湖南长沙明德中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷含答案.pdf

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1、 学科网(北京)股份有限公司 明德中学明德中学 2024 年上学期入学考试年上学期入学考试 高一年级数学高一年级数学 试卷时量:试卷时量:120 分钟分钟 满分满分 150 命题:高一数学备课组命题:高一数学备课组 审定:高一数学备课组审定:高一数学备课组 一一单选题单选题(本本题共题共 8 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 40 分,每个小题只有一个正确答案)分,每个小题只有一个正确答案)1.已知集合0,1,2,3,2MNx x=,则()RMN=()A.(),2 B.()2,3 C.2,3 D.1,2,3 2.设mR,命题“存在0m,使210mxmx=有实根”的否定是()A.任

2、意0m,使210mxmx=无实根 B.任意0m,使210mxmx=有实根 C.存在0m,使210mxmx=无实根 D.存在0m,则下列结论中正确的是()A.ab B.ab C.11ab D.bbmaam+的解集为12x xxx,则12123axxx x+的最小值是()学科网(北京)股份有限公司 A.4 B.2 6 C.2 D.2 63 7.命题“对任意的1,1m,总存在唯一的0,3x,使得2210 xxam=”成立的充分必要条件是()A.22a B.11a C.01a D.11a,且1a).下列说法正确的是()A.浮萍每月的增长率为 2 B.第 5 个月时,浮萍面积就会超过230m C.浮萍每

3、月增加的面积都相等 D.若浮萍曼延到2222m,3m,6m所经过的时间分别是123,t t t,则123ttt+=学科网(北京)股份有限公司 11.已知函数2(2)124,1,()log(1),1,xxf xxx+=+若函数()yf xm=有三个零点123,x x x,且123xxx,则()A.14m B.3151162x若()f x在区间(),m n上既有最大值,又有最小值,则n m的取值范围是_.14.已知()sin2cosf xxx=+,当x=时,()f x取得最大值,则tan=_.四四解答题解答题(本题共(本题共 5 个小题,共个小题,共 77 分,解答应写出必要的文字说明证明过程或演

4、算步骤分,解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分 13 分)计算下列各式的值:(1)20.5230327491(0.008)(1)8925+(2)2log 32231log 3 log 8(lg5)lg5lg20lg1622+16.(本小题满分 15 分)已知()()()sin tan f=+(1)求116f的值;(2)已知133f+=,求sin6的值.17.(本小题满分 15 分)学科网(北京)股份有限公司 已知函数()232cossin2 3cos,R32f xxxxx=+(1)求()f x的对称轴方程;(2)若关于x的方程()()2310f xmf x+=在区间

5、,6 3上有两个不相等的实根,求实数m的取值范围.18.(本小题满分 17 分)已知函数()()()log1logaaf xxbxm=+(0a 且1a)为奇函数.(1)求函数()f x的定义域及解析式;(2)若1 1,2 2x,函数()f x的最大值比最小值大 2,求a的值.19.(本小题满分 17 分)设正整数4n,若由实数组成的集合12,nAa aa=满足如下性质,则称A为Hn集合:对A中任意四个不同的元素a b c d,,均有abcdA+.(1)判断集合110,1,22A=和21,1,2,33A=是否为4H集合,说明理由;(2)若集合0,Ax y z=为4H集合,求A中大于 1 的元素的

6、可能个数;(3)若集合A为Hn集合,求证:A中元素不能全为正实数.学科网(北京)股份有限公司 明德中学明德中学 2024 年上学期入学考试年上学期入学考试 数学参考答案数学参考答案 1-8CADAD ADA 9.ACD 10.BD 11.AD 8.【详解】设()f x的零点为0 x,则()00f x=,又()()00ffx=,故()00f=,解得0a=,则()()()()()2222.222f xxbx ff xxbxxbxb=,因为函数()yf x=与函数()()yff x=的零点相同,所以方程2220 xbxb=无解或与方程220 xbx=的解相同,所以2480bb=+或0b=,解得20b

7、,所以024ab,故选:A 11.【详解】如图所示:对于 A:方程()f xm=有三个解()yf x=与ym=有 3 个交点,从图中可以看出 A 正确;对于 B:令()12log14x+=得1516x=,即B点的坐标为15,416,令()12log11x+=得12x=,即C点的坐标为1,12,由图可知3x的范围应该介于B,C之间,可以取B点,不能取C点,所以3151162x 则需()1310Hm=+或2120016mm=,解得:4m+,可得:1bx 时,函数()yf x=单调递减,学科网(北京)股份有限公司 所以max131()()logloglog 3222aaaf xf=,min1131(

8、)()logloglog2223aaaf xf=,所以maxmin1()()log 3loglog 923aaaf xf x=,解得3a=.当01a时,函数()yf x=单调递增,所以max1131()()logloglog2223aaaf xf=,min131()()logloglog 3222aaaf xf=,所以maxmin11()()loglog 3log239aaaf xf x=,解得13a=.综上,13a=或3a=.19.【详解】(1)集合110,1,22A=是4H集合,当 1,0,1,22a bc d=时,1101 222A+=;当 1,0,1,22a bc d=时,110 12

9、12A+=;当 1,0,2,12a bc d=时,11102122A+=;集合21,1,2,33A=不是4H集合,取1,1,2,33a b c d=,则211912 333abcdA+=+=,不满足题中性质.(2)当,0,a b c dz x y=时,abcdxyA+=,当,0,a b c dx y z=时,abcdyzA+=,当,0,a b c dy z x=时,abcdxzA+=,所以,x y zxy yz xz=.不妨设xyz,若0 xyz,从而yzA,与yzA矛盾;若0 xyz,因为xzyzxy,故,xzx yzy xyz=,学科网(北京)股份有限公司 所以1,1zxy=.经验证,此时

10、1,0,1Axx=是4H集合,元素大于 1 的个数为0;若0 xyz,因为0 xzxy,所以与,x y zxy yz xz=矛盾;若0 xyz,因为xyxzyz.经验证,此时10,1,Axx=是4H集合,元素大于 1 的个数为1;综上:A中大于 1 的元素的可能个数为0,1.(3)假设集合A中全为正实数.若A中至少两个正实数大于1,设120naaa,取 321,nnnna b c daaaa=,则321nnnnabcdaaaaA+=+,而3211nnnnnnnaaaaaaa+,从而321nnnnaaaaA+,矛盾;因此A中至多有 1 个正实数大于1.当4n=时,设1234aaaa,若12340

11、1aaaa,()()()()()()1324142324314343210a aa aa aa aaaaa aaaaaa+=,所以1 2341 3241 4231a aa aa aa aa aa aa+,所以1 23441 32431 4232,a aa aa a aa aa a aa aa+=+=+=.因为3101aa,所以()()()()4212341423431231aaa aa aa aa aaaaaaa=+=()()423142aaaaaa=,矛盾.因此当4n=时,12340,1a a a a.当5n 时,集合A中至少有 4 个不同的正实数不大于1,设,1,2,ijSt taai jnij=,学科网(北京)股份有限公司 因为S是有限集,设minsrS=,其中,r sA rs.又因为集合A中至少有 4 个不同的正实数不大于1,所以1sr,且存在,p qA,且1,1pq使,p q r s互不相同,则01pq,当,a b c dr p s q=时,abcdrpsqA+=+,当,a b c ds p r q=时,abcdsprqA+=+,于是()()()()()()rpsqsprqp rsq rspqsrsr+=,与minsrS=矛盾.因此,A中元素不能全为正实数.

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