《2024届高考数学专项圆锥曲线定点问题题型分类汇编含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届高考数学专项圆锥曲线定点问题题型分类汇编含答案.pdf（132页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1圆锥曲线定点问题题型分类汇编题型1直线过定点之题型1直线过定点之y=kx+m型型题型2直线过定点之题型2直线过定点之x=ty+m型题型3直线过定点之求直线方程题型3直线过定点之求直线方程型题型4特殊到一般法题型4特殊到一般法题型5斜率和问题题型5斜率和问题题型6斜率积问题题型6斜率积问题题型7斜率比值问题题型7斜率比值问题题型8多斜率问题题型8多斜率问题题型9与角度有关的定点问题题型9与角度有关的定点问题题型10直线过定点之类比法题型10直线过定点之类比法题型11定点与恒成立问题题型11定点与恒成立问题题型12圆过定点问题题型12圆过定点问题题型1直线过定点之题型1直线过定点之y=kx+m型
2、型定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；利用0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；由所得等式恒成立可整理得到定点.技巧：若直线方程为y-y0=k x-x0,则直线过定点 x0,y0;若直线方程为y=kx+b(b为定值),则直线过定点 0,b.1 1(2021贵州贵阳高三校联考开学考试)已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F1-3,0，且 C 经过点P3,12(1)求C的方程；(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l:y=kx+m与C交于A、B两点(l不经过D点)
3、，且ADBD证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标2024届高考数学专项圆锥曲线定点问题题型分类汇编2【变式训练】1(2023上辽宁朝阳高三建平县实验中学校考期末)已知动点M x,y到定点N3,0的距离与M到定直线：x=4 33的距离之比为32，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C与y轴的正半轴交于点A，不与x轴垂直的直线l交曲线C于E,F两点(E，F异于点A)，直线AE,AF分别与x轴交于P,Q两点，若P,Q的横坐标的乘积为43，则直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.2(2023上广西玉林高三校联考开学考试)已知椭圆E:x2a2+y2b2=
4、1 ab0的左焦点为F1-2,0，且点6,1在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆 E 的上、下顶点分别为 M,N，点 P n,4nR,n0，若直线 PM,PN 与椭圆 E 的另一个交点分别为点S,T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.33(2023上江苏高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习)在直角坐标平面内，已知A-2,0，B 2,0，动点P满足条件：直线PA与直线PB斜率之积等于-12，记动点P的轨迹为E(1)求E的方程；(2)过直线 l：x=4上任意一点 Q作直线 QA与QB，分别交 E于M，N两点，则直线 MN是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由4(2023上
5、河北张家口高三统考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0过点A-2,1，且离心率e=22(1)求椭圆C的方程；(2)过点A作与y=tx2tb0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，且满足F1F 2=2AF1，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3(1)求椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的任意一点，求PF1 PA 的取值范围；(3)已知直线 l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点 M，N(均不是长轴的端点)，AHMN，垂足为H且AH 2=MH HN，求证：直线l恒过定点2(2022辽宁沈阳二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的焦距为2，且经过点P 1,32(1)求椭圆
6、C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为k k0的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使 AF BT=BF AT恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由63(2023上北京丰台高三北京市第十二中学校考阶段练习)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0)，离心率为32(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C的左顶点，直线l与椭圆C交于A,B两点，若MAMB，求证：直线AB过定点4(2023上重庆沙坪坝高三重庆一中校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F 1,0，设O为坐标原点，线段OA的
7、中点为D，且满足 BD=DF.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点T 2,ttR，圆T过O且交直线x=2于M,N两点，直线AM,AN分别交C于另一点P,Q(异于点A).证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.7题型题型3 3直线过定点之求直线方程直线过定点之求直线方程型在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出 x,y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过的定点核心方程是指已知条件中的等量关系1 1(2020下河
8、南鹤壁高三鹤壁高中校考阶段练习)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线x=a2c的距离为12，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.【变式训练】1(2020上安徽高三校联考阶段练习)在PAB中，已知A-2,0、B 2,0，直线PA与PB的斜率之积为-34，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设Q为曲线C上一点，直线AP与BQ交点的横坐标为4，求证：直线PQ过定点.82(2023江西景德镇统考三模)设椭圆C：x2a2+
9、y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2点P在椭圆上且异于A、B两点若直线PA与PB的斜率之积为-34(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F-1,0作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：x=-2a，过点M作ME垂直于直线m，交m于点E判断直线EN是否过定点，并说明理由3(2023上江苏连云港高三校联考阶段练习)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2 5,0)，离心率为5，点A1，A2为C的左，右顶点P为直线x=1上的动点，PA1与C的另一个交点为M，PA2与C的另一个交点为N(1)求C的方程；(2)证明：直线MN过定点94(2020全国校联考二模)
10、在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-2上一动点，过点M作抛物线C：x2=y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点(1)证明：MNx轴(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由5(2023上江西萍乡高三统考期末)已知椭圆E的中心在原点，周长为8的ABC的顶点，A-3,0为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点P m,2mR,m0,若直线PM，PN 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.10题型题型4 4特殊到一般法特殊到一般法
11、特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.1 1(2023 上山东高三校联考开学考试)如图，已知点 T13,-5和点T2-5,21在双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a0,b0上，双曲线 C 的左顶点为 A，过点 L a2,0且不与 x 轴重合的直线 l 与双曲线 C 交于 P，Q两点，直线AP，AQ与圆O:x2+y2=a2分别交于M，N两点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；(3)证明：直线MN过定点.11【变式训练】1(2023江西上饶校联考模拟预测)已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点，点
12、P-2,4,PF=5，过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点，过点A作斜率为12的直线与抛物线的另一个交点为点C(1)求抛物线E的标准方程；(2)求证：直线BC过定点2(2023河北统考模拟预测)已知直线l：x=12与点F 2,0，过直线l上的一动点Q作直线PQl，且点P满足 PF+2PQ PF-2PQ=0(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点F作直线与C交于A，B两点，设M-1,0，直线AM与直线l相交于点N试问：直线BN是否经过x轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由123(2023全国高三专题练习)动点P到定点F 1,0的距离比它到直线x=-2的距离小1，设动点P
13、的轨迹为曲线C，过点F且斜率为k(k0)的直线交曲线C于M，N两点.(1)求曲线C的标准方程；(2)若点M关于x轴的对称点为A，探究直线AN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.4(2023湖南湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆W:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，椭圆W上的点与点P 0,2的距离的最大值为4.(1)求椭圆W的标准方程；(2)点B在直线x=4上，点B关于x轴的对称点为B1，直线PB,PB1分别交椭圆W于C,D两点(不同于P点).求证：直线CD过定点.135(2023全国模拟预测)已知F1，F2分别是双曲线C：x2
14、a2-y2b2=1(a0，b0)的左右焦点，点P-2,2 3为双曲线C上的点，且PF1F2的面积为2 15.(1)求双曲线C的标准方程.(2)设原点O到直线l的距离为2 33，直线l交双曲线C于A，B两点，试问：以线段AB为直径的圆是否经过一个定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由.题型题型5 5斜率和问题斜率和问题与定点问题有关的基本结论(1)若直线l与抛物线y2=2px交于点A,B，则OAOB 直线l过定点P 2p,0；(2)若直线l与抛物线y2=2px交于点A,B，则kOAkOB=m 直线l过定点P p+m+p2,0；(3)设点P 2pt20,2pt0是抛物线y2=2px上一定点
15、，M,N是该抛物线上的动点，则PMPN直线MN过定点Q 2p+2pt20,-2pt0(4)设点A x0,y0是抛物线y2=2px上一定点，M,N是该抛物线上的动点，则kAMkAN=m 直线MN过定点P x0-2pm,-y0；(5)过椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的左顶点 P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 A,B，则 PA PB直线AB过点Q-a a2-b2a2+b2,0；(6)过椭圆x2a2-y2b2=1 a0,b0的左顶点 P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 A,B，则 PA PB直线AB过点Q-a a2+b2a2-b2,0；(7)设点P m,n是椭圆C：x2a2+y2b2=1
16、 ab0上一定点，点A，B是椭圆C上不同于P的两点，若kPA+kPB=0，则直线AB过定点 m-2n,-n-2b2ma2；(8)设点 P m,n是双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a0,b0一定点，点 A，B 是双曲线 C 上不同于 P 的两点，若kPA+kPB=0，则直线AB过定点 m-2n,-n+2b2ma2141 1(2020 下山西运城高三统考阶段练习)椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32，右焦点为 F2c,0，点P在椭圆上运动，且 PF2的最大值为2+3(1)求椭圆E的方程；(2)过A 0,1作斜率分别为k1，k2的两条直线分别交椭圆于点M，N，且k1+k2
17、=4，证明：直线MN恒过定点【变式训练】1(2023山西吕梁统考二模)已知抛物线C：y2=2px过点A 2,4(1)求抛物线C的方程；(2)P，Q是抛物线C上的两个动点，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，证明：直线PQ恒过定点152(2023上湖北随州高三随州市曾都区第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E(1)求E的方程；(2)已知A(1,2)及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=1，求证：直线BD经过定点3(2023河北张家口统考三模)已知点P 4,3为双曲线E
18、:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点 P 的直线 y=kx+t 与双曲线 E 交于 A,B 两点，若直线 PA，PB 的斜率和为 1，证明：直线 y=kx+t过定点，并求该定点的坐标.164(2023下湖南岳阳高三统考期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 aN，四点P11,1，P21,0，P32,3，P42,-3中恰有三点在双曲线C上.(1)求C的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点，若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1.证明：l 过定点.题型题型6 6斜率
19、积问题斜率积问题1 1(2020北京海淀实验中学校考三模)已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点(均异于点M)，且满足直线MA 与直线MB斜率之积为14.(1)求椭圆C的离心率及焦点坐标；(2)试判断直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由.17【变式训练】1(2020下山西运城高三统考阶段练习)抛物线E:y2=2px(p0)，斜率为1的直线l过抛物线的准线与x轴的交点.(1)试判断直线l与抛物线E的位置关系，并加以证明；(2)若 p=2，过A 1,2分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，分别交抛物线于点M，N两点，且k1k2=8，证明
20、：直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.2(2024上山东临沂高三校联考开学考试)已知抛物线E:y2=2px p0，P 4,y0为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5(1)求E的标准方程；(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线PA与PB斜率乘积为-4(i)证明：直线AB过定点；(ii)求 FA FB的最小值183(2023上陕西西安高三校联考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为M 2,0，离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点M的直线l与C交于A,B两点，且直线MA和MB的斜率之积为1，证明：直线l过定点.4(20
21、23山东泰安统考模拟预测)已知为O坐标原点，A 2,0,B 0,1,C 0,-1,D 2,1，OE=OA,DF=DA,0 b 0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e=32，A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，且|A1A2|=4.(1)求椭圆C的方程；(2)若O为坐标原点，过F2的直线l与椭圆C交于A、B两点，求OAB面积的最大值；(3)若椭圆上另有一点M，使得直线MA1与A2B斜率k1、k2满足k2=2k1，请分析直线BM是否恒过定点.20【变式训练】1(2023四川成都石室中学校考模拟预测)已知点A-2,0,B 2,0，动点M x,y满足直线AM与BM的斜率之积为-14.记动点M的轨迹为曲
22、线C.(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；(2)设P,Q为曲线C上的两动点，直线AP的斜率为kAP，直线BQ的斜率为kBQ，且kAP=7kBQ.求证：直线PQ恒过一定点；设PQB的面积为S，求S的最大值.2(2023云南校联考模拟预测)已知圆C：x+52+y2=4，定点D5,0，如图所示，圆C上某一点D1恰好与点D关于直线PQ对称，设直线PQ与直线D1C的交点为T.(1)求证：TC-TD为定值，并求出点T的轨迹E方程；(2)设A-1,0，M为曲线E上一点，N为圆x2+y2=1上一点(M，N均不在x轴上).直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k1=-4k2.求证：直线MN过定点，并求
23、出此定点的坐标.213(2023内蒙古赤峰统考二模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，其左、右顶点分别为A,B,左右焦点为F1,F2,点P为椭圆上异于A,B的动点，且PF1F2的面积最大值为3.(1)求椭圆E的方程及kPAkPB的值；(kPA、kPB分别指直线PA、PB的斜率)(2)设动直线l交椭圆E于M,N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，且k1=13k2.求证：直线MN过定点；设AMN、BMN的面积分别为S1,S2，求 S1-S2的取值范围.4(2023贵州黔西校考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率是5，点P(3,-4
24、 2)在双曲线C上(1)求双曲线C的方程；(2)设A-1,0，M为C上一点，N为圆x2+y2=1上一点(M,N 均不在x轴上)直线AM,AN的斜率分别记为k1,k2，且4k2+k1=0，判断：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由22题型题型8 8多斜率问题多斜率问题1 1(2023全国高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两定点A-4,0，B 4,0，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且2 MN2=AN NB(1)求动点M的轨迹；(2)设过P 0,1的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为k1，k2
25、，k0，且满足1k1+1k2=2k0问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由【变式训练】1(2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，四点P1(-2,1)，P2(0,2)，P3(2,1)，P4(3,1)中恰有三点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆 C 上是否存在异于 P2的两点 M，N 使得直线 P2M 与 P2N 的斜率之和与直线 MN 的斜率(不为零)的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由232(2023湖北武汉统考三模)已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1的一条渐
26、近线为y=-12x，椭圆C2：x2a2+y2b2=1的长轴长为4，其中ab0.过点P 2,1的动直线l1交C1于A，B两点，过点的动直线l2交C2于M，N两点.(1)求双曲线C1和椭圆C2的方程；(2)是否存在定点 Q，使得四条直线 QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点 Q坐标；若不存在，说明理由.3(2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，上顶点为B，且A1BF的外接圆半径大小为3(1)求椭圆C方程；(2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P，Q两点(P，Q位于x轴的两侧
27、)，记直线A1P、A2P、A2Q、A1Q的斜率分别为k1、k2、k3、k4，若k1+k4=53(k2+k3)，则直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由244(2023四川凉山二模)在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2探索1k1k1+1k2是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由5(2023下重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A-2,0，B 2,0，
28、P x,y是异于A，B的动点，kAP，kBP分别是直线AP，BP的斜率，且满足kAPkBP=-34.(1)求动点P的轨迹方程；(2)在线段AB上是否存在定点 E，使得过点 E的直线交P的轨迹于M，N两点，且对直线 x=4上任意一点Q，都有直线QM，QE，QN的斜率成等差数列.若存在，求出定点E，若不存在，请说明理由.25题型题型9 9与角度有关的定点问题与角度有关的定点问题1 1(2023陕西西安校考三模)在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C与圆O1:x2-2x+y2=0内切，且与直线x=-2相切，设动圆圆心C的轨迹为曲线E(1)求E的方程；(2)已知P 4,y0y00是曲线E上一点，A,B是
29、曲线E上异于点P的两个动点，设直线PAPB的倾斜角分别为，且+=34，请问：直线AB是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.【变式训练】1(2023浙江绍兴统考模拟预测)已知双曲线x2-y2=1，过点M 1,-1的直线l与该双曲线的左、右两支分别交于点A,B(1)当直线l的斜率为12时，求 AB；(2)是否存在定点 P t,t-2t1，使得 MPA=MPB？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由262(2023四川绵阳模拟预测)已知点A是圆C:x-12+y2=16上的任意一点，点F-1,0，线段AF的垂直平分线交AC于点P(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点G 3,
30、0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹 E于M、N两点，O为坐标原点，点 B 2,0问：x轴上是否存在定点T，使得MTO=NTB恒成立若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由3(2023上云南昆明高三昆明一中校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线上，若 PF1-PF2=2 33b，且双曲线焦距为4(1)求双曲线C的方程；(2)如果Q为双曲线C右支上的动点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得QF2M=2QMF2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由274(2022上贵州高二校联考阶段练习)已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+
31、y2b2=1 ab0的长轴长为4，C的右顶点A到右焦点的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，已知点 P23,0，直线 l与椭圆 C交于不同的两点 E，F，(E，F两点都在 x轴上方)，O为坐标原点，且APE=OPF.证明直线l过定点，并求出该定点坐标.5(2023全国模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的虚轴长为2，点M 0,1到C的渐近线的距离为32(1)求双曲线C的标准方程(2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是AMB的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由28题型题型1010直线过定点之类比法直线过
32、定点之类比法1 1(2023上四川成都高三校考阶段练习)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为D，离心率为12，经过F1的直线交椭圆于A，B两点，F2AB的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)过直线x=4上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN过定点；求SDMN的最大值.【变式训练】1(2023河南校联考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2，圆x2+y2=4与椭圆C恰有两个公共点(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知结论：若点 x0,y0为椭圆x2a2+y2b2=1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为x0 x
33、a2+y0yb2=1若椭圆C的短轴长小于4，过点T(8,t)作椭圆C的两条切线，切点分别为A,B，求证：直线AB过定点292(2023上广东惠州高三校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点 2,4.(1)求C的方程；(2)若C关于x轴对称，焦点为F，过点 4,2且与x轴不垂直的直线l交C于M，N两点，直线MF交C于另一点A，直线NF交C于另一点B，求证：直线AB过定点.3(2023福建校联考模拟预测)设抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点A的坐标为 3,-2.已知点P是抛物线C上的动点，PA+PF的最小值为4.(1)求抛物线C的方程：(2)若
34、直线PA与C交于另一点Q，经过点B 3,-6和点Q的直线与C交于另一点T，证明：直线PT过定点.304(2023陕西西安西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆M恒过定点F 0,18，圆心M到直线y=-14的距离为d,d=MF+18(1)求M点的轨迹C的方程；(2)过直线y=x-1上的动点Q作C的两条切线l1,l2，切点分别为A,B，证明：直线AB恒过定点5(2023贵州校联考二模)抛物线C1:y2=2px p0的焦点到准线的距离等于椭圆C2:x2+16y2=1的短轴长(1)求抛物线C1的方程；(2)设D 1,t是抛物线C1上位于第一象限的一点，过D作E:x-22+y2=r2(其中0r b 0)
35、的离心率是22，点M2,1是椭圆E上一点，过点P 0,1的动直线l与椭圆相交于A,B两点.(1)求椭圆E的方程；(2)求AOB面积的最大值；(3)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使QAQB=PAPB恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【变式训练】1(2024陕西宝鸡校考一模)设抛物线C：y2=2px p0，直线x-2y+1=0与C交于A，B两点，且 AB=4 15.(1)求p；(2)若在x轴上存在定点M，使得MA MB=0，求定点M的坐标.322(2022上新疆乌鲁木齐高三乌鲁木齐市第70中校考期中)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0
36、的左、右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为312.(1)求椭圆C的离心率；(2)设A 0,1是椭圆C的上顶点，直线l：y=kx+m m1与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点S，直线AQ与x轴交于点T.若 OS OT=2，求证：直线l经过定点.3(2022上四川绵阳高三盐亭中学校考期中)已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 x轴，且经过点P(1,2).(1)求抛物线方程;(2)若直线 l与抛物线交于A,B两点，且满足OA OB=-4，求证:直线l恒过定点，并求出定点坐标.334(2023上云南昆明高三云南民族大学附属中学校考阶段练习
37、)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是12，其左右焦点分别为F1,F2，过点B 0,b且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D.(1)求证：2F1F2+F2D=0；(2)若点D-3,0，过椭圆右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P,Q两点，点M是点P关于x轴的对称点，在 x轴上是否存在一个定点 N，使得 M,Q,N三点共线？若存在，求出点 N的坐标；若不存在，说明理由.5(2022辽宁沈阳二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的焦距为2，且经过点P 1,32(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为k k0的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是
38、否存在异于点F的定点T，使 AF BT=BF AT恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由34题型题型1212圆过定点问题圆过定点问题圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以AB为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为PAPB，也可以转化为PA PB=01 1(2023云南昆明昆明一中校考模拟预测)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左右焦点分别为F1，F2，左顶点的坐标为-2,0，离心率为72.(1)求双曲线C的方程；(2)A1,A2分别是双曲线的左右顶点，T是双曲线C上异于A1，A2的一个动点，直线TA1,TA2分别于直线x=1交于Q1,Q2两点，问以Q1,Q2为直
39、径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.35【变式训练】1(2023上贵州黔西高三兴义第一中学校联考阶段练习)已知抛物线C:y2=2px p0，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l的倾斜角为6时，AB=16.(1)求抛物线C的标准方程和准线方程；(2)记 O 为坐标原点，直线 x=-2 分别与直线 OA，OB 交于点 M，N，求证：以 MN 为直径的圆过定点，并求出定点坐标.2(2023山西大同统考模拟预测)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线(1)求椭圆C1的方程；(2)过点S 0,-13的
40、动直线L交椭圆C1于A,B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点 T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由363(2023江西九江统考一模)已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p0)交于A,B两点，过线段AB的中点M作直线MNy轴，垂足为N，且PMPN.(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=-2交于点D,R，证明：以DR为直径的圆过定点.4(2021上海高三专题练习)如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12，过F1的直线交椭圆于AB两
41、点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线 l：y=kx+m 与椭圆 E有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 相交于点 Q，试探究：在 x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.375(2023上浙江高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点D x,y与定点F 2,0的距离和D到定直线x=12的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)已知定点P t,0，0tb0的离心率是22，上、下顶点分别为A，B.圆O:x2+y2=2与x轴正半轴的交点为P，且PA PB=-1.(1
42、)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.2(2023江苏扬州统考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3(1)求APQ的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR ND=MD RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由393(2023广东梅州统考三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点，右顶点分别为F，A，B 0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足 BM=3 MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.
43、(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得 EPFQ=EQ FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4(2023全国模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，左、右焦点分别为F1，F2，且 F1F2=2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线 l:x=my+1与椭圆 C交于A,B两点，证明：在 x轴上存在定点 D，使得直线 AD，BD关于x轴对称.405(2023广西柳州柳州高级中学校联考模拟预测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，且经过点 1,32，过F
44、的直线与椭圆E交于C，D两点，当CDx轴时，CD=1(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使kAPkAQ=120成立，证明直线PQ过定点6(2023湖南岳阳统考二模)已知点P 0,-2，点A,B分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点，直线BP交C于点Q,ABP是等腰直角三角形，且PQ=32QB.(1)过椭圆C的上顶点M引两条互相垂直的直线l1,l2，记C上任一点N到两直线l1,l2的距离分别为d1,d2，求d21+d22的最大值；(2)过点 H 4,0且斜率不为零的直线与椭圆 C 相交于 E,F 两点试问：是否存在 x 轴上的定点 G
45、，使得EGO=FGH.若存在，求出定点G的坐标；若不存在，说明理由.417(2023江西吉安统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，焦点到渐近线2x-y=0的距离为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左右顶点分别为A,B，直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，过原点O做直线l的垂线，垂足为H，当k1k2为定值-13时，问是否存在定点G，使得 GH为定值，若存在，求此定点G.若不存在，请说明理由.8(2023贵州校联考模拟预测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1 a0,b0的一条渐近线方程为x-3y=0，焦点
46、到渐近线的距离为1.(1)求E的方程；(2)过双曲线 E的右焦点 F作互相垂直的两条弦(斜率均存在)AB、CD.两条弦的中点分别为 P、Q，那么直线PQ是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.429(2023四川成都三模)已知斜率为3 的直线l与抛物线C:y2=4x相交于P，Q两点(1)求线段PQ中点纵坐标的值；(2)已知点T3,0，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点(异于P，Q)则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由10(2023全国统考高考真题)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的离心率是53，
47、点A-2,0在C上(1)求C的方程；(2)过点-2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点4311(2022全国统考高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A 0,-2,B32,-1两点(1)求E的方程；(2)设过点 P 1,-2的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足MT=TH 证明：直线HN过定点12(2020山东统考高考真题)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，且过点A 2,1(1)求C的方程：(2)点M，N在C上，且AMAN，A
48、DMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得 DQ为定值4413(2020全国统考高考真题)已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.1圆锥曲线定点问题题型分类汇编题型题型1 1直线过定点之直线过定点之y=kx+m型型题型题型2 2直线过定点之直线过定点之x=ty+m型题型题型3 3直线过定点之求直线方程直线过定点之求直线方程型题型题型4 4特殊到一般法特殊到一般法题型题型5 5斜率和问题斜率和问题题型题型6 6斜率积问题斜率积问题
49、题型题型7 7斜率比值问题斜率比值问题题型题型8 8多斜率问题多斜率问题题型题型9 9与角度有关的定点问题与角度有关的定点问题题型题型1010直线过定点之类比法直线过定点之类比法题型题型1111定点与恒成立问题定点与恒成立问题题型题型1212圆过定点问题圆过定点问题题型题型1 1直线过定点之直线过定点之y=kx+m型型定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；利用0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；由所得等式恒成立可整理得到定点.技巧：若直线方程为y-y0=k x-
50、x0,则直线过定点 x0,y0;若直线方程为y=kx+b(b为定值),则直线过定点 0,b.1 1(2021贵州贵阳高三校联考开学考试)已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F1-3,0，且 C 经过点P3,12(1)求C的方程；(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l:y=kx+m与C交于A、B两点(l不经过D点)，且ADBD证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标【答案】(1)x24+y2=1(2)直线l经过定点，定点坐标为 0,-35【分析】(1)由题意可得c=3，设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义2求解a=2，再求得b，即可求出椭圆方程.(2