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1、1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 际问题际问题平面向量的数量积及平面向量应
2、用举例平面向量的数量积及平面向量应用举例2范围范围 向量夹角向量夹角的范围是的范围是 ，a与与b同向时，同向时，夹角夹角0；a与与b反向时，夹角反向时，夹角 .01803向量垂直向量垂直 如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是 ，则，则a与与b垂直，记作垂直，记作 .90ab180二、平面向量数量积二、平面向量数量积1a，b是两个非零向量，它们的夹角为是两个非零向量，它们的夹角为，则数，则数|a|b|cos叫做叫做a与与b的数量积，记作的数量积，记作ab，即，即ab .规定规定0a0.当当ab时，时，90，这时，这时ab .2ab的几何意义的几何意义 ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在
3、在a的方向上的投影的方向上的投影 的的 乘积乘积|a|b|cos0|b|cos三、向量数量积的性质三、向量数量积的性质1如果如果e是单位向量，则是单位向量，则aeea 5|ab|a|b|.4cosa，b .3aa ，|a|.2ab 且且ab0 .|a|cosa，eab0ab|a|2四、数量积的运算律四、数量积的运算律1交换律交换律ab .3对对R，(ab)2分配律分配律(ab)c .baacbc(a)ba(b)五、数量积的坐标运算五、数量积的坐标运算 设设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则，则1ab .a1b1a2b22ab .3|a|.4cosa，b .a1b1a2b20究究 疑疑 点点
4、1b在在a上的投影是向量吗？上的投影是向量吗？提示：提示：不是，不是，b在在a上的投影是一个数量上的投影是一个数量|b|cos，它，它可以为正，可以为负，也可以为可以为正，可以为负，也可以为0.2根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立abac，则，则bc吗？吗？(ab)ca(bc)吗？吗？提示：提示：不一定不一定a0时不成立，时不成立，另外另外a0时，时，abac.由数量积概念可知由数量积概念可知b与与c不能确定；不能确定；(ab)ca(bc)不一定相等不一定相等(ab)c是是c方向上的向量，而方向上的向量，而a(bc)是是a方向上的向量，当方向上的向
5、量，当a与与c不共线时它们必不相等不共线时它们必不相等题组自测题组自测1已知下列结论：已知下列结论：|a|2a2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2；若若a2ab，则，则ab，其中正，其中正确的个数有确的个数有 ()A1 B2C3 D4答案：答案：B答案：答案：C3已知已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则，则a(bc)等于等于()A(26，78)B(28，42)C52 D78解析：解析：a(bc)(1，3)(4263)(26，78)答案：答案：A4(1)在直角三角形在直角三角形ABC中，中，C90，AB5，AC4，求求 ；(2)若若a(3，4)，b(2,1)，试求，试求(
6、a2b)(2a3b)归纳领悟归纳领悟(1)解决与夹角有关问题时一定要注意两向量是否共起点，解决与夹角有关问题时一定要注意两向量是否共起点，否则会造成失误否则会造成失误(2)向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如(ab)ca(bc).答案：答案：602已知已知|a|5，|b|4，且，且a与与b的夹角为的夹角为60，则当向，则当向 量量kab与与a2b垂直时，垂直时，k_.归纳领悟归纳领悟1求两非零向量的夹角时要注意：求两非零向量的夹角时要注意：(1
7、)向量的数量积不满足结合律；向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当当a，b是非坐标形式时，求是非坐标形式时，求a与与b的夹角，需求得的夹角，需求得ab及及|a|，|b|或得出它们的关系或得出它们的关系.答案：答案：B解析：解析：|2ab|24a24abb284|a|b|cosa，b88cosa，b，a，b 0，cosa，b 1,1，88cosa，
8、b 0,16，即即|2ab|20,16，|2ab|0,4答案：答案：A3已知已知|a|4，|b|8，a与与b的夹角是的夹角是120.(1)计算：计算：|ab|，|4a2b|；(2)当当k为何值时，为何值时，(a2b)(kab)?已知向量已知向量a(3,2)，b(2,1)，c(3，1)，tR.(1)求求|atb|的最小值及相应的的最小值及相应的t值；值；(2)若若atb与与c共线，求实数共线，求实数t.答案：答案：A2在长江南岸渡口处，江水以在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，的速度向东流，渡船的速度为渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航渡船要垂直地渡过长江
9、，则航向为向为_答案：答案：北偏西北偏西30 归纳领悟归纳领悟 向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的知识的“交汇处交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题三角或几何问题一、把脉考情一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，向量的数量积运算、向量的从近两年的高考试题来看，向量的数量积运算、
10、向量的垂直等问题是高考中考查平面向量的热点，既有选择题、填垂直等问题是高考中考查平面向量的热点，既有选择题、填空题，又有解答题，属中、低档题目，常与平面几何、三角、空题，又有解答题，属中、低档题目，常与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想 预测预测2012年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向二、考题诊断二、考题诊断1(2010湖南高考湖南高考)若非零向量若非零向量a，b满足满足|a|b|，(2ab)b0，则，则a与与b的夹角为的夹角为 ()A30 B60C120 D150答案：答案：C2(2010江西高考江西高考)已知向量已知向量a，b满足满足|a|1，|b|2，a与与b的夹角为的夹角为60，则，则|ab|_.点点 击击 此此 图图 片片 进进 入入“课课 时时 限限 时时 检检 测测”