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1、咸阳市2024年高考模拟检测（一）数学（文科）试题注意事项：1本试题共4页，满分150分，时间120分钟2答卷前，考生务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚3回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效4考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得集合，再求交集
2、即可.【详解】；，故.故选：B.2. 已知i为复数单位，则复数在复平面上对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数相等求出的值，再由复数几何意义得解.【详解】由，则，由复数相等得，所以在复平面上对应的点为，在第四象限.故选：D3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出，再利用数量积的坐标表示计算即得.【详解】由向量，得，由，得，解得，于是，所以.故选：A4. 已知数列的前项和为，且等比数列满足，若，则（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解
3、析】【分析】设等比数列的公比为，根据题意，求得，结合对数运算性质有，即可求解【详解】设等比数列的公比为，因为，所以故选：D.5. 著名的本福特定律：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数，也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是的概率为以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为多少？（参考数据：，）（ ）A. 2.9B. 3.8C. 4.5D. 6.5【答案】D【解析】【分析】根据题意求得对应的概率，结合对数运算，即可估算结果.【详解】根据题意，首位数字是1的概率，首位数字是的概率，故.故选：D
4、.6. 直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据直线与圆有公共点求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】的圆心，半径.圆心到直线的距离，因为直线与圆有公共点，所以，即，解得.于是，区间的任何一个真子集是直线与圆有公共点的一个充分不必要条件.则四个选项只有C选项是区间的真子集，所以C正确.故选：C.7. 某同学寒假期间想到咸阳市的6个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的2个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的
5、景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】应用组合知识及古典概型求概率.【详解】某同学所有的旅游方案有：，至少包含一个红色旅游景点的方案有：，故他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率.故选：D8. 将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，确定所得多面体的外接球球心位置，再求出其外接球半径即可得解.【详解】如图，点是正四面体所在棱的中点，连接，显然，则四边形是平行四边形，又，且，于是，因此是正方形，则，同理，从而
6、得点在以点为球心，为半径的同一球面上，即这个多面体的外接球球心为，半径， 所以这个多面体的外接球的表面积为.故选：A9. 等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数求出函数的两个极值点，再利用等差数列性质求出即可计算得解.【详解】由求导得：，有，即有两个不等实根，显然是的变号零点，即函数的两个极值点，依题意，在等差数列中，所以.故选：A10. 已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，在
7、上递减，函数值集合，在上递增，函数值集合为，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，方程的根是直线与函数图象交点的横坐标，方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，AD正确；显然，而，则，即，B正确；显然，C错误.故选：C11. 已知双曲线，直线与双曲线相切于点，与两条渐近线相交于，两点，则此时三角形（O为原点）的面积为（ ）A B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，由求出，再把直线方程与双曲线的渐近线方程联立求出点横坐标差即可得解.【详解】由消去并整理得，显然，则，解得，由对称性，不妨取，直线
8、，而双曲线的渐近线方程为，由消去并整理得，设，则，直线交y轴于点，所以三角形的面积为：.故选：B12. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：是质数直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数现设，数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为（ ）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】【分析】结合已知条件求出的通项公式，并求出，然后利用裂项相消法即可求解.【详解】依题意，则，则 ，即，而，解得，所以满足条件的正整数的最大值为.故选：B【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去
9、的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知角，为锐角，且，则角_【答案】【解析】【分析】由于，由两角差的正切公式求解.【详解】由为锐角，且，则，所以，又为锐角，所以.故答案为：14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为_【答案】【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据已知得，可解出，再由表面积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题意，由扇形弧长得 ， 又圆锥的高为，则，由可得 ，所以圆锥的表面积.故答案为
10、：.15. 设，满足约束条件，设，则取值范围为_【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，再利用目标函数的几何意义求解即得.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图中阴影（不含边），其中，目标函数，表示可行域内的点与定点连线的斜率的倒数，直线斜率，直线的斜率，显然，即，所以取值范围为.故答案为：16. 已知函数，若，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出的关系，再借助基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】函数的定义域为R，即函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上递增，由，得，于是，即，则，而，即有，因此，当且仅当，即时取等号，所
11、以当时，取得最小值.故答案为：【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件；利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 在中，内角，的对边分别为，已知该三角形的面积（1）求角的大小；（2）若时，求面积的最大值【答案】（1）； （2）.【
12、解析】【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解.【小问1详解】在中，而，即，由余弦定理得，所以.【小问2详解】由（1）知，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值.18. 已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，（1）求证：平面；（2）当平面，且时，求三棱锥的体积【答案】（1）证明过程见解析 （2）【解析】【分析】（1）由中位线得到线线平行，得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出点到平面的距离，利用三棱锥体积公式求出答案.【小问1详解】因为点、分别是、的中点，所以，因为平面，平面
13、，所以平面；【小问2详解】因为平面，平面，所以，又，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面法向量的法向量为，则，解得，令，则，故，则点到平面的距离为，由勾股定理得，则三棱锥的体积为.19. 能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某市近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：年份x20192020202
14、120222023汽车购买y（万辆）0.300.601.001.401.70（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）；（2）求关于的线性回归方程，并预测该市2024年新能源汽车购买辆数（精确到个位）参考公式：，参考数值：【答案】（1），与线性相关性很强； （2），约为2.08万辆.【解析】【分析】（1）根据给定的数表求出，及相关系数公式中的量，代入公式计算并比较得解.（2）利用最小二乘法公式求出线性回归方程，再作出预测即可.【小问1详解】，所以与线性相关性很强.【小问2详解】由（1）知，
15、所以关于的线性回归方程是，当时，（万辆）该市2024年新能源汽车购买辆数约为2.08万辆.20. 椭圆的离心率为，上、下顶点与一个焦点围成的三角形的面积为（1）求椭圆C的方程：（2）过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件，求得，即可求得椭圆方程；（2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点的切线方程，从而得到直线的方程，即可证明其恒过的顶点.【小问1详解】根据题意可得：，又，解得，故椭圆方程为：.【小问2详解】下证过椭圆上一点作椭圆的切线，其切线方程为：.当且，求导得：；同理可得，当且时，所以，当时，；根
16、据导数的几何意义可得，过点的切线的斜率为，故切线方程为：，即，又，故切线方程为：，即证.设坐标为，故可得过点切线方程为：，又其过点，则；同理可得，故直线方程为，其恒过定点.【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键是证明过椭圆上一点作椭圆的切线，其切线方程为：，本题利用导数的几何意义求得斜率，是解决问题的关键.21. 已知函数（1）求函数的极值；（2）证明：【答案】（1）极小值0，无极大值； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的极值.（2）利用（1）中信息，构建关于的不等式，再利用累加法求和即可.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，当时，当时，则函数在上递减，在上递增，所以函
17、数在处取得极小值，无极大值.【小问2详解】证明：由（1）知，即，因此，当且仅当时取等号，令，则，而，所以.【点睛】关键点睛：证明第（2）问的数列不等式，利用第（1）的结论，变形构造不等式，再结合累加法求和是解题之关键.（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线的斜率.【答案】（1），； （2）【解
18、析】【分析】（1）根据给定条件，利用极坐标与直角坐标互化公式求解即得.（2）求出点的坐标，设出直线的方程与曲线的方程联立，借助弦长公式计算即得.【小问1详解】曲线的极坐标方程化为，把代入得，直线的极坐标方程化为，把代入得，所以曲线的直角坐标方程是，直线的直角坐标方程是.【小问2详解】由（1）知点，显然直线不垂直于y轴，设的方程为，由消去x得，设则，显然点在线段上，即，整理得，解得，所以直线的斜率.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数（1）画出函数的图象；（2）设函数的最大值为，若正实数，满足，求的最小值【答案】（1）作图见解析； （2）.【解析】【分析】（1）化函数为分段函数，再作出图象即得.（2）由（1）求出的值，再利用柯西不等式求出最小值.【小问1详解】依题意，函数，函数的图象如下：【小问2详解】由（1）知，当时，当时，单调递减，当时，因此，即，则，有，由柯西不等式得，于是，当且仅当时取等号，由，且，得，所以当时，取得最小值.