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1、第十三讲 平行线的判定与性质【学霸预习】1平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等，即ab，12（如图）性质2：两直线平行，内错角相等，即ab，23（如图）性质3：两直线平行，同旁内角互补，即ab，24180（如图）专题一 平行线的判定与性质【例题1】如图，ABCD，若ABC50，CEF150，BFED60，求BCE的度数答案：20解析：BFED（已知）EFCD，（同位角相等，两直线平行）CEFECD180（两直线平行，同旁内角互补）CEF150（已知）ECD30（等式性质）ABCD（已知）ABCBCD（两直线平行，内错角相等）ABC50（已知）BCD50（等量代换）BCEBCDECD20
2、【练1.1】如图，点D,E,F分在AB,BC,AC上，且DEAC，EFAB下面写出了证明“ABC180”的过程，请补充完整：证明：DEAC，EFAB1_，3_，（_）ABEF（已知）2_，（_）DEAC，（已知）4_，（_）2A，（_）123180，（平角定义）ABC180（等量代换）答案：详见解析解析：根据两直线平行，同位角相等可得1C，A4，3B，两直线平行，内错角相等可得42，然后等量代换整理即可得证证明：DEAC，1C，A4，EFAB，3B，42，2A，123180，ABC180【练1.2】如图，ABEF，CD与AF交于点G，且A45，C24，AFC21求证：CDEF答案：详见解析解析
3、：ABEF，AAFE45，AFECFEAFC，AFC21，CFE24CCFE24，CDEF专题二 拐点模型【例题2】如图，ABCD，P是平面内不在直线AB,CD上的点 （1）判断图1、图2中ABP,CDP,BPD三者之间的数量关系，并选其一证明； （2）如图3，探究ABP,CDP,BPD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图4，若ABP150，CDP110，则BPD的度数为_答案：详见解析解析：（1）如图过P作AB的平行线，则13，24，ABPCDPBPD；如图过P作AB的平行线，则12180，34180，ABPCDPBPD360；（2）如图过P作PQAB，则ABP3，PQCD，12，2
4、3BPDCDPABPBPD；（3）如图过P作AB的平行线，易得BPD40【练2.1】如图，ABCD，P是平面内不在直线AB,CD上的点（1）如图1，若ABP120，DCP24，则BPC的度数为（ ）；A74B76C84D86（2）如图2，若ABP30，DCP45，则BPC的度数为（ ）；A95B105C115D125（3）如图3，若ABP160，DCP36，则BPC的度数为（ ）A4B14C16D26答案：（1）C；（2）B；（3）C解析：（1）如图，过P作AB的平行线，12，34180；（2）如图，过P作AB的平行线，则34， ABCD，12，2BPC4180；（3）如图，作PQ/AB，则P
5、Q/ABCD，32180，1CPQ，BPCCPQ2【练2.2】如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设，如果ABC135，BCD65，则CDE的度数应为（ ）A135B115C110D105答案：C解析：根据平行线的性质求出GFC，进而求出DFC的度数，然后利用外角的性质求出CDE的度数延长ED至点G，交BC于点F，ABEF，ABCGFC135，DFC180GFC45，BCD65，CDEBCDDFC6545110故选：C【例题3】如图，ABCD，AM,CM分别平分BAP,DCP试分别
6、探索M与P的数量关系 答案：P2M解析：如图，分别过P、M作平行线，设BAM，DCM，则BAP2，DCP2，M，P22，APC2M【练3.1】如图，ABCD，MBN3ABM，MDN3CDM，N160，则M_答案：50解析：如图，过N作NEAB，则ABCD，ABNECD，ABNBNDCDN1802360，又BND160，ABNCDN200，又MBN3ABM，MDN3CDM，MBNMDN200150，四边形BMDN中，M36015016050【练3.2】如图，ABCD，AM,CM分别平分BAP,DCP探索M与P的数量关系 答案：APC2AMC解析：如图，过P作PQAB，MNAB，则ABPQMNCD
7、，设MCDx，则PCD2x，设PAMy，则MABy，则PAB2y，ABPQ，QPAPAB2y，NMAMABy，APC2x2y，AMCxyAPC2AMC【课后练习】1如图，AEBF，1110，2130，则3的度数为（ ）A60B65C70D75答案：A解析：略2如图，在ABC中，ACDE，DCFE，CD平分BCA求证：EF平分BED答案：详见解析解析：证明：CD平分BCA，DCBDCADEAC，EDCDCA，DCBEDCEFDC，FEBDCB，DEFEDC，FEBDEF，EF平分BED3如图，ADBC，DAC120，ACF20，EFC140求证：EFAD答案：详见解析解析：依据平行线的性质，即可
8、得到ACB60，进而得出BCF的度数，再根据EFC140，即可得出BCFEFC180，进而得到EFBC，依据ADBC可得结论证明：ADBC，DACACB180，DAC120，ACB60，又ACF20，BCFACBACF40，又EFC140，BCFEFC180，EFBC，ADBC，EFAD4如图，ABCD，AM,CM分别平分BAP,DCP试分别探索M与P的数量关系 答案：详见解析解析：过P作PFAB，MEAB，则ABPFMECD，设AMEMAB, EMCMCD,APF180BAP1802, CPF180DCP1802, APC3602(),AMC,P2M360【学霸自修】1如图1，在四边形ABC
9、D中，AC，DE平分ADC，且ADEDEA（1）求证：ADBC；（2）如图2，DFBC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分EDF若BDC45，试比较F与EDF的大小，并说明理由答案：详见解析解析：（1）根据角平分线的定义可得CDEADE，再结合已知条件可得CDEDEA，从而得出CDAB，根据平行线的性质以及已知条件可得BA180，从而证得ADBC；解：（1）证明：DE平分ADC，CDEADE，又ADEDEA，CDEDEA，CDAB，BC180，又AC，BA180，ADBC；（2）由垂直的定义可得BGF90，由ADBC可得ADFBGF90，由CDAB可得CDFF，EDBBDFx，C
10、DFFy，则EDF2x，ADEEDC（2xy），由ADFADEEDF，得2xy2x90，得出y904x，FEDFy2x906x，再根据BDC45得出xy45，求出x的取值范围，进而比较出F与EDF的大小（2）DFBC，BGF90，又ADBC，ADFBGF90，CDAB，CDFF设EDBBDFx，CDFFy，则EDF2x，ADEEDC（2xy），由ADFADEEDF，得2xy2x90，y904x，FEDFy2x904x2x906x，BDC45，xy45，x904x45，解得x15，6x90FEDF906x0，FEDF2已知，点E,F分别在直线AB,CD上，点P在AB,CD之间，连接EP,FP，如
11、图1，过点F作FHEP，且12（1）求证：ABCD；（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分EJF，JKAB，那么BEP与EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EMFM时，求EPF的度数 答案：详见解析解析：（1）延长EP交CD于点G，如图1，PEHF，2FGP，12，1FGP，ABCD；（2）延长EP交CD于点Q，如图2，EPFBEP270，理由如下：ABCD，BEPFQP180，将射线FC沿FP折叠，QFPPFJ，JKAB，JKCD，FJK2CFP，EPFEQFQFP，EPF180BEPQFP，JK平分EJF，FJKKJE，JKCD，KJEFQP，EPF180BEPFJK，EPF180BEP(180BEP)，EPFBEP270；（3）延长FP交AB于点Q，如图3，ABCD，CFQPQE，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，CFPPFM，MEPPEQ，FPEPQEPEQ，在四边形FPEM中，PFMMEPFPE36090270，可得：2FPE270，FPE135