设置163.4.1 工作空间设置及添加约束173.4.2 输入输出及驱动设置183.4.3 加载Adams/Control模块203.5 MATLAB 控制系统设置213.5.1 Simulink 框图设计213.5
6、.2 编写控制程序22第四章 四足机器人行走步态的联合仿真264.1 四足机器人对角行走步态简介264.2 四足机器人对角行走步态初步设计及仿真264.2 四足机器人对角行走步态改进及仿真30第五章 结论35第六章 参考文献36第七章 致谢38第八章 附录39附录A39附录B40附录C42附录D45附录E50第一章 绪论1.1 课题研究背景及意义机器人是可以自主进行工作的设备。它既能够被人引导，又能够执行事先编写的代码，也可以根据AI技术编写的纲要行动。它意在辅助或代替人类的一些工作。经过长时间的发展，机器人已经被大面积得使用，比如生产制造、抢险救灾等，特别是比较不安全的工作。机器人的运动方式
7、一般采用轮式或履带式，这种技术已十分成熟，可以在平稳的路面上快速、高效地行驶。但在路面较为崎岖时，轮式或履带式机器人的运行就会大幅度受阻，以致无法前进。但足式机器人却不会因此而受到困扰，它在崎岖不平的地面拥有良好的表现。足式机器人主要有八足、六足、四足、二足等，其中四足机器人的稳定性优于二足机器人，又可以免去八足和六足机器人复杂的机械结构，所以具有非常好的发展前景，此次毕业设计也选择四足机器人进行研究。如果按照传统的设计流程，在制作出的样机上进行步态测试，虽然可以得出最为真实的试验结果，但现实条件却不允许。样机设计制作时间较长且成本高昂，将控制程序导入样机的单片机内也要经过较为复杂的编译，不便
8、于一次次的修改，且样机也比较容易损坏。此次步态设计与仿真将基于Adams与MATLAB的联合仿真进行，使用Adams建立四足机器人模型并添加约束及驱动，在MATLAB中使用simulink模块建立控制系统并编写电机控制程序，将二者结合就可以实现联合仿真。此方法将大大缩短测试的时间和成本，且可以及时发现一些基础的错误并修改，在步态方案较为成熟之后，再进行样机测试并做最后调整。1.2 国内外研究现状1.2.1 国外研究现状在上世纪中叶，国外的四足机器人研究就已经开始，到21世纪，发展得已经较为成熟。上世纪60年代，McGhee 研制了世界上第一台四足机器人。此后，世界上有关四足机器人展开了大量的研
9、究。20世纪80年代，MIT Leg-Lab开展了腿足动态运动控制研究。他们在成功研制出单腿机器人的基础上，将控制算法拓展应用到了四足机器人中。此四足机器人相当于将之前的单腿机器人拼接在一起，并使用该机器人实现了一些基础的步态，比如行走、对角小跑以及跳跃，成为当时表现最为优秀的四足机器人。图 1-1 MIT早期的单足、二足、四足机器人 2005年，美国波士顿动力公司推出的BigDog（如图1-2所示）是四足机器人发展史上的一个重要里程碑。BigDog采用了伺服液压缸作为其腿部的驱动器，使用汽油发动机供能，是四足机器人设计上的一个重大突破，使其可以不同复杂地形上的稳定行走，并且在侧面受到突然扰动
10、是任然能够保持平衡。LS3（如图1-3所示）进一步改进了身体结构设计，负载能力更强，能够通过和适应更为复杂的野外环境。在快速性方面，Cheetah（如图1-4所示）的室内奔跑速度达到了 45.5km/h，而 WildCat（如图1-5所示） 在运动时可以实现小跑、跳跃和奔跑间的相互切换，是目前唯一可以在室外完成gallop奔跑的四足机器人。 图 1-2 BigDog四足机器人 图 1-3 LS3四足机器人 图 1-4 Cheetah四足机器人 图 1-5 Wildcat 四足机器人由于液压伺服系统使用发动机提供动力，因此以此方式为腿部驱动的四足机器人重量较重且在运行时会产生很大的噪音，为此，波
11、士顿动力公司研发了 Spot（如图1-6）和 Spot Mini（如图1-7）四足机器人。Spot使用电液混合驱动，它的重量约 72 千克，大大减少了运行时产生的噪音，可以实现静态行走、对角小跑等步态，可以通过搭载的感知单元在野外环境下稳定行走、上斜坡、上台阶，甚至在受到侧向推力时可以自主恢复平衡。Spot Mini具有更轻的重量且完全采用电机驱动，极大地降低了运动噪声，运动更为灵活，在 Spot Mini 上还可以搭载机械臂，完成物品抓取、递送、开门等复杂动作。除此之外，在2012年MIT研制了全电机驱动的四足机器人Mini Cheetah（如图1-8），该机器人通过力矩电机的反驱作用，实现
12、对地面碰撞能量的回收，具有极高的能量利用率。采用虚拟力模型，通过地面反作用力控制，实现了trot和bound步态运动，以及gallop步态的仿真控制。2016年，ANYmal（如图1-9）是苏黎世联邦理工学院研究出的新型四足机器人，此机器人的设计意在使其能够在复杂的条件下自动运行，其配备了激光传感器和摄像机，可以检测周围的环境地形，然后自主选择合适的落脚点，目前已被用于位置环境的探测，在携带电池的情况下自重不超过30kg，能完成2小时连续工作。 图 1-6 Spot四足机器人 图 1-7 Spot Mini 四足机器人 图 1-8 MIT- Mini Cheetah 四足机器人 图 1-9 A
13、NYmal四足机器人不同于其他的膝式、肘式机器人，斯坦福大学研究的Stanford Dog（如图1-10所示），使用了一种全然不同的腿部结构闭链五杆机构（如图1-11所示）。此机器人匹配或超过了最先进的腿式机器人的常见性能指标。在垂直跳跃敏捷性方面，Stanford Doggo与表现最好的动物相匹配，比之前的机器人高出22%，且制造成本更低，所以此次毕业设计，我将进行闭链五杆机构四足机器人的步态规划研究。 图1-10 Stanford Doggo 四足机器人 图 1-11 机械部件在一条腿上的装配。红色和蓝色表示从电机到腿连杆的皮带传动对应的部件1.2.2 国内研究现状国内四足机器人的研究起步
14、较晚，但也取得了一定的进展。我国为了缩小与发达国家四足机器人研究水平上的落后，开展了一系列的计划以促进我国四足机器奇人的发展。我国各顶尖院校纷纷展开了对四足机器人的研究，研制出了各自的四足机器人（如图1-12、1-13、1-14、1-15），在2013年的一项全国性比赛中。中国北方车辆研究所研制的四足机器人（如图1-16）正式亮相，比赛成绩优异。 图 1-12 山东大学四足机器人 图 1-13 国防科技大学 图 1-14 哈尔滨工业大学四足机器人 四足机器人 图 1-15 上海交通大学四足机器人 图 1-16 中国北方车辆研究所四足机器人 1.3 论文主要研究难点论文研究难点在于以下几点：第一
15、， 在Adams中建立模型十分不便，所以需要使用其他三维建模软件建模后导入Adams中。在Adams中需要为模型设置约束、接触力、驱动以及各种变量。其中驱动需要和输入变量相关联，因此驱动不是由Adams定义的，而是由MATLAB的输入变量定义的。这两个软件之间关联的建立、变量以及驱动的设置都较为复杂，是本论文研究的难点之一。第二， 目前绝大多数四足机器人都为膝式、肘式机器人，而以闭链五杆机构作为腿部结构的四足机器人屈指可数，这导致此方面可供参考的文献严重不足，没有足够的研究经验以供参考，自学难度较大。第三，闭链五杆机构四足机器人的运动学逆解方法和其他腿部结构的四足机器人有所不同。基本所有的文献
16、中逆解方法都采用D-H矩阵法，通过在机器人的每个连杆上都固定一个坐标系，然后用44的齐次变换矩阵来描述相邻两杆的位置关系，通过依次变换最终推导出末端与基坐标系的位姿来建立机器人的运动方程。然而这种方法并不适用与闭链五杆机构，所以需要用其他的方法来解决腿部的运动学逆解，也是一个难点。第二章 四足机器人运动学研究2.1 四足机器人腿部模型本论文研究的四足机器人采用闭链五杆机构（如图1-11所示）作为腿部结构，拥有两个自由度，分别由两个电机控制，实际装配图如图2-1所示，简化之后的腿部尺寸及结构简图如图2-2所示。若以腿根处为坐标原点建立直角坐标系，则可以清晰得将足尖的极限运动轨迹表示出来（如图2-
17、3所示），此四足机器人的足尖可到达阴影区域内任意一点的位置，因此此机器人具有非常好的灵活性。图 2-1 腿部组装图图 2-2 腿部尺寸及结构简图 图2-3 足尖极限位置2.2 闭链五杆机构运动学逆解2.2.1 逆解计算建立如图所示的闭链五杆机构数学模型（如图2-4所示），其中OA、AB、BC、CD、DO、BE的长度分别用L1、L2、L3、L4、L5、L6来表示，DO为机架，O、D两点为驱动点，此处L1=115mm，L2=195mm，L3=195mm，L4=115mm，L5=0，L6=35mm。图 2-4 闭链五杆机构数学模型如图得所以进一步计算得合并两式后可消去令- （式2-1）即将上式化成代
18、入万能公式得 -（式2-2）因为所以-（式2-3）因为所以所以 -（式2-4）消去得令-（式2-5）所以-（式2-6）2.2.2 MATLAB算法编写为了简便计算以及更为方便的调用，需要将之前的计算公式编写为MATLAB算法，在打开MATLAB之后新建函数文件。在编写算法时，需要注意到无效逆解结果的筛选和排除，在四足机器人足尖可以到达的极限范围内，一个固定坐标共可产生四种逆解结果（如图2-5、2-6、2-7、2-8所示），其中只有图2-5所示解法正确，需要在MATLAB算法中排除其他3种无效结果，筛选出有效结果。 图 2-5 结果1 足尖朝外且 图 2-6 结果2 各连杆均未出各连杆均未出现重
19、叠现象， 现重叠现象但足尖朝内，故结故该结果正确 果无效 图 2-7 结果3 足尖朝内且 图 2-8 结果4 足尖朝外但连杆出现重叠现象，故结果 连杆出现重叠现象，故结果 无效 无效MATLAB算法流程图如图2-9所示，详细程序可见附录A：图 2-9 逆解算法流程图 编写完算法之后，只需要输入坐标值就可以逆解得出角度（如图2-10所示），十分方便。图 2-10 MATLAB命令窗口2.2.3 连续函数逆解及拟合在拥有MATLAB逆解算法之后，我们已经可以通过四足机器人足尖坐标非常快捷地解得电机角度，但此算法只能逆解单个点，无法逆解一段连续的函数。这会导致四足机器人只能以点到点的步态运动，会显得
20、十分僵硬且电机在加速瞬间加速度会无穷大。所以，需要将函数微分成小点，然后逆解之后再进行拟合，以得到连续的运动方程。拟合代码流程图如图2-11所示，具体代码见附录B：图 2-11 连续函数拟合流程图只要在代码中输入需要逆解函数的时长，函数X和Y轴关于t的函数，即可解得一段连续的运动方程。2.3 本章小结 本章根据建立的四足机器人腿部数学模型，给出了一种有效的运动学逆解方法，根据闭链五杆机构各杆的长度和足端坐标计算出电机所需转角。并在计算的基础上编写了与之对应的MATLAB代码以便更为快捷的计算和连续函数的逆解。第三章 四足机器人踏步步态的联合仿真3.1 虚拟样机技术在传统的产品生产制造过程中，通
21、常是先进行产品的设计，然后再制作出样品进行测试分析，虽然这样可以得出最为真实的结果，但却会大大得提高成本和耗费的时间，若是使用不当或存在一些未被发现的问题，还会损坏样机，造成跟大的损失。且设计和制作样机耗时较长，若等到制作完成再进行测试，则会耽误大量的时间。虚拟样机技术可以提供一个较为真实的仿真平台，可以在样机尚未制作成功时进行仿真分析，节约大量时间和成本并得出有效的结果，为之后的实物测试提供可靠的数据。本次毕业设计使用的仿真软件为ADAMS，他是美国MDI研发的一款虚拟样机分析软件。具有强大的仿真能力，同时与其他软件比如MATLAB有着良好的敛容性。3.2 MATLAB/Simulink 简
22、介 Simulink是MATLAB程序中的仿真工具，是一个基于MATLAB程序的图形化设计环境，是一套动态系统建模、仿真与分析软件，广泛应用于线性和非线性系统，数字控制和数字信号处理。Simulink提供了一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境以及功能齐全的模块库，各个模块库中包含多个子模块。在该环境中运用各模块库，不需要编写大量的程序、使用复杂的逻辑，只要灵活使用各个模块，就可构造出复杂但是却直观的系统。3.3 四足机器人踏步步态仿真流程在本次研究中，四足机器人的踏步步态仿真采用虚拟样机软件ADAMS和MATLAB/Simulink相结合的仿真形式，在Proe中建立四足机器人的简化三维模
23、型，导入ADAMS中添加约束、驱动及其他参数，在MATLAB/simulink中绘制控制系统，编写控制程序，完成仿真系统设计。设计框图如图3-1所示。图 3-1 联合仿真流程图3.4 四足机器人三维模型绘制及虚拟样机设置为了尽可能得减轻仿真复杂程度，减少仿真过程中可能出现的错误，需要将四足机器人的机械结构化到最简，去除所有的电机、轴和控制元件，在完全能够满足仿真需要的基础上将机构最简化。简化后的三维建模图如图3-2所示。图 3-2 简化后的Proe建模，腿部尺寸见图2-2在完成建模之后，需要将模型保存为parasolid格式文件，然后通过Adams的导入接口导入到Adams中（如图3-3所示）
24、，为了方便之后区分各腿的位置，将左前 、右前、左后、右后腿分别用1、2、3、4表示。使用这种方法将模型导入Adams后，会导致所有模型原先的各种约束全部失效，所以要在稍后的操作中全部重新定义。图 3-3 将模型导入Adams后效果 后文中左前腿、右前腿、左后腿、右后腿分别由图中红色的1、2、3、4代表3.4.1 工作空间设置及添加约束 在将模型导入Adams后，需要设置栏中设置全局的单位、重力、坐标系以及工作栅格，在完成基础的设置之后，需要对模型添加所需的约束。此四足机器人腿部闭链五杆机构的各个关节都为旋转副约束，所以要在所有关节添加旋转副并在地面与工作栅格间添加固定副（如图3-4所示）在添加
25、约束副之后，需要在触地腿与地面之间创建接触力（如图3-5所示）。图 3-4 添加约束后的虚拟样机 图 3-5 接触力设置接触力参数设置参考Adams材料参数表（如图3-6所示）。图 3-6 Adams各材料参数图3.4.2 输入输出及驱动设置 此四足机器人单腿拥有2自由度，分别由两个电机控制，所以该机器人总共拥有8个自由度，所以需要设置8个输入变量（如图3-7所示）、8个输出变量（如图3-8所示）以及用于观测机器人质心变化的3个输出变量（如图3-9所示）作为与MATLAB数据交换的接口，N代表控制靠躯体内侧的摇杆，W代表控制靠躯体外测的摇杆。 图 3-7 输入变量设置 图 3-8 输出变量设置
26、 图 3-9 质心输出变量设置 在设置完输入与输出变量之后，需要设置总共8个驱动函数（如图3-10所示），每个驱动函数代表一个电机。且驱动要与输入变量进行关联（如图3-11所示），因此驱动函数不是由Adams直接定义的，而是通过输入变量与MATLAB进行关联，达到联合仿真的目的。 图 3-10 驱动设置图 3-11与输入变量相关联的驱动函数3.4.3 加载Adams/Control模块在完成之前的操作步骤之后，需要使用Adams/Control模块（如图3-11所示）来将Adams中的模型导入MATLAB中进行下一步操作。图 3-12 Adams/Control模块在完成这步操作之后，会在对应
27、路径文件夹内看到4个control_plan_1文件（如图3-13所示），接下来就可以进行MATLAB操作了。图 3-13 control_plan文件，这是由Adams生成的，在之后的操作中会使用到3.5 MATLAB 控制系统设置3.5.1 Simulink 框图设计打开MATLAB之后，点击运行上文生成的control_plan_1.m文件，并在命令行输入adams_sys然后运行，即可打开对应Adams模型的Simulink控制模块（如图3-14所示）。图 3-14 simulink初始框图图中橙色部分是整个框图的核心，代表Adams模型，在此基础上建立出完整的Simulink控制框图
28、（如图3-15所示）。图 3-15 simulink控制框图3.5.2 编写控制程序在上图所示的Simulink框图中，共有8个fcn模块，这8个模块即为控制四足机器人8个电机的函数模块，需要为其编写相应的控制程序。本章研究的步态为原地踏步步态，则需要将足尖坐标随时间变化的函数逆解（如图3-16所示）。图 3-16 运动方程逆解结果其中fitresult和fitresult2 分别代表theta5和theta2 随时间变换的函数，将其编写入Simulink中的function模块内，即可控制Adams中四足机器人的步态。详细控制代码见附录C。在完成编写之后点击运行便可开始仿真，1N和1W角度随
29、时间变化的函数图像如图3-17、3-18所示。图 3-17 1N角度随时间变化函数，横坐标为时间/s，纵坐标为角度/图 3-18 1W角度随时间变化函数，横坐标为时间/s，纵坐标为角度/在Simulink中最后三个输出为有关质心坐标的输出，其坐标系是由Adams模型的坐标系决定的（如图3-19所示），本章研究步态为原地踏步步态，所以查看四足机器人的稳定性只需查看其质心在y轴上的波动数据（如图3-20所示）即可。图 3-19 Adams中模型坐标，以图中左下角空间坐标系为准。这是与图3-9中的三个质心输出变量相关的，Y轴数据代表四足机器人质心与地面的高度变化；X轴数据代表质心在水平向前方向的移动
30、；Z轴数据代表质心在水平左右方向的移动图 3-20 四足机器人质心在y轴的波动，横坐标为时间/s，纵坐标为质心距地面高度/mm由上图3-20可见，四足机器人的运动是较为稳定的，此步态设计方案合格。第四章 四足机器人行走步态的联合仿真4.1 四足机器人对角行走步态简介此对角行走步态的设计主要是通过参照哺乳动物在运动时的步态来完成，哺乳动物在经过数千年的进化之后，已经可以在很多复杂的地形行走自如，故其步态具有很高的参考价值。以马在小跑时的对角步态为例（如图4-1所示）。对角关系的足尖在运动轨迹和方向上保持一致。小跑与行走步态的区别在于小跑时会出现四足同时腾空的现象，而行走步态则始终保持有两足着地。
31、图 4-1 马在小跑时的对角步态4.2 四足机器人对角行走步态初步设计及仿真 四足机器人行走时足尖在坐标系中随时间变化的轨迹如图4-2所示。图 4-2 足尖轨迹图 将轨迹分解为y坐标、x坐标与时间t相关联的函数，以左前腿为例。当时当时将函数输入MATLAB逆解与拟合程序中进行运算（如图4-3与4-4所示）。图 4-3 当t(0,1)时theta5和theta2的变化曲线图 4-4 当t(1,2)时theta5和theta2的变化曲线将得出的结果编为控制程序后（详细程序见附录D）输入MATLAB simulink模块（如图4-5所示）。图 4-5 simulink控制框图运行simulink模块
32、后得出结果，1N与1W的角度随时间变化的函数图像如图4-6和4-7所示。图 4-6 1N角度随时间变化函数，横坐标为时间/s，纵坐标为角度/图 4-7 1W角度随时间变化函数，横坐标为时间/s，纵坐标为角度/将运行结果导入Adams中观看仿真动画（如图4-8所示）。图 4-8 行走步态仿真动画在不同时间的截图，可看出机器人在迈动步伐，但是后仰较为明显且没有向前移动如图4-8所示，四足机器人在运行时后仰现象比较明显，故需要对步态进行改进。4.2 四足机器人对角行走步态改进及仿真因为初次设计的步态存在后仰严重的问题，所以需要对其进行改进。此次改进将其抬腿幅度减小，由之前的40毫米降为10毫米；扩大
33、腿部摆动幅度，将之前的单次跨进100毫米增至150毫米；将足尖运动轨迹整体后移。改进后的足尖运动轨迹如图4-9所示。图 4-9 足尖轨迹图将轨迹分解为y坐标、x坐标与时间t相关联的函数，以左前腿为例。当时当时将函数输入MATLAB逆解与拟合程序中进行运算（如图4-10与4-11所示）。图 4-10 当t(0,1)时theta5和theta2的变化曲线图 4-11 当t(1,2)时theta5和theta2的变化曲线将得出的结果编为控制程序后（详细程序见附录E）输入MATLAB simulink模块（如图4-5所示）。并将gain模块中系数修改至1.5，以增加其运动速度。运行simulink模块
34、后得出结果，1N与1W的角度随时间变化的函数图像如图4-12和4-13所示。图 4-12 1N角度随时间变化函数，横坐标为时间/s，纵坐标为角度/图 4-13 1W角度随时间变化函数，横坐标为时间/s，纵坐标为角度/ 四足机器人质心坐标在Y轴和X轴上的移动如图4-14和4-15所示，Y轴代质心表垂直于地面的运动幅度，X轴代表质心水平地面向前的运动幅度。图 4-14 四足机器人质心在y轴的波动，横坐标为时间/s，纵坐标为质心距地面高度/mm图 4-15 四足机器人质心在x轴的波动，横坐标为时间/s，纵坐标为质心距地面原点的水平距离/mm从图4-14和4-15上可以看出，四足机器人可以在仿真中较为
35、平稳得前进。进一步将仿真结果导入Adams（如图4-16所示）。图 4-16 改进后行走步态仿真动画截图，可看出机器人在迈动步伐，没有明显后仰且可向前运动从图4-16可以看出，四足机器人可以向前运动且后仰大幅度减小，此步态有效。第五章 结论通过本次研究，得出了有效简便的闭链五杆机构运动学逆解算法以及连续函数的拟合算法，并提供了MATLAB源码，具有较高的参考价值。运用Adams和MATLAB的联合仿真得出了有效的原地踏步以及可供参考行走步态设计思路，通过控制虚拟样机，实现了与实物非常接近的仿真结果。第六章 参考文献1 张帅帅. 复杂地形环境中四足机器人行走方法研究. 山东大学，2016.2 李
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37、尔滨工业大学，2014.8 丁良宏. BigDog 四足机器人关键技术分析. 机械工程学报, 2015.9 李宏凯, 李志, 郭朝龙, 等. 基于四足机器人稳定性的对角步态规划. 机械设计, 2016.10 王立鹏, 王军政, 汪首坤, 等. 基于足端轨迹规划算法的液压四足机器人步态控制策略. 机械工程学报, 2013.11 朱秋国. 浅谈四足机器人的发展历史、现状和未来. 浙江大学, 2017.12 韦中， 宋光明等. 脊柱型四足机器人运动学建模及对角小跑步态规划. 东南大学学报, 2019.13 张秀丽，曾翔宇，郑浩峻四足机器人高速动态行走中后腿拖地问题研究高技术通讯，2011.14 郑浩
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40、espoor K, Nelson G. Bigdog, the rough-terrain quadruped robot: The 17th International Federation of Automatic Control World Congress, 2008. 第七章 致谢非常感谢李兵老师对我的悉心指导和不厌其烦地解答，在疫情期间无法面谈的情况下任时刻关心我，在我陷入研究瓶颈时为我指明研究方向，我非常荣幸能够得到李兵老师的指导。感谢北京理工大学珠海学院工业自动化学院的老师们，是你们矜矜业业的工作，为我提供了一个良好的学习环境，让我顺利完成学业，收获颇多。感谢在我大学生涯中所有
41、向我提供帮助的老师和同学，以及我的父母，是你们的不断鼓励和支持，让我保持前行。第八章 附录附录A：坐标逆解代码function theta5,theta2 = inverse_kinematics(Xe,Ye) %定义输入和输出a=230*Xe;b=230*Ye;c=Xe*Xe+Ye*Ye-39675; %与（式2-1）对应ang11=2*atan(b+sqrt(a*a+b*b-c*c)/(a+c);ang12=2*atan(b-sqrt(a*a+b*b-c*c)/(a+c); %与（式2-2）对应ang41=acos(Xe-115*cos(ang11)/230)/pi*180;ang42=a
42、cos(Xe-115*cos(ang12)/230)/pi*180; %与（式2-3）对应if ang110 ang11=ang11-2*pi; %当theta1为小于-180的角时，MATLAB会自动将其变为正数角，为方便之后的仿真，将正数角减去360度变为负数endif ang120 ang12=ang12-2*pi;endif ang41ang42 theta5=180+ang12/pi*180; ang4=-ang42;endXb=Xe-35*cos(ang4/180*pi);Yb=Ye-35*sin(ang4/180*pi);d=230*Xb;e=230*Yb;f=Xb*Xb+Yb*Yb-24800; %与（式2-5）对应ang21=2*atan(e+sqrt(d*d+e*e-f*f)/(d+f);ang22=2*atan(e-sqrt(d*d+e*e-f*f)/(d+f); %与（式2-6）对应ang31=acos(Xb-115*cos(ang21)/195)/pi*180;