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2、才是两向量的夹角.0，共线且同向相互垂直共线但反向2.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量abcos叫做向量a与b的数量积（或内积），记作ab，即ababcos.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影向量：acosabcos（3）运算律交换律：abba；数乘结合律：（a）b（ab）a（b）；分配律：（ab）cacbc.提醒（1）乘法结合律，（ab）ca（bc）（这是由于（ab）c表示一个与c共线的向量，a（bc）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，abac/bc（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时aba
3、c，但bc，由abac，可推出a（bc）.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），a与b的夹角为.几何表示坐标表示数量积ababcosabx1x2y1y2模夹角x1x2y1y2几何表示坐标表示ab的充要条件ab0 x1x2y1y20ab的充要条件ab（R）x1y2x2y10ab与ab的关系abab（当且仅当ab时等号成立）x1x2y1y2x1y2x2y1提醒（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）abab0是对非零向量而言的，若a0，虽然有ab0，但不能说ab.1.判断正误.（正确的画“”，错误的画“”）（1）两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算
4、的运算结果是向量.（）答案：（1）（2）向量a在向量b上的投影向量是一个向量，而向量a在向量b上的投影是一个数量.（）答案：（2）（3）由ab0可得a0或b0.（）答案：（3）答案：（4）A.2B.1C.1D.23.（多选）已知向量ab（1，1），ab（3，1），c（1，1），设a，b的夹角为，则（）A.abB.acC.bcD.1354.已知向量a，b满足3a2b6，且（a2b）（2ab），则a，b夹角的余弦值为.5.已知a5，b4，a与b的夹角120，则向量b在向量a上的投影向量的模为.解析：由数量积的定义知，向量b在向量a上的投影向量的模为bcos4cos1202.答案：21.平面向量数量积运算的常用公式（1）（ab）（ab）a2b2；（2）（ab）2a22abb2.2.有关向量夹角的两个结论（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立（因为夹角为时不成立）.1.已知a，b为非零向量，则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B由结论2可得选B.2.若非零向量a，b满足a2ba2b，则a，b的夹角为.T TH HA AN NK K.YOU.YOU