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1、第十二讲 相交线与平行线【学霸预习】1如图1，直线AB与CD相交于点O，形成四个角 邻补角：1和2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（1和2互补），具有这 种关系的两个角，互为邻补角 对顶角：1和3有一个公共顶点O，并且1的两边分别是3的两边的反向延长线，具有这 种位置关系的两个角，互为对顶角 对顶角的性质：对顶角相等2垂线：（1）两条直线相交，形成四个角，有一个角为90时，就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足如图2，ABCD，垂足为O（2）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
2、垂线段最短简单说成：垂线段最短直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离3如图3，直线AB,CD与EF相交（也可以说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截），构成八个角同位角：1和5这两个角分别在直线AB,CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种关系的一对角叫做同位角内错角：3和5这两个角都在直线AB,CD之间，并且分别在直线EF两侧（3在直线EF左侧，5在直线EF右侧），具有这种关系的一对角叫做内错角同旁内角：3和6这两个角都在直线AB,CD之间，并且在直线EF的同一旁（左侧），具有这种关系的一对角叫做同旁内角4平行线：在同一平面内，不重合且不相交的两条直线
3、称为互相平行直线a与b平行，记作ab 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行，即ab，ac，bc5平行线的判定：判定方法1：同位角相等，两直线平行，即12，ab（图4）判定方法2：内错角相等，两直线平行，即23，ab（图4）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行，即24180，ab（图4）专题一 三线八角【例题1】已知直线AB,CD,EF两两相交，如图用数字标记110（1）直线AB,EF被直线CD所截得的角中，1与_是同位角，1与_是内错角，1与_是同旁内角；（2）直线CD,EF被直线AB所截得的角中，同位角有_，内
4、错角有_，同旁内角有_答案：（1）5，3，4；（2）1与10，2与9，1与8，2与7，1与7，2与8解析：略【练1.1】下面图形中，1和2是同位角的是（）ABCD答案：B解析：略【练1.2】如图，在用数字标记17中，下列说法正确的是（）A1和4互为内错角B2的同位角只有4C1和3互为同旁内角D6和7互补答案：C解析：略【例题2】如图，有下列五种说法：1和A是同位角；2和6是同位角；3和5是内错角；4和7是内错角；A和B是同旁内角；C和8是同旁内角；其中正确的是（ ）个 A5B4C3D2答案：C解析：略【练2.1】如图，按各组角的位置判断，下列结论：2与6是内错角；3与4是内错角；5与6是同旁内
5、角；1与4是同旁内角其中正确的是（）ABCD答案：B解析：2与6是内错角，说法正确；3与4是内错角，说法正确；5与6是同旁内角，说法错误；1与4是同旁内角，说法正确专题二 平行线的判定【例题3】如图，直线AB,CD,EF分别与MN交于点G,H,I，GP,HQ,IT分别平分BGM,DHN,HIE，CHGFIN（1）求证：HQIT；（2）若1290，求证：ABEF答案：详见解析解析：（1）证明：CHGDHN，FINEIM（对顶角相等），CHGFIN（已知）DHNEIM（等量代换），HQ,IT分别平分BGM,DHN,IHQIHD，HITHIE，（角平分线的定义），IHQHIT（等量代换），HQIT（
6、内错角相等，两直线平行），（2）证明：GP,HQ,分别平分BGM,DHN,，且1290，BGMDHN180，BGMBGN180，BGNDHF，ABCD，CHGDHN，FINEIM，CHGFIN，DHNEIM，CDEF，ABEF【练3.1】如图，直线AB,CD,EF被直线GH所截，170，2110，23180试说明：（1）EFAB；（2）CDAB（补全横线及括号的内容）证明：（1）23180，2110，（已知）3_，又170，（已知）_，（等量代换）EFAB（_）（2）23180，（已知）_，（_）又EFAB，（已证）_（_）答案：（1）70；13；内错角相等，两直线平行；（2）CD，EF，同旁
7、内角互补，两直线平行；CD，AB，两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行解析：（1）证明：（1）2+3180，2110（已知 ），370（等量代换），又170（已知 ），13（等量代换），EFAB（内错角相等，两直线平行）；（2）2+3180，CDEF（同旁内角互补，两直线平行），又EFAB（已证），CDAB（平行于同一条直线的两条直线平行）【练3.2】如图，直线AB,CD,EF分别与GH交于点I,J,K，IL,JM分别平分AIG,CJI，且12，KNEF于K（1）求证：ABCD；（2）若3490，求证：ABEF答案：详见解析解析：（1）IL,JM分别平分AIG,CJI，（已知）AIG
8、21，CJI22，（角平分线的定义）又12，（已知）AIGCJI，（等量代换）ABCD（同位角相等，两直线平行）（2）KNEF（已知）4590（垂直的定义）又3490，（已证）35（等量代换）又56（对顶角相等）36（等量代换）CDEF（同位角相等，两直线平行）又ABCD（已证）ABEF（平行于同一条直线的两条直线平行）【例题4】如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，12，3ABE（1）求证：EFBC；（2）若ADCC180，求证：ADEF答案：详见解析解析：（1）12，ABEDBC，又3ABE，3DBC，EFBC，（2）ADC+C180，ADBC，ADEF【练4.1】如图，点E在B
9、C的延长线上，对于给出的四个条件：1E；23180；4B；DBCD180其中能判断ADBC的是（）ABCD答案：B解析：13，ADBC；25180，5AGC，2AGC180，ABDC；4B，ABDC；DBCD180，ADBC故选：B【练4.2】如图，AD平分BDC，12，BF180求证：CDEF 答案：详见解析解析：由平行线的性质与判定证明：AD平分BDC（已知），ADC2BDC(角平分线的定义)，12（已知），1ADC(等量代换)，ABCD(内错角相等，两直线平行)，B+F180（已知），ABEF，(同旁内角互补，两直线平行)，EFCD(平行于同一条直线的两条直线平行)【课后练习】1如图，1
10、70，有下列结论：若270，则ABCD；若570，则ABCD；若3110，则ABCD；若4110，则ABCD其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个答案：B解析：略第1题图第2题图第3题图2如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断ABCD的是（ ）A12B34CDDCEDDACD180答案：A解析：略3如图，用数字标记19（1）与2互为同旁内角的是_；与3互为同位角的是_；（2）6与9是直线_与_被直线_所截而成的_；1与8是直线_与_被直线_所截而成的_；（3）在标有数字的九个角中，大小一定相等的角有_答案：详见解析解析：（1）1、3，4、5；（2）内错角，AC，DE，BE；同位角，AC
11、，DE，BD（或BC，或CD）；（3）2与6，5与74如图，在ABC中，CDAB于点D，E是AC上一点且1290求证：DEBC答案：详见解析解析：CDAB（已知），1+CDE90（垂直定义）1+290（已知），CDE2（同角的余角相等）DEBC（内错角相等，两直线平行）5如图，ABBC，CDBC，CE平分BCD，12求证：ABEF答案：详见解析解析：ABBD，CDBD（已知）ABDCDB90（垂直定义）ABD+CDB180ABCD（同旁内角互补，两直线平行）又CE平分BCD，（已知）DCE2BCD(角平分线的定义)，12（已知），1DCE (等量代换)，EFCD(内错角相等，两直线平行)，CD
12、EF（同平行于一条直线的两直线平行）【学霸自修】1如图，码头、火车站分别位于A,B两点，直线a和b分别表示铁路与河流（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由答案：详见解析解析：如图所示（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿AC走，垂线段最短；（3）沿BD走，垂线段最短2如图，BADBCD，AE,CF分别平分BAD,BCD，23（1）求证：ADBC；（2）若G是AB的延长线上一点，点P在直线BC与直线GH之间，且45EPH360，求证：ADGH答案：详见解析解析：（1）BADBCD，且AE,CF分别平分BAD,BCD，12，23，13，ADBC；(内错角相等，两直线平行)（2）过P作PKGH，则57180，(两直线平行，同旁内角互补)又45EPH36046180，PKBC，(同旁内角互补，两直线平行)PKAD，ADGH(两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也相互平行)